---
title: "Временная стоимость денег: датированные денежные потоки, соглашения о ставках и согласованная оценка"
description: "Оценивайте денежные потоки на явной временной шкале, согласуя PV и FV, простые и сложные ставки, соглашения APR и APY, аннуитеты, перпетуитеты, датированные коэффициенты дисконтирования, инфляцию, налоги, валюту и риск."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---

> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Временная стоимость денег: датированные денежные потоки, соглашения о ставках и согласованная оценка

> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

<a id="answer"></a>

## Краткий ответ

**Временная стоимость денег** позволяет сравнивать суммы, относящиеся к разным датам, посредством переноса каждого денежного потока на одну явно указанную дату оценки. Наращение переносит стоимость вперед во времени, а дисконтирование — назад. Для корректного расчета необходимо указать даты денежных потоков, целевую дату, валюту, вид требования, номинальный или реальный базис, базис до или после налогов, соглашение о ставке и способ учета риска.

Для одной единовременной суммы при дискретном начислении сложных процентов, ставке за период `r` и числе соответствующих периодов `n`:

`FVₙ = PV₀ × (1 + r)ⁿ`

`PV₀ = FVₙ ÷ (1 + r)ⁿ`

Простые проценты представляют собой иное договорное правило: `FV = P × (1 + r × t)`. В этой формуле проценты сами не приносят процентов. Ни простой, ни сложный рост не является прогнозом, если только денежный поток и ставка не закреплены договором; результат расчета обусловлен его исходными данными.

Для нескольких датированных денежных потоков каждый поток следует оценить один раз с использованием соответствующего ему коэффициента дисконтирования:

`PV₀ = Σᵢ(CFᵢ × DF(0,tᵢ))`

Постоянная ставка — упрощающее допущение. При использовании временной структуры ставок применяются спот-ставки или коэффициенты дисконтирования для конкретных сроков. Наблюдаемая парная доходность казначейских бумаг с постоянным сроком погашения CMT не становится автоматически ни спот-ставкой бескупонного инструмента, ни подходящей ставкой для рискованного денежного потока.

