---
title: "Логнормальные цены акций: предположения, математика и пределы"
description: "Поймите, почему в классических моделях опционов используются логарифмически нормальные цены акций, насколько различаются простые и логарифмические доходности, как расходятся средние и медианные цены и почему «толстые хвосты», скачки и меняющаяся волатильность ограничивают это предположение."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---

> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Логнормальные цены акций: предположения, математика и пределы

> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

<a id="answer"></a>

## Краткий ответ

Классические модели опционов часто предполагают, что будущая **цена** акции имеет логарифмически нормальное распределение, а это означает, что ее непрерывно начисляемая **логарифмическая доходность** имеет нормальное распределение. Сама цена не считается нормальной, а доходность не является «логнормальной». При геометрическом броуновском движении:

`S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]`, где `Z∼N(0,1)`.

Здесь μ — дрейф цены в выбранной вероятностной мере, σ — волатильность, а T — горизонт. Экспоненцирование сохраняет модельные цены положительными, делает многопериодные логарифмические доходности аддитивными и приводит к удобным формулам для опционов. Реальные рынки не полностью соответствуют этому допущению: доходности демонстрируют асимметрию, тяжёлые хвосты, кластеризацию волатильности, скачки, остановки торгов и изменение распределений. Логнормальность — прозрачный ориентир, а не закон рынка.

<a id="mechanism"></a>

## Механика распределения и ценообразования

Простая доходность равна `R=S_T/S_0-1`, а логарифмическая — `g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)`. Логарифмические доходности складываются во времени, тогда как простые доходности перемножаются. Рост со `$100` до `$110`, а затем падение до `$99` дают `ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%`. Простое сложение `+10%` и `-10%` ошибочно дало бы ноль.

Если `ln S_T∼N(m,v)`, медиана цены равна `e^m`, среднее — `e^(m+v/2)`, а мода — `e^(m-v)`. Правосторонне асимметричное распределение цены имеет нулевую нижнюю границу и не имеет конечной верхней границы. За конечное время цена не может стать строго равной нулю, поэтому дефолт и другие поглощающие события нужно моделировать отдельно.

В физической мере выбор μ требует предположить или оценить доходность. В нейтральной к риску мере Блэка — Шоулза дрейф цены становится равным r−q, поэтому среднее логарифмической доходности равно `(r-q-σ²/2)T`. Такое распределение оценивает условные требования при отсутствии арбитража, а не прогнозирует реальные частоты. Постоянная `σ` также означала бы одинаковую подразумеваемую волатильность для всех страйков одного срока, что противоречит наблюдаемому скью или улыбке.

<a id="example"></a>

## Пример распределения на один год

Пусть `S_0=$100`, а логарифмическая доходность за год нормально распределена со средним `5%` и стандартным отклонением `20%`. Медиана будущей цены равна `$100e^0.05=$105.13`, среднее — `$100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25`, а мода — `$100e^(0.05-0.20²)=$101.01`. Поэтому «ожидаемая цена» не совпадает ни с центром, ни с наиболее вероятным значением распределения.

Если принять `Z=-1` и `Z=+1` за приближения к 16-му и 84-му процентилям, получим `$100e^(0.05-0.20)=$86.07` и `$100e^(0.05+0.20)=$128.40`. Диапазон цен в долларах асимметричен, хотя интервал логарифмической доходности симметричен.

Другой пример показывает, почему важно различать виды доходности. После падения на `50%` с `$100` до `$50` и последующего роста на `50%` цена достигнет лишь `$75`; накопленная простая доходность составит `-25%`. Логарифмические доходности точно суммируются в `ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%`. Чтобы вернуться с `$50` к `$100`, цене нужно вырасти на `100%`.

