---
title: "การกำหนดราคาออปชันด้วยผลต่างจำกัด: เครื่องหมาย เสถียรภาพ เงื่อนไขกีดขวาง และการลู่เข้า"
description: "สร้างตัวแก้ราคาออปชันด้วยผลต่างจำกัดที่ตรวจสอบได้ โดยใช้เครื่องหมายเวลา ตัวดำเนินการไม่ต่อเนื่อง เงื่อนไขขอบเขตและเหตุการณ์ เงื่อนไขประกอบแบบอเมริกัน การลดการสั่น และการลู่เข้าของราคาและ Greeks อย่างถูกต้อง"
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---

> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# การกำหนดราคาออปชันด้วยผลต่างจำกัด: เครื่องหมาย เสถียรภาพ เงื่อนไขกีดขวาง และการลู่เข้า

> จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

<a id="answer"></a>

## คำตอบโดยตรง

**การกำหนดราคาออปชันด้วยผลต่างจำกัด** แทนสมการประเมินมูลค่าแบบต่อเนื่องด้วยจุดบนกริดราคาและเวลา การใช้งานที่ถูกต้องต้องมีมากกว่ากริดละเอียด เครื่องหมายของเวลาปฏิทินและเวลาที่เหลือถึงครบกำหนด ตัวดำเนินการเชิงพื้นที่ เงื่อนไขปลายงวดและขอบเขต การกระโดดจากเหตุการณ์ แบบแผนเวลา ตัวแก้เงื่อนไขกีดขวางของออปชันอเมริกัน ค่าคงเหลือ และการควบคุมการลู่เข้าต้องสอดคล้องกันทั้งหมด

การปรับกริดให้ละเอียดแก้ได้เฉพาะความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลข ไม่สามารถแก้ payoff แบบจำลองสุ่ม การจัดการเงินปันผล สิทธิเรียกร้องจากการชำระราคา ข้อมูลตลาด หรือสมมติฐานการซื้อขายที่ผิด ตัวแก้อาจลู่เข้าอย่างแม่นยำไปยังคำตอบที่ผิดได้

