--- title: "Оценка опционов триномиальным деревом: решетка с тремя состояниями и досрочное исполнение" description: "Постройте рекомбинирующую решетку «вверх-середина-вниз», откалибруйте нейтральные к риску вероятности и проверьте обратное дисконтирование, досрочное исполнение и сходимость." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Оценка опционов триномиальным деревом: решетка с тремя состояниями и досрочное исполнение > Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам. ## Краткий ответ Триномиальное дерево оценивает опцион на дискретной решетке времени и цены, где базовый актив на каждом шаге **растет, остается на среднем уровне или снижается**. После калибровки нейтральных к риску вероятностей перехода оно вычисляет выплаты в момент истечения и движется назад к текущей стоимости, дисконтируя в каждом узле взвешенное по вероятностям значение. Дополнительная средняя ветвь дает больше степеней свободы, чем биномиальное дерево, для согласования моментов, привязки узлов к ценам исполнения или барьерам и улучшения численных свойств. Это не делает цену автоматически точнее: результат определяют параметризация, число шагов, дивиденды, правило исполнения, обработка границ и рыночные данные. Деревья особенно полезны для опционов американского типа: в каждом узле можно сравнить стоимость продолжения с немедленным исполнением. Три цены — расчетные состояния, а не прогноз единственных цен, которые примет акция. Статья рассматривает теоретическую оценку простых опционов на акции, прежде всего выпущенных OCC опционов, обращающихся на биржах США, по состоянию на 2026-08-22. Одобрение брокера, маржинальные требования к счету, а также налоговый и правовой режим зависят от продукта и юрисдикции; действующие условия договора и счета следует уточнять у брокера, биржи, в материалах OCC и у квалифицированных специалистов. ## Решетка и обратная индукция Для шага длиной `Δt` задайте множители цены `u > m > d` и вероятности `pᵤ`, `pₘ`, `p_d`. Рекомбинирующее дерево параметризуют так, чтобы траектории наподобие движения вверх, а затем вниз возвращались в существующий узел и число узлов оставалось управляемым. Здесь `r` и `q` — ставки непрерывного начисления за шаг. Нейтральные к риску вероятности должны удовлетворять как минимум: `pᵤ + pₘ + p_d = 1` и с постоянной дивидендной доходностью `q`, `pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt)`. Конкретная триномиальная схема добавляет условия для дисперсии или моментов, чтобы определить три вероятности и множители; одной нормировки и ожидаемого роста недостаточно, чтобы сделать однопериодный рынок с тремя состояниями полным или выбрать единственную нейтральную к риску меру. Все вероятности должны лежать между нулем и единицей. Отрицательная «вероятность» означает некорректную сетку или несовместимые параметры, а не торговый прогноз. По истечении срока установите `V = max(S−K,0)` для колла или `max(K−S,0)` для пута. В каждом более раннем узле значение европейского продолжения равно `V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)`. Для американского варианта используйте `V = max(V_continue, intrinsic value)`. Повторяем до корня. Дискретные денежные дивиденды требуют, чтобы дерево акций или переходы узлов отражали падение без дивидендов. Греки можно оценить по соседним узлам, но выравнивание сетки и конечные разности вносят численный шум. ## Пример работы в один шаг Пусть `S₀ = $100`, цена исполнения Put `K = $105`, а безрисковый коэффициент роста за один шаг `R = 1.02`. Возьмем `u = 1.10`, `m = 1.00`, `d = 0.90` и следующие вероятности. Это гипотетические учебные данные без дивидендов, а не калибровка по котируемому опциону или рыночному набору данных. `pᵤ = 0.35`, `pₘ = 0.50`, `p_d = 0.15`. Их сумма равна единице, и ожидаемый рост акций `0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R`. | Конечная цена акции | Выплата Put `max(105−S,0)` | Выплата с учетом вероятности | | ---: | ---: | ---: | | `$110` | `$0` | `$0` | | `$100` | `$5` | `$2.50` | | `$90` | `$15` | `$2.25` | Стоимость европейского пута составляет `V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569`. Для американского Put стоимость немедленного исполнения в корне равна `$105 − $100 = $5`. Поскольку `$5 > $4.6569`, одношаговая модель выбирает исполнение и оценивает американский Put в `$5`. Для проверки при тех же европейских предпосылках и отсутствии дивидендов соответствующий Call выплачивает `$5` только в состоянии роста, поэтому `C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157`. Тогда `C − P = −$2.9412`, что совпадает с `S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412`. ## Проверки и риски модели - Укажите точную параметризацию дерева: слово «триномиальное» само по себе не определяет `u`, `d` и вероятности. - Отбрасывайте отрицательные вероятности и проверяйте нейтральные к риску условия роста и дисперсии. - Увеличивайте число шагов и фиксируйте сходимость, а не полагайтесь на одну сетку. - Сравнивайте европейские результаты с Black-Scholes при одинаковых предпосылках и проверяйте внутреннюю стоимость и безарбитражные границы. - Сопоставляйте американские значения с европейскими и исследуйте границу исполнения. - Правильно моделируйте дискретные дивиденды, ставки, стоимость заимствования, тип исполнения, расчеты и корректировки контракта. - По возможности совмещайте с сеткой важные цены исполнения, барьеры и даты дивидендов. - Проводите стресс-тесты волатильности, числа шагов, дискретизации времени и граничных условий. - Отделяйте стоимость модели от исполнимых цен Bid/Ask, комиссий, проскальзывания и доступного объема. - Используйте независимую реализацию или эталонные примеры для выявления ошибок индексации и дисконтирования. ## Распространённые заблуждения - «Три ветви прогнозируют рост, неизменную цену и падение». Это числовые состояния, откалиброванные для оценки. - «Вероятности — исторические частоты». Это определяемые моделью нейтральные к риску веса. - «Больше ветвей гарантирует точность». Плохо откалиброванное триномиальное дерево по-прежнему дает неверные результаты. - «Досрочное исполнение в примере доказывает, что реальному держателю следует исполнить опцион сейчас». Вывод зависит от очень грубой сетки и пропущенных данных. - «Цена модели — справедливая и исполнимая котировка». Исполнение зависит от спроса и предложения, спредов, запасов и издержек. - «Сходимость доказывает истинность модели». Она показывает лишь численную устойчивость при заданных предпосылках, а не их соответствие рынку. ## Похожие темы - [Цена биномиального опциона](/ru/options/binomial-option-pricing/) - [Модель Блэка-Шоулза](/ru/options/black-scholes-model/) - [Досрочное исполнение опциона его держателем (exercise)](/ru/options/early-exercise/) - [Ценообразование, нейтральное к риску](/ru/options/risk-neutral-pricing/) ## Авторитетные источники - [Crack: Trinomial Option Pricing—A Primer](https://doi.org/10.2139/ssrn.4955216) - [Dai and Lyuu: Convergence of the Trinomial Tree Method](https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.132) - [Options Industry Council: Black-Scholes Formula](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/black-scholes-formula) - [Options Industry Council: Exercising Options](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/exercising-options) - [OCC: Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/trinomial-tree-option-pricing/index.mdx