---
title: "Репликация свопа на дисперсию: от полосы опционов к позиции по дисперсии"
description: "Посмотрите, как полоса опционов «вне денег» аппроксимирует лог-контракт и справедливую дисперсию, рассчитайте веса страйка и выявите ошибки репликации."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---

> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Репликация свопа на дисперсию: от полосы опционов к позиции по дисперсии

> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Область применения: в статье приведён иллюстративный способ приближения справедливой дисперсии с помощью европейских опционов при указанных предположениях о непрерывности траектории и рынке. Статья не определяет условия конкретного индекса Cboe, внебиржевого свопа на дисперсию, биржевого опциона, брокерского счёта, маржинального соглашения или налогообложения. Условия продукта, правила данных, требования к участникам, меры защиты и юридические либо налоговые последствия зависят от площадки, счёта, юрисдикции и даты; для конкретной ситуации следует изучить действующие документы и обратиться к квалифицированным специалистам.

<a id="answer"></a>

## Краткий ответ

**Репликация свопа на дисперсию** связывает реализованную дисперсию доходности с портфелем, включающим логарифмическую выплату, динамическую позицию во форварде или базовом активе и денежные средства. Логарифмическую выплату на дату погашения, в свою очередь, можно представить непрерывным набором европейских путов и коллов по разным страйкам. Так полоса опционов даёт практическое приближение справедливой дисперсии.

Суть не в том, чтобы «купить все опционы и получить дисперсию». При идеализированных предположениях путы вне денег ниже опорного страйка и коллы вне денег выше него получают веса, пропорциональные `1/K²`; полоса опционов обеспечивает выпуклость выплаты на дату погашения, а динамическая торговля по траектории связывает эту выплату с реализованной дисперсией.

Реальные рынки предлагают только дискретные страйки, конечные хвосты, котировки Bid/Ask, дискретное хеджирование и расчеты по конкретным контрактам. Результатом является аппроксимация с явным риском репликации и выполнения, а не гарантированный арбитраж.

<a id="mechanism"></a>

## От логарифмического контракта к полосе опционов

Для непрерывной диффузии формула Ито, примененная к логарифму цены, связывает кумулятивную квадратичную доходность с динамически торгуемой позицией и терминальным логарифмическим выигрышем. Статическая репликация затем разлагает достаточно плавный окончательный выигрыш на наличные, форвард и опционы по всем страйкам. Для логарифмического выигрыша плотность опционов масштабируется как `1/K²`.

Широко используемая дискретная аппроксимация справедливой дисперсии:

`σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²`

Здесь `T` — срок до погашения в годах, `F` — форвард, выведенный из цен опционов, `K₀` — первый страйк на уровне `F` или ниже, `R` — безрисковая ставка на соответствующий срок, а `Q(Kᵢ)` — выбранная цена опциона. В конструкции по типу Cboe используют OTM-путы при `Kᵢ<K₀`, OTM-коллы при `Kᵢ>K₀` и среднее цены Put и Call в точке `K₀`. Для внутреннего страйка `ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2`; на краях берут соседний интервал.

Коэффициент `1/K²` представляет собой только одну часть веса. Интервал страйков `ΔK`, время, ставки, цена, форвардная корректировка и правила выбора опционов — все это имеет значение. Результатом является годовая дисперсия; из квадратного корня и умножения на 100 получается число в стиле волатильности, только если дисперсия неотрицательна и соглашения совпадают.

Методология VIX — наблюдаемая реализация, связанная с математикой свопов на дисперсию, однако сам VIX является индексом с установленными правилами отбора опционов, интерполяции, учёта времени и публикации. Он не эквивалентен каждому внебиржевому свопу на дисперсию или его реализованной части.

<a id="example"></a>

## Пример вклада одного страйка

Рассмотрим OTM-пут в 30-дневной полосе. Пусть `T=30/365`, `R=4%`, страйк `K=90`, интервал между соседними страйками `ΔK=5`, а выбранная цена опциона `Q(K)=$0.60` за единицу индекса. Его вклад в сумму с учётом начального коэффициента годового приведения равен:

`(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)`

`= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904`

Это примерно `90.4` базисного пункта дисперсии, поскольку один базисный пункт дисперсии равен `0.0001`. Это **не** вся справедливая дисперсия, а `√0.00904≈9.51%` — не итоговая волатильность полосы. Нужно сложить вклад всех допустимых страйков, а затем вычесть член форвардной корректировки.

