---
title: "ราคาหุ้นแบบล็อกนอร์มัล: สมมติฐาน คณิตศาสตร์ และข้อจำกัด"
description: "ทำความเข้าใจว่าเหตุใดแบบจำลองออปชันแบบดั้งเดิมจึงสมมติให้ราคาหุ้นมีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล ผลตอบแทนแบบง่ายต่างจากผลตอบแทนลอการิทึมอย่างไร และหางหนา การกระโดด และความผันผวนที่เปลี่ยนแปลงจำกัดสมมติฐานนี้อย่างไร"
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---

> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# ราคาหุ้นแบบล็อกนอร์มัล: สมมติฐาน คณิตศาสตร์ และข้อจำกัด

> จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

<a id="answer"></a>

## คำตอบโดยตรง

แบบจำลองออปชันแบบดั้งเดิมมักสมมติว่า **ราคา** หุ้นในอนาคตมีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล ซึ่งหมายความว่า **ผลตอบแทนลอการิทึม** แบบทบต้นต่อเนื่องมีการแจกแจงแบบปกติ แบบจำลองไม่ได้สมมติว่าราคาเองมีการแจกแจงแบบปกติ และไม่ได้กล่าวว่าผลตอบแทนมีการแจกแจงแบบ “ล็อกนอร์มัล” ภายใต้การเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต:

`S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]` โดยที่ `Z∼N(0,1)`

ในสมการนี้ μ คืออัตราแนวโน้มของราคาภายใต้มาตรวัดความน่าจะเป็นที่ใช้ σ คือความผันผวน และ T คือช่วงเวลา การยกกำลังทำให้ราคาในแบบจำลองเป็นบวก ทำให้ผลตอบแทนลอการิทึมหลายช่วงเวลาบวกกันได้ และนำไปสู่สูตรออปชันที่คำนวณได้สะดวก แต่ตลาดจริงไม่เป็นไปตามสมมติฐานนี้ทุกประการ ผลตอบแทนมีความเบ้ หางหนา การกระจุกตัวของความผันผวน การกระโดด การหยุดซื้อขาย และการแจกแจงที่เปลี่ยนไป ล็อกนอร์มัลจึงเป็นเกณฑ์อ้างอิงที่ชัดเจน ไม่ใช่กฎของตลาด

<a id="mechanism"></a>

## กลไกการแจกแจงและการกำหนดราคา

ผลตอบแทนแบบง่ายคือ `R=S_T/S_0-1` ส่วนผลตอบแทนลอการิทึมคือ `g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)` ผลตอบแทนลอการิทึมบวกกันข้ามช่วงเวลาได้ ขณะที่ผลตอบแทนแบบง่ายต้องทบต้นด้วยการคูณ ราคาที่เพิ่มจาก `$100` เป็น `$110` แล้วลดลงเป็น `$99` ให้ค่า `ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%` การนำผลตอบแทนแบบง่าย `+10%` และ `-10%` มาบวกกันตรง ๆ จึงให้ผลเป็นศูนย์อย่างไม่ถูกต้อง

ถ้า `ln S_T∼N(m,v)` มัธยฐานของราคาคือ `e^m` ค่าเฉลี่ยคือ `e^(m+v/2)` และฐานนิยมคือ `e^(m-v)` การแจกแจงของราคามีความเบ้ไปทางขวา มีขอบล่างที่ศูนย์ และไม่มีขอบบนที่จำกัด แบบจำลองนี้ไม่ทำให้ราคาถึงศูนย์พอดีภายในเวลาจำกัด ดังนั้นการผิดนัดและสถานะดูดกลืนอื่นต้องสร้างแบบจำลองแยกต่างหาก

ภายใต้มาตรวัดจริง การกำหนด μ ต้องอาศัยสมมติฐานหรือค่าประมาณของผลตอบแทน แต่ภายใต้มาตรวัดที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงของ Black-Scholes อัตราแนวโน้มของราคาจะเป็น r−q ทำให้ค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนลอการิทึมเท่ากับ `(r-q-σ²/2)T` การแจกแจงนี้ใช้กำหนดราคาสิทธิเรียกร้องที่มีเงื่อนไขภายใต้หลักไม่เปิดช่องให้ทำกำไรไร้ความเสี่ยง ไม่ใช่การคาดการณ์ความถี่ที่เกิดขึ้นจริง นอกจากนี้ `σ` ที่คงที่ยังหมายถึงความผันผวนโดยนัยค่าเดียวสำหรับราคาใช้สิทธิทุกระดับในวันครบกำหนดเดียวกัน ซึ่งขัดกับ skew หรือ smile ที่พบในตลาด

