---
title: "Реплицирующие опционы портфели: выплаты по состояниям и безарбитражная стоимость"
description: "Создайте копию однопериодного опциона на основе акций и займов, проверьте каждое терминальное состояние и поймите, почему реальные динамические хеджирования отклоняются от модели."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---

> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Реплицирующие опционы портфели: выплаты по состояниям и безарбитражная стоимость

> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

<a id="answer"></a>

## Краткий ответ

Реплицирующий портфель сочетает торгуемые инструменты так, чтобы его выплата совпадала с выплатой опциона в каждом состоянии модели. В однопериодной биномиальной модели европейский опцион можно точно воспроизвести акцией и безрисковым займом или вложением. При одинаковых выплатах закон единой цены требует одинаковой стоимости сегодня; иначе более дешевую выплату можно купить, а более дорогую продать.

Это условный результат ценообразования. Точная репликация зависит от состояний модели, торговых возможностей, финансирования, распределения, условий контракта и предположений о беспрепятственном исполнении. На реальном рынке со скачками, спредами, дискретным хеджированием, лимитами заимствований и ранним исполнением опционов его держателем (исполнением) хеджирование обычно является приблизительным.

<a id="mechanism"></a>

## Рассчитывайте выплаты по состояниям, а не заучивайте формулу

Пусть текущая цена акции равна `S0`, а в следующую дату она составит `Su` или `Sd`, причем `Su > Sd`. Опцион выплачивает `Cu` или `Cd`, а `R` — валовой безрисковый фактор роста. Предполагается, что акция не дает промежуточных денежных выплат; иначе этот поток нужно учесть последовательно. Портфель из `Δ` акций и текущей денежной позиции `B0` имеет конечную стоимость:

`Δ × Su + B0 × R = Cu`

`Δ × Sd + B0 × R = Cd`

Вычитание уравнений дает:

`Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)`

Тогда:

`B0 = (Cu - Δ × Su) / R`

`option value today = Δ × S0 + B0`

Отрицательное значение `B0` означает заимствование. Расчет должен проверить оба состояния терминала. Сопоставление только ожидаемого выигрыша не является репликацией.

До оценки опциона нужно проверить, что сам рынок акции и денежных средств удовлетворяет условию:

`Sd < R × S0 < Su`

Это равносильно требованию `0 < q < 1` для приведенного ниже риск-нейтрального веса. Если условие нарушено, модель уже допускает арбитраж между акцией и денежными средствами. Если оно выполнено, цену репликации можно проверить по формуле:

`q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)`

`option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R`

Этот `q` — это ценовой вес, подразумеваемый отсутствием арбитража в модели, а не обязательно прогноз реальной вероятности движения вверх.

В многопериодном дереве портфель повторно решается в каждом узле. **Самофинансируемое** хеджирование меняет запасы и денежные запасы, используя только стоимость, уже включенную в стратегию, без необъяснимых внешних депозитов или снятий средств. Модели опционов с непрерывным временем идеализируют эту ребалансировку; настоящие живые изгороди дискретны.

<a id="example"></a>

## Репликация колл-опциона за один период

Предположим:

- `S0 = $100`;
- цена акции в следующем периоде равна `Su = $120` или `Sd = $80`;
- Европейский колл-опцион (call option — право купить базовый актив) имеет цена исполнения (strike) `100 $`, поэтому `Cu = $20` и `Cd = $0`;
- валовой безрисковый коэффициент за период равен `R = 1.02`.

Наличие акций:

`Δ = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.5 share`

Текущая денежная позиция:

`B0 = ($20 - 0.5 × $120) / 1.02 = -$39.2157`

Стоимость реплики:

`0.5 × $100 - $39.2157 = $10.7843`

Проверьте каждое состояние:

| Состояние | Компонент акции | Погашение займа | Выплата портфеля | Выплата колла |
|---|---:|---:|---:|---:|
| Вверх | 60 долларов | -40 $ | 20 долларов | 20 долларов |
| Вниз | 40 долларов | -40 $ | 0 $ | 0 $ |

Перекрестная проверка, нейтральная к риску:

`q = (1.02 × $100 - $80) / ($120 - $80) = 0.55`

`[$20 × 0.55 + $0 × 0.45] / 1.02 = $10.7843`

Для оценки масштаба: если требование использует множитель 100 акций, его модельная стоимость равна `$1,078.43` за контракт; начальная позиция составляет 50 акций и сочетается с модельным займом `$3,921.57`. Стандартные опционы на акции США обычно представляют 100 акций, но корпоративные действия могут изменить поставляемый актив. Это теоретические величины до учета спредов, финансирования, маржи, комиссий, выплат и ограничений на целые акции.