<a id="mechanism"></a>

## หาอนุพันธ์ของกริดก่อนเขียนโปรแกรม

1. กำหนดสิทธิเรียกร้อง payoff `Phi(S)` รูปแบบการใช้สิทธิ การชำระราคา อัตราดอกเบี้ย ต้นทุนยืม เงินปันผล แบบจำลองความผันผวน และพิกัดให้แน่นอน เมื่อใช้เวลาปฏิทิน `t` สมการ PDE ของ Black-Scholes คือ `V_t + L V = 0` เมื่อใช้เวลาที่เหลือถึงครบกำหนด `tau = T - t` สมการเป็น `V_tau = L V` โดยเริ่มจาก `V(S, 0) = Phi(S)`
2. เลือกกริดราคาหรือ log-price โดเมนที่ตัดทอน กริดเวลา และการจัดตำแหน่ง spot ราคาใช้สิทธิ barrier เงินปันผล และจุดสังเกต ระบุว่า `N` นับช่วงหรือจุดบนกริด และทดสอบ `S_max` แยกจาก `Delta S`
3. บนกริดสม่ำเสมอ `S_i = i Delta S` ให้หา `a_i = 0.5[sigma^2 i^2 - (r - q)i]`, `b_i = -(sigma^2 i^2 + r)` และ `c_i = 0.5[sigma^2 i^2 + (r - q)i]` เพื่อให้ `(L_h V)_i = a_i V_(i-1) + b_i V_i + c_i V_(i+1)`
4. กำหนดขั้นเวลาให้ชัดเจน แบบ explicit คือ `V^(n+1) = (I + Delta tau L_h)V^n` แบบ implicit คือ `(I - Delta tau L_h)V^(n+1) = V^n` และ Crank-Nicolson คือ `(I - 0.5 Delta tau L_h)V^(n+1) = (I + 0.5 Delta tau L_h)V^n` ใส่พจน์ขอบเขตในข้างขวาและชั้นเวลาที่ถูกต้อง
5. ตรวจเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ทั่วทั้งกริด ข้อจำกัดคล้าย CFL ค่าบวก ความเป็นโมโนโทนิก คุณสมบัติของเมทริกซ์ และการสั่น แบบ explicit และ backward Euler โดยปกติมีอันดับหนึ่งในเวลา แบบ implicit กระจายความผันผวนมากกว่าแต่ไม่ได้แม่นยำน้อยกว่าเสมอ เสถียรภาพเชิงเส้นของ Crank-Nicolson ไม่ได้รับประกันความเป็นโมโนโทนิกหรือผลลัพธ์ที่ไม่สั่นบริเวณจุดหักของ payoff ต้องบันทึกการลดการสั่นแบบ Rannacher รอบทุกจุดไม่ต่อเนื่องที่นำมาใช้
6. สำหรับการใช้สิทธิแบบอเมริกัน ให้แก้ปัญหาส่วนเติมเต็มเชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่องด้วยวิธีที่ระบุชื่อ เช่น PSOR วิธี penalty หรือ operator splitting ที่มีเอกสารกำกับ บังคับให้ `V - Phi >= 0`, `A V - b >= 0` และ `(V - Phi) elementwise_times (A V - b) = 0` พร้อมรายงานค่าผ่อนคลาย จำนวนรอบสูงสุด และค่าคงเหลือของเงื่อนไขส่วนเติมเต็ม
7. อินเตอร์โพเลตราคาและ Greeks ณ spot แล้วปรับโดเมน พื้นที่ เวลา การจัดตำแหน่งเหตุการณ์ และค่าคลาดเคลื่อนของตัวแก้ให้ละเอียดขึ้น เปรียบเทียบกรณียุโรปกับสูตร กรณีอเมริกันกับต้นไม้ที่ละเอียดหรือตัวแก้อิสระ และบันทึกราคา Delta, Gamma, ขอบเขตการใช้สิทธิอิสระ การตรวจสอบไม่ให้เกิดอาร์บิทราจ และค่าคงเหลือ

เงื่อนไขขอบเขตต้องเป็นของสัญญานั้น ภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน Put ยุโรปอาจใช้ `V(0, tau) = K exp(-r tau)` และมีค่าเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ `S` เพิ่มขึ้น ส่วน Put อเมริกันมักใช้ `V(0, tau) = K` Call ยุโรปที่สินทรัพย์จ่ายเงินปันผลมีพฤติกรรมลิมิตด้านราคาสูงต่างออกไป เงินปันผลเงินสดแบบไม่ต่อเนื่องต้องใช้การกระโดดและอินเตอร์โพเลต เช่น `V(S, t-) = V(max(S - D, 0), t+)` แล้วจึงตัดสินใจใช้สิทธิตามลำดับที่ถูกต้อง

ผลต่างแบบกึ่งกลางอาจสร้างสัมประสิทธิ์การพาเป็นลบแม้ขั้นเวลาจะเล็ก จึงอาจต้องใช้การประมาณแบบ upwind แบบ fitted หรือกริด log-price สมการ PDE แบบ diffusion ก็ไม่ได้รวมการกระโดดของราคาโดยอัตโนมัติ ต้องแยกความคลาดเคลื่อนจากแบบจำลอง พารามิเตอร์ การปรับเทียบ วิธีเชิงตัวเลข และราคาที่ซื้อขายได้จริงออกจากกัน