<a id="risks"></a>

## Тестирование и контрольный список рисков модели

- Используйте данные о полной доходности или корректно скорректированные цены; дробление акций и обычные выплаты могут создавать ложные скачки в нескорректированных рядах.
- Перед расчётом доходности согласуйте временные метки, валюты, время закрытия рынков, пропуски в данных и неторговые дни.
- Явно указывайте, какую доходность используете — простую или логарифмическую; они близки только при небольших изменениях.
- Сравните эмпирическую асимметрию, избыточный эксцесс, квантили 1 %/5 %/95 %/99 %, гистограммы и графики Q-Q с нормальным эталоном.
- Проверяйте спокойные и кризисные периоды отдельно. Само смешение меняющихся режимов волатильности может породить безусловное распределение доходности с тяжёлыми хвостами.
- Проверяйте серийную зависимость доходности и её квадратов; кластеризация волатильности нарушает допущение о постоянных независимых приращениях.
- Не применяйте масштабирование `√T` механически вокруг публикаций отчётности, запланированных событий, долгой памяти или смены режима.
- Отделяйте физические параметры, используемые для прогнозирования, от нейтральных к риску параметров, выводимых для ценообразования.
- Для оценки опционов с разными страйками используйте текущую поверхность подразумеваемой волатильности, а не одну волатильность при деньгах для всех страйков.
- Проводите стресс-тесты скачков, дефолта, остановок торгов, потери ликвидности и переоценки волатильности за пределами непрерывной диффузии.
- Проверяйте параметры и ошибки хеджирования вне выборки; подгонка к историческим экстремумам не доказывает будущую стабильность.
- Для опционов, зависящих от траектории, моделируйте промежуточные пути и ошибку дискретизации, а не только логнормальные конечные цены.

<a id="misconceptions"></a>

## Распространённые заблуждения

- «Доходность акций логарифмически нормальна». Классическое утверждение состоит в том, что цены логарифмически нормальны, а логарифмическая доходность нормальна.
- «Положительные смоделированные цены доказывают реалистичность». Позитивность не отражает режимы дефолта, скачков, «толстых хвостов» или волатильности.
- «Средняя цена – это наиболее вероятная цена». Среднее значение, медиана и мода логнормального распределения различаются.
- «Диапазон симметричной логарифмической доходности симметричен в долларах». Возведение в степень создает асимметричный ценовой диапазон.
- «Нейтральная к риску вероятность — это реальная вероятность». Это мера, согласованная с дисконтированным безарбитражным ценообразованием; её назначение отличается от физического прогноза.
- «Годовая волатильность всегда равна дневной волатильности, умноженной на `√252`». Такое масштабирование требует стабильных независимых приращений.
- «Одна историческая волатильность оценивает каждый опцион». Рыночные цены опционов обычно подразумевают волатильность, зависящую от исполнения и срока погашения.
- «Редкие события следует удалять как выбросы». После проверки данных экстремумы могут оказаться существенным доказательством против предполагаемых хвостов.
- «Выборки логнормальной конечной цены достаточно для любого дериватива». Барьерные, азиатские и американские опционы зависят от траектории или решений об исполнении.

<a id="related"></a>

## Похожие темы

- [Геометрическое броуновское движение](/ru/options/geometric-brownian-motion/)
- [Модель Блэка-Шоулза](/ru/options/black-scholes-model/)
- [Риск-нейтральное ценообразование](/ru/options/risk-neutral-pricing/)
- [Историческая волатильность](/ru/options/historical-volatility/)
- [Скью волатильности](/ru/options/volatility-skew/)
- [Скачкообразно-диффузионная модель опционов](/ru/options/jump-diffusion-option-model/)

<a id="sources"></a>

## Академические источники

- [Блэк и Скоулз: Оценка опционов и корпоративных обязательств](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Мертон: Теория рационального ценообразования опционов](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Мандельброт: изменение некоторых спекулятивных цен](https://doi.org/10.1086/294632)
- [Фама: поведение цен на фондовом рынке](https://doi.org/10.1086/294743)
- [Cboe: Индекс Cboe SKEW](https://cdn.cboe.com/resources/indices/documents/SKEWwhitepaperjan2011.pdf)

Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/lognormal-stock-returns/index.mdx