# 局部波动率模型：从期权曲面到状态波动率

理解局部波动率模型如何把无套利期权曲面转换为确定性波动率函数、Dupire 方程如何计算，以及精确校准为何不代表未来动态真实。

规范链接: https://wiki.fcontext.com/zh-cn/options/local-volatility-model/
事实核验日期: 2026-07-22

> 仅供教育参考，不构成投资建议

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## 直接答案

**局部波动率模型**把瞬时波动率设为当前标的价格与时间的确定函数。一个简单的风险中性表达式为 `dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t`。Black-Scholes 使用单一常数波动率，而局部波动率模型在输入曲面足够平滑且满足无套利条件时，可以重现不同执行价和到期日的整套欧式期权价格。

在理想连续扩散设定中，该模型具有完备性，可用于给路径依赖合约定价并计算与当前普通期权曲面一致的对冲。但今天精确拟合，并不代表能预测明天的隐含波动率曲面。未来微笑动态由确定函数强制产生，可能与真实市场明显不同。

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## Dupire 校准机制

设 `C(K,T)` 是执行价 `K`、到期时间 `T` 的欧式 Call 价格。为便于说明，假设利率 `r` 和股息率 `q` 为常数。Dupire 正向方程给出：

`σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]`。

执行价二阶曲率 `∂²_KK C` 与风险中性终值密度相关。因此，Call 价格必须随执行价下降并保持凸性，期限关系也需一致，公式才有经济意义。实务中先清洗报价，将利率和分红转换为远期价与贴现因子，拟合受无套利约束的平滑曲面，再求导并对局部波动率网格插值或外推。

校准后的 `σ_loc(K,T)` 不等于该执行价和期限屏幕上的隐含波动率。隐含波动率是让 Black-Scholes 重现单一期权价格的常数参数；局部波动率则是通过完整状态分布重现更广曲面的瞬时扩散系数。

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## Dupire 数值示例

在 `K=$100`、`T=1` 年处，假设平滑后的 Call 曲面给出 `C=$8`、`∂_T C=10` 美元/年、`∂_K C=-0.45`、`∂²_KK C=0.018` 每美元。令 `r=5%`、`q=2%`，分子为：

`10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81`。

分母为 `0.5×100²×0.018=90`，因此局部方差为 `8.81/90=0.0979`，局部波动率为 `√0.0979=31.3%`。

这只是数值演示，并非市场估计。若噪声拟合使曲率从 `0.018` 变为 `0.012`，其余输入不变，推导波动率会升至 `√(8.81/60)=38.3%`。这一巨大差异说明报价筛选、无套利平滑、网格稳定性和样本外检查为何重要。

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## 校准与模型风险检查

- 使用同步的可成交期权报价、远期价、贴现因子、分红、合约条款和结算口径。
- 按记录明确的规则剔除交叉、陈旧、零买价及经济上不一致的数据。
- 数值求导前强制执行价凸性和适当的期限单调性。
- 测试插值、平滑惩罚、报价权重、网格间距、边界条件和外推敏感度。
- 对全部校准普通期权重新定价，并以可成交价格单位报告误差，而不只看 IV 点数。
- 在股价和曲面冲击下，对比局部波动率、Black-Scholes 与随机波动率的对冲行为。
- 压力测试跳空；连续扩散无法在瞬时跳跃中完成对冲。
- 把未来曲面动态视为模型假设；局部波动率产生的微笑移动常与市场不同。
- 障碍等路径依赖合约取决于模型路径分布，不能只凭终值普通期权拟合判断。
- 曲面变化后重新校准，并区分市场损益、持有成本、对冲误差和重校准影响。
- 对稀疏翼部和长期期限限制外推；求导会放大微小输入误差。
- 在理想方程之外纳入流动性、交易成本、离散对冲、提前行权与结算条款。

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## 常见误区

- “局部波动率就是每一点的隐含波动率。”两者定义和用途不同。
- “精确校准证明模型真实。”许多模型都能拟合今天的普通期权，却产生不同路径与对冲。
- “Dupire 公式可直接用于原始报价。”它需要平滑导数和满足无套利的输入。
- “完备扩散模型消除了所有风险。”跳空、离散对冲、流动性、参数变化和模型误差仍存在。
- “曲面细节越多越准确。”求导会放大噪声和不流动报价。
- “模型能预测波动率。”校准提取风险中性定价函数，不是现实概率预测。
- “两个模型拟合所有普通期权后，复杂期权价格必然相同。”路径和未来微笑动态可以不同。
- “负局部方差是有效信号。”它通常表示数据、平滑、导数或假设存在问题。

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## 一手与学术资料

- [Dupire：Pricing with a Smile](https://www.risk.net/derivatives/1500210/pricing-smile)
- [Derman 与 Kani：Riding on a Smile](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1994/01/gs-volatility_smile.pdf)
- [Black 与 Scholes：期权与公司负债定价](https://doi.org/10.1086/260062)
- [OCC：标准化期权的特征与风险](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)