# Dupire 局部波动率：从期权曲面反推扩散过程

理解 Dupire 公式如何从欧式 Call 价格提取局部波动率、无套利平滑为何必要，以及静态校准会产生哪些模型风险。

规范链接: https://wiki.fcontext.com/zh-cn/options/dupire-local-volatility/
事实核验日期: 2026-07-22

> 仅供教育参考，不构成投资建议

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## 直接答案

**Dupire 局部波动率**是从无套利欧式期权价格曲面反推出的、由资产水平和时间决定的确定函数。它寻找瞬时扩散率 `σ_loc(S,t)`，使一个连续的风险中性价格过程能够重现今天不同执行价和期限的 Call 价格。

它是校准模型，不是实现波动率或股票方向预测。理论上精确匹配今天的香草期权曲面，也不代表明天的微笑动态、奇异期权价格和对冲结果正确。

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## 模型与公式

在连续无风险利率 `r` 和股息率 `q` 下，局部波动率过程可写为：

`dS_t = (r−q)S_t dt + σ_loc(S_t,t)S_t dW_t`。

令 `C(K,T)` 为足够平滑的欧式 Call 价格曲面，一种常见 Dupire 形式为：

`σ_loc²(K,T) = [∂_T C + (r−q)K∂_K C + qC] / [0.5K²∂²_K C]`。

分母包含 Call 对执行价的二阶导数，它与折现后的风险中性终值密度相关。因此 Call 价格必须随执行价下降且保持凸性，曲面还须满足适当日历约束。公式变体取决于折现、远期、股息和坐标口径，输入单位必须与所用推导一致。

局部波动率不是隐含波动率。隐含波动率是重现某一张期权价格的单个 Black-Scholes 输入；局部波动率是模拟路径到达状态 `(S,t)` 时使用的瞬时扩散系数。纯局部波动率模型在该状态只有一个指定波动率，随机波动率模型则可在相同现价和时间对应多个方差状态。

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## 示意导数计算

在 `K=$100`、`T=0.5` 年处，假设一个平滑无套利 Call 曲面给出：

- `C=7.00`，`∂_T C=8.50`/年。
- `∂_K C=−0.45`，`∂²_K C=0.018`/美元平方。
- 连续复利 `r=4%`、`q=1%`。

分子为 `8.50 + (0.04−0.01)×100×(−0.45) + 0.01×7.00 = 7.22`，分母为 `0.5×100²×0.018 = 90`。所以 `σ_loc²≈7.22/90≈0.0802`，`σ_loc≈28.3%`。

这些导数是拟合曲面的示意值，不能直接用相邻期权链报价作差。市场报价离散、不同步且有噪声，执行价二阶导数会放大小误差；负数或接近零的分母会产生负、无限大或不稳定的局部方差。

可靠流程应清洗同步报价，估算贴现因子和远期，拟合不存在蝶式或日历套利的平滑曲面，再求导并施加边界控制，最后通过 PDE 或模拟重定价输入期权。重估价格应接近可成交市场范围，而不仅是选择性的中间价。

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## 校准检查清单

- 使用欧式期权或有依据的欧式化流程；美式股票期权包含提前行权价值。
- 在定义 Moneyness 前，用利率、股息和 Put-Call Parity 一致地推算远期。
- 跨多个执行价和期限拟合价格或总方差，并明确加入无静态套利约束。
- 检查执行价单调性和凸性、日历顺序、正密度与正局部方差。
- 对照 Bid/Ask，移除过时或交叉报价，并记录稀疏尾部的外推规则。
- 扰动一个报价、远期、股息、节点、插值规则和网格步长，测量不稳定性。
- 重估所有校准工具，并保留部分执行价或期限作验证集。
- 比较 PDE 和 Monte Carlo 输出，尤其关注短期限和边界。
- 即使香草期权重估精确，也把障碍等路径依赖产品视为模型依赖价格。
- 用其他微笑动态、随机波动率和跳跃模型评估对冲行为。

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## 常见误区

- “局部波动率就是该执行价的 IV。”两者定义不同，数值无需相等。
- “精确校准香草期权证明模型正确。”它只建立静态一致性，不证明动态真实。
- “原始期权链数字能直接代入公式。”求导前必须平滑并控制套利。
- “负局部方差描述了市场。”它通常表示输入、套利、插值或数值不稳定问题。
- “反推曲面能预测未来实现波动率。”它是依据当前期权价格校准的风险中性量。
- “一个校准模型能给出正确障碍期权价格。”路径和微笑动态带来显著模型风险。

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## 相关主题

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## 一手与学术来源

- [Bruno Dupire：Pricing with a Smile](https://www.risk.net/sites/default/files/import_unmanaged/risk.net/data/Pay_per_view/risk/technical/1994/risk_0194_volatility.pdf)
- [局部时与 Dupire 公式](https://doi.org/10.1016/j.spa.2019.07.013)
- [Gatheral 与 Jacquier：无套利 SVI 波动率曲面](https://arxiv.org/abs/1204.0646)
- [Heston：随机波动率期权定价闭式解](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)