--- title: "การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต: มาตรวัด การจำลองแบบแม่นตรง และความเสี่ยงของแบบจำลอง" description: "ตรวจสอบ GBM ผ่านมาตรวัดเชิงกายภาพและมาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยง โมเมนต์ของการแจกแจงล็อกนอร์มอล การจำลองแบบแม่นตรงเทียบกับออยเลอร์ ความคลาดเคลื่อนมอนติคาร์โล การติดตามเส้นทาง และข้อจำกัดของแบบจำลอง" image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิต: มาตรวัด การจำลองแบบแม่นตรง และความเสี่ยงของแบบจำลอง > จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้ ## คำตอบโดยตรง ภายใต้มาตรวัดเชิงกายภาพ `P` การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเชิงเรขาคณิตที่มีพารามิเตอร์คงที่เขียนได้เป็น `dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P` คำตอบแบบแม่นตรงคือ `S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]` ดังนั้น `ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)` และราคา ณ ขอบเวลาจำกัดจะเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ในที่นี้ `mu` คือพารามิเตอร์การเติบโตของราคาคาดหมายแบบฉับพลัน ไม่ใช่อัตราการเติบโตเฉลี่ยของผลตอบแทนลอการิทึม ภายใต้มาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยง `Q` สินทรัพย์ที่ไม่รวมเงินปันผลและมีอัตราผลตอบแทนต่อเนื่อง `q` เป็นไปตาม `dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q` มาตรวัดทั้งสองตอบคำถามต่างกันและใช้การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนต่างกัน ความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงจึงไม่ใช่การพยากรณ์ผลตอบแทน ## สร้างและตรวจสอบ GBM ในเจ็ดขั้นตอน 1. ระบุว่างานนี้เป็นการพยากรณ์เชิงกายภาพ การประเมินมูลค่าแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง การทดสอบภาวะวิกฤต การทดสอบเชิงตัวเลข หรือการสอน และอย่าปะปนผลลัพธ์จาก `P` กับ `Q` 2. กำหนด `S_0` สกุลเงิน แบบแผนราคาหรือผลตอบแทนรวม `mu` หรือ `r - q` ความผันผวน อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล ขอบเวลา เวลาประทับ หลักเกณฑ์นับวัน การทบต้น และการปฏิบัติต่อเหตุการณ์ของบริษัท 3. เขียนสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มตามมาตรวัด คำตอบแบบแม่นตรง และหน่วย ภายใต้ `P` จะได้ `E[S_t] = S_0 e^(mu t)`, `Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)` และ `E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1` 4. ตรวจสอบค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของผลตอบแทนลอการิทึม ค่าเฉลี่ยราคา ความแปรปรวน มัธยฐาน ฐานนิยม ควอนไทล์ และความแตกต่างระหว่างผลตอบแทนแบบธรรมดากับแบบลอการิทึม ก่อนใช้เส้นทางหรือผลตอบแทนตามสัญญา 5. สำหรับ GBM ที่มีค่าคงที่เป็นช่วง ให้จำลองด้วย `S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i]` โดยใช้ `Z_i ~ N(0,1)` ที่เป็นอิสระ บันทึกตัวสร้างเลขสุ่ม และใช้ค่าเริ่มต้นสุ่มที่ทำซ้ำได้ เปรียบเทียบกับออยเลอร์เฉพาะในการศึกษาการแบ่งช่วงเท่านั้น 6. รายงานจำนวนเส้นทาง ตัวประมาณ ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน ช่วงความเชื่อมั่น และการลู่เข้า สำหรับแนวกั้น ค่าสุดขีด เวลาที่ผ่านระดับครั้งแรก หรือการติดตามแบบไม่ต่อเนื่อง