<a id="example"></a>

## ตัวอย่างคำนวณ 4 กรณี

- **เครื่องหมายเวลาเปลี่ยนตามนาฬิกาที่เลือก** จาก `V_t + L V = 0` และ `tau = T - t` กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบให้ `V_tau = L V` ดังนั้นการเดินจาก payoff ที่ `tau = 0` ไปยัง `tau` ที่มากขึ้นจะใช้ตัวดำเนินการ `L` เครื่องหมายบวก การคัดลอกเครื่องหมายของการเดินถอยหลังในเวลาปฏิทินจะเป็นการแก้อีกปัญหาหนึ่ง
- **จุดหนึ่งอาจดูปลอดภัยเฉพาะบริเวณ** กำหนด `sigma = 25%`, `r = 4%`, `q = 0`, `i = 95` และ `Delta tau = 0.0005` จะได้ `a_i = 280.13125`, `b_i = -564.1025` และ `c_i = 283.93125` น้ำหนักแบบ explicit คือ `0.140065625`, `0.71794875` และ `0.141965625` รวมเป็น `0.99998` ค่าจุดข้างเคียง `6, 5, 4` อัปเดตเป็น `4.998` สำหรับ Put อเมริกันที่มีเงื่อนไขกีดขวาง `5` การฉายค่าแบบ explicit จะคง `5` ไว้ แต่ระบบ implicit หรือ Crank-Nicolson ยังต้องตรวจค่าคงเหลือของ LCP ที่เชื่อมโยงกัน
- **ข้อจำกัดมีผลทั่วทั้งกริด** เมื่อใช้อินพุตเดิมที่ `i = 200` น้ำหนักแบบ explicit คือ `0.623`, `-0.25002` และ `0.627` น้ำหนักตรงกลางที่ติดลบทำลายความเป็นโมโนโทนิกแม้จุดใกล้ spot จะดูใช้ได้ เมื่อลดขั้นเป็น `Delta tau = 0.0002` จะได้ `0.2492`, `0.499992` และ `0.2508` ซึ่งไม่ติดลบและรวมเป็น `0.999992`
- **ราคาและ Greeks ต้องมีการควบคุมแยกจากกัน** สำหรับ Put ยุโรปที่มี `S = $95`, `K = $100`, `T = 0.5`, `sigma = 25%`, `r = 4%` และ `q = 0` สูตร Black-Scholes ให้ `d_1 = -0.088633257689`, `d_2 = -0.265409952985`, ราคา `$8.413258404601`, Delta `-0.535313311861` และ Gamma `0.023662224614` กริดต้องลู่เข้าแยกกันครบทั้งสามผลลัพธ์ก่อนเชื่อถือส่วนเพิ่มมูลค่าแบบอเมริกันหรือขอบเขตการใช้สิทธิอิสระ

<a id="risks"></a>

## การควบคุม 7 ขั้นตอนและจุดที่อาจล้มเหลว

- เวลาปฏิทิน `t` และเวลาที่เหลือถึงครบกำหนด `tau` อาจเดินด้วยเครื่องหมายที่ไม่สอดคล้องกัน
- หน่วยวัน ปี อัตราดอกเบี้ย ความผันผวน และเงินปันผลอาจปะปนกัน
- อาจเขียน payoff รูปแบบการใช้สิทธิ สิทธิเรียกร้องจากการชำระราคา หรือชั้นปลายงวดผิด
- อาจนับอัตราเงินปันผลต่อเนื่องและเงินปันผลเงินสดแบบไม่ต่อเนื่องซ้ำหรือเรียงลำดับผิด
- `S_max` อาจอยู่ใกล้เกินไปแม้ `Delta S` จะดูเล็ก
- สูตรขอบเขตราคาต่ำและสูงอาจเป็นของสิทธิเรียกร้องหรือสมมติฐานต้นทุนถือครองที่ผิด
- เงินปันผล barrier จุด fixing หรือจุดสังเกตอาจอยู่ระหว่างจุดเวลาและถูกอินเตอร์โพเลตอย่างไม่เหมาะสม
- จำนวนจุดกับจำนวนช่วงหรือสูตรอนุพันธ์บนกริดไม่สม่ำเสมออาจคลาดไปหนึ่งตำแหน่ง
- drift อาจทำให้สัมประสิทธิ์เชิงพื้นที่แบบกึ่งกลางติดลบและทำลายความเป็นโมโนโทนิก
- น้ำหนักแบบ explicit อาจละเมิดเสถียรภาพหรือค่าบวกทั่วกริดในบริเวณที่ห่างจาก spot
- Crank-Nicolson อาจสั่นบริเวณจุดหักของ payoff, barrier หรือการกระโดดจากเหตุการณ์
- อาจไม่ใช้การลดการสั่นแบบ Rannacher หรือวิธีอื่น ใช้กับเหตุการณ์ผิด หรือไม่จัดทำเอกสาร
- ค่าคงเหลือของระบบเชิงเส้นอาจสูงแม้พื้นผิวดูเรียบ
- ค่าผ่อนคลาย PSOR เกณฑ์หยุด ค่าเริ่มต้น หรือขีดจำกัดรอบอาจไม่เสถียร
- อาจเข้าใจผิดว่าการเลือกค่าสูงสุดรายจุดเพียงครั้งเดียวเป็นการแก้ LCP แบบ implicit หรือ Crank-Nicolson ที่ถูกต้อง
- การอินเตอร์โพเลต ณ spot อาจทำให้มูลค่า Delta, Gamma หรือขอบเขตอิสระมีอคติ
- Gamma และขอบเขตการใช้สิทธิอาจยังมีสัญญาณรบกวนหลังราคาดูเหมือนลู่เข้าแล้ว
- อาจใช้อันดับการลู่เข้าที่สังเกตได้หรือการประมาณนอกช่วงแบบ Richardson นอกขอบเขตเชิงเส้นกำกับที่เรียบ
- diffusion การอินเตอร์โพเลตความผันผวนเฉพาะที่ การกระโดด พารามิเตอร์ หรือการปรับเทียบอาจผิดเชิงโครงสร้าง
- อาจนำเสนอมูลค่าทฤษฎีเป็น bid, ask, การป้องกันความเสี่ยง หรืออาร์บิทราจที่ซื้อขายได้จริง