<a id="mechanism"></a>

## Воспроизводимый процесс из семи шагов

1. **Зафиксируйте объект оценки и временную шкалу.** Запишите дату оценки, целевую дату, валюту, юридическое или экономическое требование, номинальный базис или базис реальной покупательной способности, базис до или после налогов, единицы измерения и соглашение о знаках. Разместите каждый приток и отток в момент `t = 0`, в начале или конце периода либо в точную календарную дату; сегодня и конец первого периода — разные даты.
2. **Задайте денежные потоки и способ учета неопределенности.** Раздельно храните договорные, ожидаемые, сценарные и фактически реализованные потоки. В традиционном подходе договорные или наиболее вероятные потоки могут дисконтироваться по ставке с поправкой на риск. В подходе ожидаемых денежных потоков суммы и сроки, взвешенные по вероятности, дисконтируются по ставке, согласованной с рисками, еще не учтенными в потоках. Не уменьшайте поток из-за определенного риска, одновременно добавляя к ставке необоснованную премию за тот же риск.
3. **Приведите соглашение о ставке к единому виду.** Установите, применяются ли простые или сложные проценты, номинальная годовая ставка, заявленная `APR`, эффективная годовая ставка или `APY`, периодическая ставка, частоты платежей и начисления процентов, дискретное или непрерывное начисление, базис подсчета дней, правило рабочего дня и комиссии, включаемые применимым юридическим определением. Если номинальная годовая ставка `j` начисляется `m` раз в год, то `EAR = (1 + j ÷ m)ᵐ − 1`; уже эффективную годовую ставку нельзя просто делить на `m`.
4. **Рассчитайте единовременные суммы и выполните обратную проверку.** Согласуйте период ставки и число периодов, убедитесь в экономической допустимости валового коэффициента наращения, сохраняйте полную точность и проверьте, что дисконтирование рассчитанной FV возвращает исходную PV. Для простых процентов используйте договорную долю года, а для сложных — заявленное число периодов или показатель степени, определенный точными датами.
5. **Правильно разместите конечные аннуитеты.** Для `n` равных платежей `C` в конце периодов при `r ≠ 0` справедливы `PV_ordinary = C × [1 − (1 + r)⁻ⁿ] ÷ r` и `FV_ordinary,n = C × [(1 + r)ⁿ − 1] ÷ r`. В аннуитете пренумерандо платеж совершается на один период раньше: каждый платеж наращивается на один дополнительный период до той же будущей даты и дисконтируется на один период меньше до той же текущей даты. Поэтому `PV_due = PV_ordinary × (1 + r)` и `FV_due = FV_ordinary × (1 + r)`. При `r = 0` каждая стоимость сводится к `n × C` на любой общей дате.
6. **Явно учитывайте перпетуитеты и нерегулярные даты.** Приведенная стоимость постоянного перпетуитета, первый платеж `C₁` по которому поступает через один период после даты оценки, равна `PV₀ = C₁ ÷ r` при `r > 0`. Для растущего перпетуитета `PV₀ = C₁ ÷ (r − g)`; при этом требуется `r > g`, а рост должен быть экономически устойчивым. Немедленный первый платеж прибавьте отдельно. Для нерегулярных дат используйте `PV₀ = Σᵢ[CFᵢ ÷ (1 + EAR)^yearfrac(0,tᵢ)]` или иную раскрытую методику; Actual/365, Actual/360, Actual/Actual, периодический и непрерывный методы не взаимозаменяемы.
7. **Согласуйте экономические базисы и проверьте результат.** Сопоставляйте номинальные потоки с номинальными ставками, а реальные — с реальными, используя `(1 + nominal rate) = (1 + real rate) × (1 + inflation rate)`. Моделируйте налоги и комиссии по их фактической базе и на фактическую дату; при разных валютах согласованно конвертируйте валюту или моделируйте валютный курс, а не заимствуйте несвязанную ставку другой валюты. Проведите стресс-тест дат, ставок, инфляции, налогов, комиссий, кредита и потоков; сохраните котировки источников, календарь, формулы, программные соглашения, версии, правила округления и независимый повторный расчет.

Расчеты APR по Положению Z и APY по Положению DD служат определенным целям раскрытия информации о потребительском кредите и вкладах в США. Заявленные APR, APY, доходность в пересчете на облигационный эквивалент, банковская учетная ставка, непрерывно начисляемая доходность и эффективная годовая доходность не могут подменять друг друга без применения соответствующих определений. Руководство FASB и IFRS по приведенной стоимости дисциплинирует согласование потоков и риска, однако цели бухгалтерской оценки не являются автоматически требуемой инвестором доходностью.