Если рыночный колл предлагается по цене `$11.20`, разрыв `$0.4157` от точной копии не является автоматически исполнимым арбитражем. И опцион, и каждая часть хеджа должны торговаться по соответствующей стороне котировки и в нужном объеме; нужно также учесть финансирование, заем акций, стиль исполнения, выплаты, маржу и расходы на закрытие.

<a id="risks"></a>

## Ограничения и риски репликации

- **Риск модели состояния:** фактические запасы могут закончиться за пределами или между предполагаемыми ветвями.
- **Риск скачка:** цены могут измениться до того, как хедж будет перебалансирован.
- **Дискретное хеджирование риска:** непрерывная корректировка на практике невозможна.
- **Транзакционные издержки**: повторные торги, спреды, комиссии и влияние на рынок поглощают теоретическую ценность.
- **Риск финансирования:** ставки по займам и кредитам трейдера отличаются от модельной ставки.
- **Дивидендный и заемный риск:** распределение и наличие акций меняют экономику.
- **Риск раннего исполнения опциона его держателем (исполнение):** американский опцион требует исполнения опциона его держателем (исполнение) решений в промежуточных узлах.
- **Поверхностный риск волатильности:** реальные опционы с разными сроками исполнения и сроками погашения не подчиняются одному фиксированному входному значению волатильности.
- **Риск ликвидности:** опцион или хедж может не торговаться в необходимом размере и в нужное время.
- **Контрактный риск:** множитель, ожидаемый результат, денежный расчет и корректировки должны соответствовать смоделированному вознаграждению.
- **Путаница в модели и арбитраже:** теоретическая разница в ценах не является безрисковой исполняемой сделкой.

<a id="misconceptions"></a>

## Распространённые заблуждения

- **«Репликация соответствует среднему выигрышу».** Она должна соответствовать каждому смоделированному состоянию.
- **«Дельта остается 0,5 до истечения срока действия».** На многопериодном или реальном рынке дельта изменяется и требует ребалансировки.
- **«Вероятность, нейтральная к риску, является истинной вероятностью».** Это ценовой вес в соответствии с предположениями модели.
- **«Точная копия устраняет все риски».** Риски модели, прыжка, исполнения, финансирования и контракта остаются.
- **«Теоретическая разница заключается в свободном арбитраже».** Все этапы, размеры, сроки, финансирование и затраты должны быть осуществимыми.
- **«Заимствование – это всего лишь обозначение».** Это экономическая денежная позиция с ограничениями по финансированию и марже.
- **«Европейские и американские опционы воспроизводятся одинаково».** Раннее исполнение опциона его держателем (exercise) меняет проблему оценки.
- **«Репликация за один период доказывает, что непрерывное хеджирование работает точно».** Реальная ребалансировка дискретна и зависит от пути.

<a id="related"></a>

## Похожие темы

- [Цена биномиального опциона](/ru/options/binomial-option-pricing/)
- [Дельта-хеджирование](/ru/options/delta-hedging/)
- [Границы безарбитражного опциона](/ru/options/no-arbitrage-option-bounds/)
- [Хеджирование самофинансирования](/ru/options/self-financing-hedge/)

<a id="sources"></a>

## Авторитетные источники

- [Характеристики и риски стандартизированных опционов](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — OCC (Options Clearing Corporation, клиринговая организация биржевых опционов США)
- [Спецификации опционов на акции](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/clearing/equity-options-product-specifications) — OCC
- [Оценка опционов и корпоративных обязательств](https://doi.org/10.1086/260062) — Блэк и Скоулз, *Журнал политической экономии*
- [Теория рационального ценообразования опционов](https://doi.org/10.2307/3003143) — Мертон, *The Bell Journal of Economics and Management Science*
- [Ценообразование опционов: упрощенный подход](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) — Кокс, Росс и Рубинштейн, *Журнал финансовой экономики*

Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/option-replication-portfolio/index.mdx