ให้จัดการการข้ามระหว่างขั้นด้วยสะพานบราวเนียนหรือระบุการประมาณการติดตามอย่างชัดเจน 7. แยกความคลาดเคลื่อนของพารามิเตอร์ การสุ่มตัวอย่าง การแบ่งช่วง และโครงสร้างแบบจำลอง ทดสอบภาวะวิกฤตสำหรับการกระโดด ความผันผวนสุ่ม หางหนา อัตราทด การผิดนัด สภาพคล่อง การหยุดซื้อขาย ต้นทุนธุรกรรม การชำระราคา และการเปลี่ยนระบอบ ## ตัวอย่างคำนวณสี่กรณี - **โมเมนต์ของการแจกแจงเชิงกายภาพ** กำหนด `S_0 = $100`, `mu = 8%`, `sigma = 20%` และ `T = 1` ค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนลอการิทึมคือ `0.06` และความแปรปรวนคือ `0.04` มัธยฐานเท่ากับ `$106.1836546545` ค่าเฉลี่ย `$108.3287067675` ฐานนิยม `$102.0201340027` ความแปรปรวน `$478.9188716836` และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน `$21.8842151261` แรงกระทบ `Z = -1` และ `Z = +1` ให้ราคา `$86.9358235399` และ `$129.6930086666` ซึ่งเป็นสถานการณ์จำลอง ไม่ใช่ขอบเขต - **เส้นทางแบบแม่นตรงเทียบกับออยเลอร์** เมื่อ `S_0 = $100`, `mu = 6%`, `sigma = 30%`, `Delta t = 0.25` และ `Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]` ราคาแบบแม่นตรงคือ `$108.1933804806`, `$93.4727720616`, `$97.4091536282` และ `$117.9393118711` ส่วนออยเลอร์สิ้นสุดที่ `$119.3300424062` การเปลี่ยนผ่านแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่แม่นตรงคงความเป็นบวกสำหรับสัมประสิทธิ์คงที่เหล่านี้ แต่ออยเลอร์มีอคติจากการแบ่งช่วงและอาจให้ค่าติดลบ - **มูลค่าออปชันแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง** กำหนด `S_0 = $100`, `K = $105`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `sigma = 25%` และ `T = 0.75` ราคาฟอร์เวิร์ดคือ `$101.8926885052`, `d_1 = -0.0304963995` และ `d_2 = -0.2470027504` มูลค่าคอลออปชันแบบยุโรปคือ `$7.2291486749` ดริฟต์เชิงกายภาพ `mu` ไม่ได้อยู่ในราคาปลอดการทำกำไรโดยไร้ความเสี่ยงที่ควบคุมนี้ - **ความคลาดเคลื่อนจากการสุ่มตัวอย่างมอนติคาร์โล** ภายใต้ `P` กำหนด `S_0 = $100`, `mu = 7%`, `sigma = 25%` และ `T = 0.5` สำหรับ `S_T > $120` ค่าเกณฑ์คือ `z_star = 0.9217649222` และความน่าจะเป็นแบบแม่นตรงคือ `0.1783256040` เมื่อมีเส้นทางอิสระ `N = 100,000` เส้น ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานเชิงทฤษฎีของเบอร์นูลลีคือ `0.0012104775` ครึ่งความกว้างที่ `95%` คือ `0.0023725358` จึงได้ช่วงอ้างอิงที่มีค่าจริงเป็นศูนย์กลาง `[0.1759530681, 0.1806981400]` การเพิ่มจำนวนเส้นทางลดความคลาดเคลื่อนจากการสุ่มตัวอย่าง แต่ไม่ลดความคลาดเคลื่อนของแบบจำลอง ## ความเสี่ยงด้านข้อมูลนำเข้า ตัวเลข และแบบจำลอง - ปะปนมาตรวัดเชิงกายภาพกับมาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยง หรือปะปนการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน - ถือว่า `mu` เป็นการเติบโตเฉลี่ยของผลตอบแทนลอการิทึมหรือเป็นผลตอบแทนแบบธรรมดาสำหรับช่วงเวลาจำกัด - สับสนระหว่างราคาที่ไม่รวมเงินปันผล ผลตอบแทนรวม และเงินจ่ายที่นำกลับมาลงทุน - ปะปน `r`, `r - q`, เงินปันผลแบบไม่ต่อเนื่อง การทบต้น และแบบแผนฟอร์เวิร์ด - ปะปนหน่วยเวลาปฏิทิน วันซื้อขาย ระหว่างวัน และรายปี - ใช้ความผันผวนเป็นเปอร์เซ็นต์แทนทศนิยมหรือปรับเป็นรายปีผิดวิธี - ใช้พารามิเตอร์ล้าสมัย ข้อมูลที่ปรับย้อนหลัง ข้อมูลอนาคต หรือเวลาประทับที่ไม่สอดคล้องกัน - พึ่งพาค่าประมาณดริฟต์ระยะสั้นที่มีสัญญาณรบกวนเพื่อคาดการณ์ทิศทาง - สมมติว่าส่วนเพิ่มลอการิทึมแบบเกาส์เป็นอิสระและคงที่ในทุกระบอบ - ถือว่าความผันผวนคงที่สอดคล้องกับสกิว โครงสร้างตามอายุ การกระจุกตัว และผลของอัตราทด - ละเลยการกระโดด ช่องว่างข้ามคืน เหตุผิดนัดที่ทำให้มูลค่าเป็นศูนย์ และการหยุดซื้อขาย - สมมติว่าแบบจำลองล็อกนอร์มอลสะท้อนหางหนาและความสัมพันธ์ในภาวะวิกฤต - ละเลยอัตราดอกเบี้ย เงินปันผล ต้นทุนการยืม หรือโครงสร้างสหสัมพันธ์หลายสินทรัพย์ที่เป็นแบบสุ่ม - ใช้ออยเลอร์ทั้งที่มีการเปลี่ยนผ่าน GBM แบบแม่นตรง หรือมองข้ามความเป็นไปได้ที่ราคาจากออยเลอร์จะติดลบ - ไม่บันทึกตัวสร้างเลขสุ่ม ค่าเริ่มต้นสุ่ม วิธีแอนทิธีติกหรือการลดความแปรปรวน และข้อมูลสำหรับทำซ้ำ - รายงานเส้นทางโดยไม่มีความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของตัวประมาณ ช่วงความเชื่อมั่น และการลู่เข้า - พลาดการข้ามแนวกั้นระหว่างขั้น ค่าสุดขีด และเหตุการณ์ผ่านระดับครั้งแรก - สับสนว่าการเพิ่มจำนวนขั้นเวลาจะลดความคลาดเคลื่อนเชิงโครงสร้างของแบบจำลอง - ถือว่าการปรับเทียบกับราคาหรือโมเมนต์การแจกแจงเพียงค่าเดียวเป็นการตรวจสอบแบบจำลอง - ละเลยราคาที่ซื้อขายได้จริง สภาพคล่อง ต้นทุน การปิดตลาด การชำระราคาของผลิตภัณฑ์ ธรรมาภิบาล และการกระทบยอด ## ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย - **"GBM พยากรณ์ราคาหุ้น"** GBM กำหนดการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขภายใต้พารามิเตอร์ที่เลือก - **"ดริฟต์ของผลตอบแทนลอการิทึมคือ mu"** ภายใต้สัญกรณ์เชิงกายภาพที่ใช้ที่นี่ ดริฟต์คือ `mu - 0.5 sigma^2` - **"ความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงคือการพยากรณ์โลกจริง"** ความน่าจะเป็นดังกล่าวเป็นมาตรวัดเพื่อการประเมินมูลค่าภายใต้ข้อสมมติของตลาดที่ระบุไว้ - **"ขั้นหรือเส้นทางที่มากขึ้นทำให้แบบจำลองตลาดสมจริง"** จำนวนที่มากขึ้นช่วยเรื่องความคลาดเคลื่อนจากการแบ่งช่วงหรือการสุ่มตัวอย่าง ไม่ได้เติมกลไกเศรษฐกิจที่ขาดไป - **"ราคาล็อกนอร์มอลที่เป็นบวกจำกัดความเสี่ยงขาลง"** ราคาสามารถเข้าใกล้ศูนย์ได้โดยไม่มีขอบเขต และ GBM ไม่รวมการผิดนัดอย่างฉับพลัน ## หัวข้อที่เกี่ยวข้อง - [แบบจำลองแบล็ก-โชลส์](/th/options/black-scholes-model/) - [การกำหนดราคาออปชันด้วยมอนติคาร์โล](/th/options/monte-carlo-option-pricing/) - [แบบจำลองออปชันการแพร่แบบมีการกระโดด](/th/options/jump-diffusion-option-model/) ## แหล่งข้อมูลปฐมภูมิและวิชาการ - [On stochastic differential equations](https://doi.org/10.1090/memo/0004) - [Mathematics of Speculative Price](https://doi.org/10.1137/1015001) - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143) - [An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations](https://doi.org/10.1137/S0036144500378302) - [1.3.6.6.9. Lognormal Distribution](https://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm) - [Option pricing when underlying stock returns are discontinuous](https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2) - [The Variation of Certain Speculative Prices](https://doi.org/10.1086/294632) Source: https://wiki.fcontext.com/th/options/geometric-brownian-motion/index.mdx