<a id="example"></a>

## Расчетные примеры

- **Простые проценты, годовое начисление и ежемесячное начисление по APR.** Основная сумма равна `$10,000`, заявленная годовая ставка — `6.0000%`, а горизонт — `5 years`. При простых процентах `FV = $10,000 × (1 + 6% × 5) = $13,000.0000`. При годовом начислении `FV = $10,000 × 1.06⁵ = $13,382.2558`. Номинальная APR в размере `6.0000%` с ежемесячным начислением дает `EAR = (1 + 0.06 ÷ 12)¹² − 1 = 6.1678%` и `FV = $10,000 × (1 + 0.06 ÷ 12)⁶⁰ = $13,488.5015`. Это три разных договора, а не варианты округления.
- **Обычный аннуитет и аннуитет пренумерандо.** Для четырех платежей по `$1,000` при эффективной ставке `5.0000%` получаем `PV_ordinary = $1,000 × [1 − 1.05⁻⁴] ÷ 5% = $3,545.9505` и `FV_ordinary,4 = $1,000 × [1.05⁴ − 1] ÷ 5% = $4,310.1250`. Платежи в начале каждого периода дают `PV_due = $3,545.9505 × 1.05 = $3,723.2480` и `FV_due,4 = $4,310.1250 × 1.05 = $4,525.6313`. При `r = 0` сумма обоих четырехплатежных потоков на общей дате равна `$4,000`, поскольку корректировка на временную стоимость отсутствует, хотя договорные даты платежей по-прежнему различаются.
- **Постоянный и растущий перпетуитеты.** Первый платеж в размере `$100` поступает в момент `t = 1`, а ставка дисконтирования равна `8.0000%`. Постоянный перпетуитет имеет `PV₀ = $100 ÷ 8% = $1,250.0000`. Если платежи растут начиная с первого платежа с темпом `g = 3.0000%`, то `PV₀ = $100 ÷ (8% − 3%) = $2,000.0000`. Дополнительные `$100`, выплаченные в момент `t = 0`, прибавляются отдельно; перенос первого платежа без изменения формулы создает ошибку в один период.
- **Нерегулярная дата, согласованность номинального и реального базисов и порядок налогообложения.** Для гарантированных `$1,000`, подлежащих получению через `182 days` и дисконтируемых по EAR `5.0000%` с базисом `Actual/365`, получаем `t = 182 ÷ 365` и `PV = $1,000 ÷ 1.05^(182 ÷ 365) = $975.9653`; приравнивание срока к полному году дает `$952.3810`. Отдельно реальный денежный поток третьего года в размере `$500,000`, дисконтируемый по реальной ставке `4.0000%`, имеет `PV = $500,000 ÷ 1.04³ = $444,498.1793`. При инфляции `3.0000%` номинальный поток равен `$500,000 × 1.03³ = $546,363.5000`, а точная номинальная ставка — `(1.04 × 1.03) − 1 = 7.1200%`, что дает те же `$444,498.1793`. В упрощенном однолетнем случае номинальный процентный доход `8.0000%`, облагаемый при получении по ставке `25.0000%`, оставляет номинальные `6.0000%`; при инфляции `3.0000%` точная реальная доходность после налога составляет `1.06 ÷ 1.03 − 1 = 2.9126%`, а не механически облагаемую налогом разность номинальной доходности и инфляции.

<a id="risks"></a>

## Контрольный список расчетов и подтверждений

- Зафиксируйте дату оценки, целевую дату, время, часовой пояс, календарь, единицы и соглашение о знаках.
- Разместите каждый денежный поток в начале периода, в конце периода, на дату расчетов или на точную договорную дату.
- Различайте договорные, ожидаемые, взвешенные по вероятности, сценарные и фактически реализованные денежные потоки.
- Согласуйте риск в ставке дисконтирования с риском, который еще не отражен в денежном потоке.
- Укажите простые проценты, дискретное или непрерывное начисление либо другое договорное правило наращения.
- Различайте номинальную APR, периодическую ставку, EAR, APY, облигационно-эквивалентную доходность, дисконтную доходность и непрерывно начисляемую доходность.
- Записывайте частоту платежей отдельно от частоты начисления процентов.
- Укажите Actual/365, Actual/360, Actual/Actual, 30/360 либо другое соглашение о подсчете дней и корректировку рабочего дня.
- Если важна временная структура, используйте спот-ставки или коэффициенты дисконтирования по срокам; не принимайте парную ставку за спот-ставку.
- Согласовывайте номинальные денежные потоки с номинальными ставками либо реальные потоки с реальными ставками, используя единые показатель инфляции и горизонт.
- Применяйте налоги к надлежащему номинальному доходу, вычету, приросту, базису, счету, юрисдикции и дате платежа до дефлирования.
- Учитывайте комиссии, первоначально выданные суммы, пункты, транзакционные издержки, обслуживание, досрочное погашение, удержания и чистую выручку на фактические даты.
- Согласуйте валюту денежного потока с валютой ставки дисконтирования и последовательно моделируйте валютный курс при разных валютах.
- Применяйте формулы обычного аннуитета и аннуитета пренумерандо к одному числу платежей и общей дате оценки.
- Явно учитывайте `r = 0`, отрицательные и переменные ставки, пропущенные платежи, крупные конечные платежи и неполные периоды.
- Проверяйте дату первого платежа перпетуитета и требуйте `r > g` для растущего перпетуитета.
- Не подменяйте нерегулярные даты равными месячными, квартальными или годовыми интервалами.
- Сохраняйте точность на протяжении расчета и округляйте только отображаемые результаты; сверяйте знаки притоков и оттоков.
- Выполняйте обратную проверку PV и FV, итогов аннуитетов, остатков по кредитам и независимо рассчитанных коэффициентов дисконтирования.
- Проводите стресс-тест ставок, дат, инфляции, налогов, комиссий, дефолта, реинвестирования и валюты и сохраняйте аудиторский след.