<a id="misconceptions"></a>

## ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

- "กริดที่ละเอียดขึ้นพิสูจน์ว่าราคาถูกต้อง" ไม่ได้พิสูจน์ว่าสัญญาหรือแบบจำลองถูกต้อง
- "แบบ implicit มีความแม่นยำน้อยกว่า explicit โดยธรรมชาติ" แบบ Euler ทั้งสองมักมีอันดับหนึ่งในเวลา แต่มีพฤติกรรมด้านเสถียรภาพและความคลาดเคลื่อนต่างกัน
- "Crank-Nicolson เสถียรโดยไม่มีเงื่อนไข จึงเป็นโมโนโทนิกและไม่สั่น" คุณสมบัติเหล่านี้แยกจากกัน
- "มูลค่าแบบอเมริกันได้จากการแก้แบบไม่มีข้อจำกัดหนึ่งครั้งแล้วเลือกค่าสูงสุดรายจุด" ระบบ implicit ที่เชื่อมโยงกันต้องใช้วิธี LCP หรือการประมาณที่วัดความคลาดเคลื่อนได้
- "การตรงกับราคาเสนอหนึ่งค่าตรวจสอบตัวแก้และ Greeks แล้ว" การปรับเทียบและสัญญาณรบกวนของตลาดอาจซ่อนความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลขหรือโครงสร้าง

<a id="related"></a>

## หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

- [แบบจำลอง Black-Scholes](/th/options/black-scholes-model/)
- [การกำหนดราคาออปชันแบบทวินาม](/th/options/binomial-option-pricing/)
- [การใช้สิทธิก่อนกำหนด](/th/options/early-exercise/)

<a id="sources"></a>

## แหล่งข้อมูลปฐมภูมิ

- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type](https://doi.org/10.1007/BF02127704)
- [The Valuation of American Put Options](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1977.tb03284.x)
- [Finite Element Solution of Diffusion Problems with Irregular Data](https://doi.org/10.1007/BF01390130)
- [Convergence of Approximation Schemes for Fully Nonlinear Second Order Equations](https://doi.org/10.3233/ASY-1991-4305)
- [Operator Splitting Methods for American Option Pricing](https://doi.org/10.1016/j.aml.2004.06.010)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)

Source: https://wiki.fcontext.com/th/options/finite-difference-option-pricing/index.mdx