---
title: "Модели стохастической волатильности: случайная дисперсия, премия за риск и динамика улыбки"
description: "Изучите семейство моделей стохастической волатильности, разделите динамику дисперсии под физической и нейтральной к риску мерами, сравните варианты Heston, SABR и грубой волатильности, а также подтвердите калибровку, выйдя за рамки статической улыбки."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---

> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Модели стохастической волатильности: случайная дисперсия, премия за риск и динамика улыбки

> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

<a id="answer"></a>

## Краткий ответ

**Модель стохастической волатильности** делает мгновенную дисперсию актива случайной переменной состояния, а не константой или детерминированной функцией спота и времени. В общей непрерывной двухфакторной спецификации:

`dS_t = μ_t S_t dt + √v_t S_t dW_t^S`

`dv_t = a(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^v`, с `dW_t^S dW_t^v = ρ_t dt`

Дополнительный шок дисперсии может создать изменяющуюся во времени волатильность, кластеризацию, возврат к среднему, перекос и более богатую динамику улыбки. Модель не делает волатильность «известной»; он определяет вероятностный закон, параметры которого и нейтральная к риску версия должны быть оценены или откалиброваны.

Это семейство моделей, а не одна формула. Heston использует процесс дисперсии с квадратным корнем и возвратом к среднему, SABR развивает форвард и его волатильность, модели форвардной дисперсии описывают срочную структуру дисперсии, а модели грубой волатильности используют немарковскую память. Каждый выбор соответствует разным характеристикам и порождает разные численные и модельные риски.

Область применения: эта страница рассматривает механику моделей для биржевых и внебиржевых ванильных и зависящих от траектории опционов на акции, валюты, процентные ставки и сырьевые товары. Это общий каркас, а не описание конкретной биржи, брокера, маржинального счёта, налогового режима или юрисдикции. Примеры гипотетические и относятся к 2026-08-22; перед применением проверьте условия продукта, рыночные соглашения, правила счёта и применимую юрисдикцию. Это не индивидуальная инвестиционная, юридическая или налоговая консультация.

<a id="mechanism"></a>

## Физическая динамика — это не динамика цен

Историческая доходность моделируется с использованием физической меры `P`; для оценки безарбитражного опциона используется нейтральная к риску мера `Q`. При шоке неторгуемой дисперсии акции и денежные средства, как правило, не могут охватить все источники неопределенности. Рынок неполный, поэтому отсутствие арбитража само по себе не определяет однозначно премию за риск дисперсии или дрейф дисперсии в `Q`.

Схематически одно и то же состояние дисперсии может иметь:

`dv_t = a_P(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,P}`

под `P`, но

`dv_t = a_Q(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,Q}`

под `Q`. Разница между `a_P` и `a_Q` включает компенсацию риска волатильности. Оценка параметров `P` на основе доходности и вставка их в неизмененном виде в цену опциона молчаливо предполагает устранение этого различия.

Корреляция `ρ` связывает шоки доходности и дисперсии. В моделях акций отрицательная нейтральная к риску корреляция часто помогает создать более выраженный нисходящий уклон Put. Волатильность волатильности контролирует, насколько рассредоточенной может стать будущая дисперсия, и влияет на кривизну улыбки. Возврат к среднему формирует срочную структуру. Эти интерпретации условны: параметры взаимодействуют, и несколько наборов параметров могут давать близкие цены ванильных опционов.

### Статическая посадка против динамики

Калибровка сводит к минимуму ошибки по страйкам и экспирациям одновременно. Модель риска также должна указывать, как эта подобранная поверхность изменяется после точечных, временных и волатильных шоков. Две модели могут соответствовать сегодняшним ванильным опционам и давать разные значения барьеров, форвардные перекосы, коэффициенты хеджирования и прибыль/убыток следующего дня. Таким образом, динамика улыбки и хеджирование вне выборки являются отдельными целями проверки, а не частью ошибки калибровки.

<a id="example"></a>

## Пример: одна текущая дисперсия, две меры

Предположим, текущая дисперсия равна `v₀ = 0.04`, поэтому текущая мгновенная волатильность равна `√0.04 = 20%`. Для иллюстрации предположим, что дисперсия возвращается к среднему под каждой мерой:

`E[v_T] = θ + (v₀ − θ)e^(−κT)`

Используйте эти гипотетические параметры:

| Мера | `κ` | `θ` | Шестимесячный `E[v_0.5]` |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| Физический `P` | `1` | `0.04` | `0.04` |
| Нейтральный к риску `Q` | `2` | `0.0625` | `0.05422` |

Под `P`:

`0.04 + (0.04 − 0.04)e^(−1×0.5) = 0.04`

Под `Q`:

`0.0625 + (0.04 − 0.0625)e^(−2×0.5) = 0.05422`

Квадратные корни равны `20%` и `23.29%` соответственно. Эта разница не является прогнозом опционной прибыли и не определяет риск опционной премии из одного наблюдения. Он показывает, почему временная структура нейтральной к риску дисперсии, откалиброванная на основе опционов, не может быть переименована в ожидаемую волатильность.