<a id="example"></a>

## ตัวอย่างการแจกแจงหนึ่งปี

สมมติให้ `S_0=$100` และผลตอบแทนลอการิทึมหนึ่งปีมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย `5%` และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน `20%` มัธยฐานของราคาในอนาคตคือ `$100e^0.05=$105.13` ค่าเฉลี่ยคือ `$100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25` และฐานนิยมคือ `$100e^(0.05-0.20²)=$101.01` ดังนั้น “ราคาคาดหมาย” ไม่ใช่ค่ากึ่งกลางหรือค่าที่มีโอกาสเกิดมากที่สุดของการแจกแจง

ถ้าใช้ `Z=-1` และ `Z=+1` แทนเปอร์เซ็นไทล์ที่ 16 และ 84 โดยประมาณ จะได้ `$100e^(0.05-0.20)=$86.07` และ `$100e^(0.05+0.20)=$128.40` ช่วงราคาในหน่วยดอลลาร์ไม่สมมาตร แม้ว่าช่วงผลตอบแทนลอการิทึมจะสมมาตรก็ตาม

อีกตัวอย่างหนึ่งแสดงว่าเหตุใดนิยามผลตอบแทนจึงสำคัญ การลดลง `50%` จาก `$100` เป็น `$50` แล้วเพิ่มขึ้น `50%` ทำให้ราคาอยู่ที่ `$75` เท่านั้น ผลตอบแทนแบบง่ายสะสมจึงเป็น `-25%` ส่วนผลตอบแทนลอการิทึมรวมกันได้พอดีเป็น `ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%` การฟื้นจาก `$50` กลับไป `$100` ต้องเพิ่มขึ้น `100%`

<a id="risks"></a>

## รายการตรวจสอบการทดสอบและความเสี่ยงของแบบจำลอง

- ใช้ข้อมูลผลตอบแทนรวม หรือข้อมูลราคาที่ปรับอย่างถูกต้อง เพราะการแตกหุ้นและการจ่ายเงินตามปกติอาจสร้างการกระโดดเทียมในข้อมูลที่ไม่ปรับ
- จัดแนวเวลา สกุลเงิน เวลาปิดตลาด ข้อมูลที่ขาดหาย และวันที่ไม่มีการซื้อขายให้ตรงกันก่อนคำนวณผลตอบแทน
- ระบุให้ชัดว่าใช้ผลตอบแทนแบบง่ายหรือแบบลอการิทึม ทั้งสองค่าใกล้กันเฉพาะเมื่อการเปลี่ยนแปลงมีขนาดเล็ก
- เปรียบเทียบความเบ้ ความโด่งส่วนเกิน ควอนไทล์ 1%/5%/95%/99% ฮิสโตแกรม และกราฟ Q-Q ของข้อมูลกับเกณฑ์แบบปกติ
- ตรวจสอบช่วงสงบและช่วงวิกฤตแยกกัน เพราะการผสมภาวะความผันผวนที่เปลี่ยนไปก็อาจสร้างการแจกแจงผลตอบแทนแบบไม่มีเงื่อนไขที่มีหางหนาได้
- ทดสอบความสัมพันธ์ตามลำดับเวลาในผลตอบแทนและผลตอบแทนยกกำลังสอง การกระจุกตัวของความผันผวนขัดกับสมมติฐานการเพิ่มขึ้นที่คงที่และเป็นอิสระ
- อย่าใช้การปรับขนาด `√T` โดยอัตโนมัติรอบการประกาศผลประกอบการ เหตุการณ์ที่กำหนดไว้ ความจำระยะยาว หรือการเปลี่ยนภาวะตลาด
- แยกพารามิเตอร์ภายใต้มาตรวัดจริงที่ใช้พยากรณ์ ออกจากพารามิเตอร์ที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงซึ่งอนุมานมาเพื่อกำหนดราคา
- ใช้พื้นผิวความผันผวนโดยนัยปัจจุบันเพื่อประเมินออปชันข้ามราคาใช้สิทธิ แทนการบังคับใช้ความผันผวน ณ จุดเสมอทุนค่าเดียวกับทุกสัญญา
- ทดสอบภาวะวิกฤตจากการกระโดด การผิดนัด การหยุดซื้อขาย การหายไปของสภาพคล่อง และการกำหนดราคาความผันผวนใหม่ ซึ่งอยู่นอกกระบวนการแพร่แบบราบรื่น
- ตรวจสอบพารามิเตอร์และความคลาดเคลื่อนของการป้องกันความเสี่ยงนอกกลุ่มตัวอย่าง การเข้ากับเหตุการณ์สุดขั้วในอดีตไม่ได้พิสูจน์เสถียรภาพในอนาคต
- สำหรับออปชันที่ขึ้นกับเส้นทาง ให้จำลองเส้นทางระหว่างทางและความคลาดเคลื่อนจากการแบ่งช่วงเวลา ไม่ใช่สุ่มเฉพาะราคาปลายทางแบบล็อกนอร์มัล