Предположим, что из-за устаревшей котировки выбранная цена этого пута составила `$0.90` вместо `$0.60`. Расчётный вклад вырастет на 50% примерно до `0.01356`. Это показывает, насколько котировки в хвостах, правила отбора и ликвидность могут влиять на оценку даже при правильном применении формулы.

Для биржевых опционов на акции премии обычно указываются в расчёте на акцию, а стандартный контракт часто имеет множитель 100 акций. Такой перевод премии в денежную сумму отделён от нормированной индексной формулы или формулы дисперсии; не включайте множитель, если этого не требует методика.

<a id="risks"></a>

## Пробелы и средства контроля репликации

- Используйте коллы, путы, форвард, ставки и временные метки одного срока и одного момента наблюдения; асинхронные котировки могут создать ложную поверхность.
- Рассчитывайте `F` и `K₀` одним документированным методом, не подменяя форвард механически спотовой ценой.
- Точно применяйте правила отбора страйков, нулевого Bid или Ask, средней цены, краевых точек и интерполяции; эти решения меняют полосу.
- Проверьте как Bid, так и Ask. Гладкий расчет средней точки не доказывает, что весь портфель может торговаться одновременно.
- Количественно оценить усечение хвоста. Отсутствие путов с низкими страйками и коллов с высокими страйками оставляет теоретический континуум незавершенным.
- Сравните несколько сеток страйков и фильтров котировок, чтобы выявить дискретность и чувствительность к устаревшим ценам.
- Сопоставьте определение реализованной дисперсии: логарифм или простые доходы, календарь наблюдений, частота выборки, годовое приведение, правила нарушения и расчетная цена.
- Тождества для непрерывной траектории подвержены ошибкам из-за скачков и дискретной выборки; динамическое хеджирование также несёт риск гэпа, ликвидности и транзакционных издержек.
- Корпоративные действия, дивиденды, исполнение американских опционов его держателем (исполнение), стиль расчетов, налоги, маржа и корректировки контрактов могут отделить исполнение листинговых опционов от идеализированного европейского вывода.
- Номинал по дисперсии может создать нелинейный денежный риск. Проверьте предел выплаты, страйк дисперсии, соглашение о номинале и условия расчётов.

<a id="misconceptions"></a>

## Распространённые заблуждения

- **"Только правило `1/K²` дает вес".** `ΔK`, также требуются цена опциона, дисконтирование, время, выбор и корректировка вперед.
- **«Только опционы при деньгах определяют дисперсию».** В конструкции используется широкий спектр внебиржевых опционов «пут» и «колл».
- **«Стрип опционов сам по себе точно оплачивает реализованную дисперсию».** Теоретическая идентичность также содержит динамические торговые и денежные условия.
- **«VIX — это дисперсионный своп».** Это индекс, рассчитываемый по собственной методике; выплаты по контракту и реализованные ноги должны проверяться отдельно.
- **«Дальние страйки можно игнорировать, поскольку премии по ним малы».** Хвост помогает представить экстремальные состояния, а его усечение создаёт ошибку.
- **«Формула, не содержащая моделей, не содержит допущений».** Она снижает зависимость от выбранной модели стохастической волатильности, но по-прежнему полагается на рынок, траекторию, выборку и условия реализации.
- **«Правильная электронная таблица обеспечивает осуществимое хеджирование».** Широкие спреды, устаревшие котировки, частичное исполнение, маржа и затраты на ребалансировку остаются.

<a id="related"></a>

## Похожие темы

- [Премия за риск дисперсии](/ru/options/variance-risk-premium/)
- [подразумеваемая волатильность](/ru/options/implied-volatility/)
- [Подразумеваемая и реализованная волатильность](/ru/options/iv-and-rv/)
- [Риск модели опциона](/ru/options/option-model-risk/)

<a id="sources"></a>

## Авторитетные источники

- [Руководство по свопам волатильности и дисперсии](https://doi.org/10.3905/jod.1999.319129) — Крешимир Деметрефи, Эмануэль Дерман, Майкл Камаль и Джозеф Зу
- [Премии за риск дисперсии](https://doi.org/10.1093/rfs/hhn038) — Питер Карр и Люрен Ву
- [Математическая методология индекса волатильности Cboe](https://cdn.cboe.com/resources/indices/Cboe_Volatility_Index_Mathematics_Methodology.pdf) — Глобальные индексы Cboe
- [Характеристики и риски стандартизированных опционов](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — Опционная клиринговая корпорация

Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/variance-swap-replication/index.mdx