Кроме того, `√E[v_T]` обычно не равен `E[√v_T]`. В примере указывается квадратный корень ожидаемой дисперсии, а не ожидаемой волатильности. Полная стоимость опциона зависит от распределения и траектории дисперсии, её корреляции с доходностью и выплатой, а не только от этого среднего значения.

<a id="risks"></a>

## Контрольный список выбора и проверки модели

- Сформулируйте стохастические уравнения, меры, переменные состояния, единицы измерения параметров, граничное поведение и корреляционную структуру.
- Отдельные параметры, рассчитанные на основе доходности под `P`, от параметров, откалиброванных по ценам опционов под `Q`.
- Используйте синхронизированные исполняемые котировки, форварды, коэффициенты дисконтирования, дивиденды и условия контрактов.
- Взвешивайте ошибки калибровки по экономической значимости, такие как Bid-Ask или Vega, и проверяйте каждый срок истечения и крыло.
- Выполнять несколько первоначальных предположений и сообщать о почти эквивалентных наборах параметров; один результат оптимизатора может быть неидентифицируемым.
- Проверьте положительность, моментные условия, предвзятость моделирования, дискретизацию, интеграцию преобразований и обработку ветвей.
- Переоцените все калибровочные инструменты и сравните ошибки с рыночными спредами, а не только с IV RMSE.
- Проверка будущих движений поверхности, хеджирования прибылей и убытков и стабильности параметров вне выборки.
- Стрессовые скачки цен, дисперсия событий, разрывы корреляций, скачки волатильности и потеря ликвидности.
- Сравните Хестон, локальную волатильность, стохастически-локальную волатильность, скачок и грубые альтернативы фактического выигрыша.
- Рассматривать американское исполнение опциона его держателем (exercise), дискретные дивиденды, барьеры и зависимость от траектории с помощью подходящих численных методов.
- Включите транзакционные издержки, дискретное рехеджирование, финансирование, размещение опционов на продажу (уступку) и недоступные инструменты хеджирования.
- Запись о том, какие риски модель намеренно опускает; точная калибровка не уменьшает упущенный риск.

<a id="misconceptions"></a>

## Распространённые заблуждения

- **«Стохастическая волатильность предсказывает волатильность».** Определяет условную динамику после выбора модели и параметров.
- **«Исторические параметры дисперсии сами по себе оценивают опционы».** Для ценообразования обычно требуется нейтральная к риску динамика и премия за риск волатильности.
- **«Идеальная ванильная подгонка подтверждает модель».** Статическая подгонка не определяет реалистичные пути или поведение хеджирования.
- **«Больше факторов всегда повышает точность».** Гибкость может увеличить нестабильность, переобучение и неустранимая риск параметров.
- **«Стохастическая волатильность включает в себя обвалы».** Модель непрерывной дисперсии может по-прежнему не учитывать прерывистые скачки цен и дисперсии.
- **«Ожидаемая дисперсия под нейтральной к риску мерой является рыночным прогнозом».** Это объект ценообразования, содержащий премии за риск и зависящий от соглашений.
- **«Один калибруемый параметр имеет одно экономическое значение».** Параметры компенсируют друг друга и могут быть слабо идентифицированы.

<a id="related"></a>

## Похожие темы

- [Модель Хестона](/ru/options/heston-model/)
- [Модель локальной волатильности](/ru/options/local-volatility-model/)
- [Динамика перекоса](/ru/options/skew-dynamics/)
- [Риск модели опциона](/ru/options/option-model-risk/)

<a id="sources"></a>

## Академические источники

- [Халл и Уайт: Оценка опционов на активы со стохастической волатильностью](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1987.tb02568.x)
- [Хестон: решение в закрытой форме для опционов со стохастической волатильностью](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [Бергоми: Динамика улыбки IV](https://doi.org/10.2139/ssrn.1520443)
- [Хаган и др.: Управление риском улыбки](https://www.math.uchicago.edu/~rl/BFL2008v5.pdf)

Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/stochastic-volatility-model/index.mdx