# 蝶式套利：执行价凸性、加权价差与真实成交

用蝶式价差检验 Call 价格凸性，处理不等距执行价，并区分可成交套利与报价噪声。

规范链接: https://wiki.fcontext.com/zh-cn/options/butterfly-arbitrage/
事实核验日期: 2026-07-22

> 仅供教育参考，不构成投资建议；投资可能产生损失。

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## 直接答案

对同一到期日、其他条款相同的欧式 Call，无套利价格必须随执行价不增加，并对执行价保持**凸性**。等距执行价 `K−h`、`K`、`K+h` 满足：

`C(K−h) − 2C(K) + C(K+h) ≥ 0`

左侧是多头 Call 蝶式的价格，其到期支付永不为负。若组合确实能以净贷记开仓，且未来除非负支付外没有其他债务，那么在计入全部成本和限制后，报价违反静态无套利。

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## 凸性与不等距执行价

等距蝶式买入一张低执行价 Call、卖出两张中间 Call、买入一张高 Call。到期支付在低执行价以下为零，向中间执行价上升至 `h`，再下降至高执行价的零，并在更高价格保持零。

对于不等距执行价 `K₁ < K₂ < K₃`，直接使用 `1:−2:1` 是错误的。设 `w = (K₃−K₂)/(K₃−K₁)`，凸性要求：

`C(K₂) ≤ wC(K₁) + (1−w)C(K₃)`

等价的加权蝶式买入 `K₃−K₂` 份低执行价 Call、卖出 `K₃−K₁` 份中间 Call、买入 `K₂−K₁` 份高 Call，并按可交易合约数量缩放。

凸性也是 Call 价格对执行价二阶导数对应非负状态价格密度的原因。理想价格曲线中的负蝶式价格意味着负局部密度。

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## 90/100/110 报价违规

假设同到期欧式 Call 的同步理论可成交价格为：

| 执行价 | Call 价格 |
| ---: | ---: |
| `$90` | `$15` |
| `$100` | `$10` |
| `$110` | `$4` |

多头蝶式成本为：

`$15 − 2×$10 + $4 = −$1`

每单位标的初始收取 `$1`，到期支付始终非负，并在 `S_T = $100` 时达到 `$10`。乘数 100 时，费用前初始贷记为 `$100`。

真实成交必须用两侧买入腿的 Ask 与两张中间卖出腿的 Bid。若这些可成交价格使成本转为正，所谓中间价套利就不存在。全部合约还必须拥有相同到期、行权方式、结算、乘数和标的。

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## 套利核验清单

- 使用同步可成交 Bid/Ask，不用最后成交或独立中间价。
- 使用 `1:−2:1` 前确认执行价等距，否则计算权重。
- 匹配到期、标的、行权方式、结算、乘数和公司行动状态。
- 尽量使用组合订单；分腿会暴露方向和波动率风险。
- 纳入佣金、交易所费用、融资、保证金、税务和结算费。
- 检查所需数量的市场深度；最优价可能只覆盖一张合约。
- 干净静态检验优先采用欧式合约；美式行权和股息会改变持有现金流。
- 核实券商权限、持仓限制、强平处理和到期操作。

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## 常见误区

- “负中间价蝶式就是免费收益。”中间价不是可成交价。
- “公式适用于任意三个执行价。”`1:−2:1` 要求等距。
- “到期支付非负就没有风险。”成交、指派、结算和券商风险仍在。
- “拟合密度为负就证明有交易。”它可能来自插值或陈旧数据。
- “各腿以后都能按显示价成交。”市场会变，部分成交会留下敞口。
- “微小违规放大规模仍有利润。”深度、费用和市场冲击常增长更快。

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## 权威来源

- [期权价格隐含的状态或有索取权价格](https://doi.org/10.1086/296025) - Douglas T. Breeden 与 Robert H. Litzenberger
- [标准化期权的特征与风险](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 期权清算公司
- [SPX 期权产品规格](https://www.cboe.com/tradable_products/sp_500/spx_options/specifications/) - Cboe