<a id="misconceptions"></a>

## Распространенные заблуждения

- **«Заявленная годовая ставка всегда является эффективной годовой доходностью».** APR, APY, EAR, облигационная, дисконтная и непрерывная конвенции могут описывать разную экономику.
- **«Аннуитет пренумерандо наращивается на один период меньше обычного аннуитета».** К одной будущей дате каждый такой платеж наращивается на один дополнительный период; к одной текущей дате он дисконтируется на один период меньше.
- **«В формулу перпетуитета можно подставить любой первый платеж».** Стандартная формула оценивает поток за один период до первого платежа; немедленный платеж следует прибавить отдельно.
- **«Вычитание инфляции из номинальной доходности с последующим налогообложением всегда дает реальную доходность после налога».** Налог обычно применяется к номинальным суммам по привязанным ко времени правилам, а точная поправка на инфляцию выполняется после этого.
- **«Точный результат расчета временной стоимости — обещанная величина».** Денежные потоки, ставки, реинвестирование, инфляция, налоги, комиссии, кредитный риск, валюта и сроки могут отличаться от допущений.

<a id="related"></a>

## Связанные темы

- [Приведенная стоимость](/ru/stocks/present-value/)
- [Будущая стоимость](/ru/stocks/future-value/)
- [Ставка дисконтирования](/ru/stocks/discount-rate/)

<a id="sources"></a>

## Авторитетные источники

- [Концептуальное положение FASB № 7](https://storage.fasb.org/con7.pdf) - традиционный метод и метод ожидаемых денежных потоков для расчета приведенной стоимости, неопределенность сроков и согласование риска в бухгалтерских оценках.
- [МСФО (IFRS) 13 «Оценка справедливой стоимости»](https://www.ifrs.org/issued-standards/list-of-standards/ifrs-13-fair-value-measurement/) - методы приведенной стоимости, допущения участников рынка, риск и неопределенность оценки в рамках цели бухгалтерской оценки справедливой стоимости.
- [Статистика процентных ставок Казначейства США](https://home.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates) - официальные ряды номинальных и реальных ставок Казначейства и обозначения сроков.
- [Часто задаваемые вопросы о ставках Казначейства США](https://home.treasury.gov/policy-issues/financing-the-government/interest-rate-statistics/interest-rates-frequently-asked-questions) - исходные данные парной кривой доходности, интерполяция, значение CMT и методологические ограничения.
- [Статистический выпуск H.15 об отдельных процентных ставках](https://www.federalreserve.gov/releases/h15/) - публикуемые ставки и примечания к инструментам, периодичности и соглашениям о ставках.
- [Приложение J к Положению Z](https://www.consumerfinance.gov/rules-policy/regulations/1026/J/) - правила расчета APR для закрытого потребительского кредита в США и заданные допущения о сделке.
- [Приложение A к Положению DD](https://www.consumerfinance.gov/rules-policy/regulations/1030/A/) - правила расчета APY для вкладов в США, начисление процентов, срок и соглашения о раскрытии информации.
- [Калькулятор сложных процентов Investor.gov](https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator) - учебная иллюстрация основной суммы, взносов, частоты начисления, времени и предполагаемого роста.

Source: https://wiki.fcontext.com/ru/stocks/time-value-of-money/index.mdx