<a id="misconceptions"></a>

## ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

- “ผลตอบแทนหุ้นมีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล” ข้อความตามแบบจำลองดั้งเดิมคือราคามีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล และผลตอบแทนลอการิทึมมีการแจกแจงแบบปกติ
- “ราคาในแบบจำลองเป็นบวกจึงพิสูจน์ว่าแบบจำลองสมจริง” ความเป็นบวกไม่ได้ครอบคลุมการผิดนัด การกระโดด หางหนา หรือภาวะความผันผวน
- “ราคาเฉลี่ยคือราคาที่มีโอกาสเกิดมากที่สุด” ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมของการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัลแตกต่างกัน
- “ช่วงผลตอบแทนลอการิทึมที่สมมาตรย่อมสมมาตรในหน่วยดอลลาร์” การยกกำลังทำให้ช่วงราคาไม่สมมาตร
- “ความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงคือความน่าจะเป็นจริง” นี่คือมาตรวัดที่สอดคล้องกับการกำหนดราคาแบบคิดลดโดยไม่เปิดช่องให้ทำกำไรไร้ความเสี่ยง และมีวัตถุประสงค์ต่างจากการพยากรณ์จริง
- “ความผันผวนรายปีเท่ากับความผันผวนรายวันคูณ `√252` เสมอ” การปรับขนาดนี้ต้องอาศัยการเพิ่มขึ้นที่มีเสถียรภาพและเป็นอิสระ
- “ความผันผวนในอดีตค่าเดียวใช้กำหนดราคาออปชันได้ทุกสัญญา” ราคาออปชันในตลาดมักสะท้อนความผันผวนที่ต่างกันตามราคาใช้สิทธิและวันครบกำหนด
- “ควรลบเหตุการณ์ที่เกิดไม่บ่อยออกเพราะเป็นค่าผิดปกติ” หลังตรวจสอบข้อมูลแล้ว ค่าสุดขั้วอาจเป็นหลักฐานสำคัญที่คัดค้านสมมติฐานเกี่ยวกับหางของการแจกแจง
- “การสุ่มราคาปลายทางแบบล็อกนอร์มัลเพียงพอสำหรับอนุพันธ์ทุกชนิด” ออปชันแบบมีเงื่อนไขกีดขวาง แบบเอเชีย และแบบอเมริกันขึ้นกับเส้นทางหรือการตัดสินใจใช้สิทธิ

<a id="related"></a>

## หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

- [การเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต](/th/options/geometric-brownian-motion/)
- [แบบจำลอง Black-Scholes](/th/options/black-scholes-model/)
- [การกำหนดราคาที่เป็นกลางต่อความเสี่ยง](/th/options/risk-neutral-pricing/)
- [ความผันผวนในอดีต](/th/options/historical-volatility/)
- [ความเบ้ของความผันผวน](/th/options/volatility-skew/)
- [แบบจำลองออปชันแบบกระโดดและแพร่](/th/options/jump-diffusion-option-model/)

<a id="sources"></a>

## แหล่งข้อมูลทางวิชาการ

- [Black and Scholes: การกำหนดราคาออปชันและหนี้สินของบริษัท](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Merton: ทฤษฎีการกำหนดราคาออปชันอย่างมีเหตุผล](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Mandelbrot: ความแปรผันของราคาเก็งกำไรบางประเภท](https://doi.org/10.1086/294632)
- [Fama: พฤติกรรมของราคาในตลาดหุ้น](https://doi.org/10.1086/294743)
- [Cboe: ดัชนี Cboe SKEW](https://cdn.cboe.com/resources/indices/documents/SKEWwhitepaperjan2011.pdf)

Source: https://wiki.fcontext.com/th/options/lognormal-stock-returns/index.mdx