# Speed 希腊值：标的变动时 Gamma 如何变化

把 Speed 定义为 Gamma 对现货价格的导数，用有限差分和 Black–Scholes 计算，并理解它在非线性对冲中的单位、用途与局限。

规范链接: https://wiki.fcontext.com/zh-cn/options/speed-greek/
事实核验日期: 2026-07-22

> 仅供教育参考，不构成投资建议

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## 直接答案

**Speed** 衡量在模型其他输入保持不变时，期权 Gamma 随标的价格变化的速度：

`Speed = ∂Γ/∂S = ∂³V/∂S³`

Delta 是期权价值对现货价格的一阶导数，Gamma 是二阶导数，Speed 是三阶导数。若 Gamma 的单位是标的每变动 `$1²` 对期权价值的影响，Speed 的单位就是每 `$1³` 的期权价值。对于标准股票期权，把每股敏感度乘以合约乘数，才得到单张合约的近似影响。

当预想的现货变动足以显著改变组合 Delta 和 Gamma 时，Speed 可帮助描述非线性。它不预测行情，也不是可直接观察的市场价格，而是局部模型敏感度，取决于现价、行权价、期限、波动率、利率、股息、行权特征和所选波动率曲面动态。

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## 从 Gamma 斜率到对冲曲率

对于较小的现货变动 `ΔS`，Delta 可在局部展开为：

`Δ_新 ≈ Δ_旧 + ΓΔS + ½ Speed(ΔS)²`

Gamma 项假设 Delta 在局部线性变化；Speed 提供 Gamma 沿价格路径变化的第一项修正。等价地：

`Γ_新 ≈ Γ_旧 + Speed × ΔS`

大幅跳空、障碍结构、离散股息、行权边界或隐含波动率曲面变化时，不应延伸使用这些近似；显著变动应直接重新定价。

在含连续股息率的 Black–Scholes 模型下，欧式 Call 和 Put 有：

`Γ = e^(−qT) φ(d₁) / (Sσ√T)`

`Speed = −(Γ/S) × [1 + d₁/(σ√T)]`

其中 `d₁ = [ln(S/K) + (r − q + ½σ²)T] / (σ√T)`。在这些假设下，相同行权价和到期日的 Call 与 Put 具有相同的 Gamma 和 Speed，因为看涨看跌平价只增加关于现货的一次项和现金项。

**Speed 不是 Color。** Speed 是 `∂Γ/∂S`；Color 衡量 Gamma 对时间的敏感度。它也不是 Zomma，后者衡量 Gamma 对波动率的敏感度。

### 从定价系统估算

没有可信闭式公式时，可用中心有限差分：

`Speed_h ≈ [Γ(S+h) − Γ(S−h)] / (2h)`

计算两个 Gamma 时必须使用相同的波动率、时钟、曲线、股息和数值设置。再用更小和更大的 `h` 重复计算。若结果剧烈变化，数值噪声、收益不连续、曲面插值或不光滑的行权逻辑可能主导估值。高阶希腊值通常比价格、Delta 或 Gamma 更不稳定。

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## 例子：闭式结果与有限差分

假设一张欧式期权满足：

- `S = 100`，`K = 100`
- `T = 0.25` 年，`σ = 20%`
- `r = 0`，`q = 0`

Black–Scholes 计算结果约为：

| 现货价格 | Gamma |
| ---: | ---: |
| `$99` | `0.040246` |
| `$100` | `0.039844` |
| `$101` | `0.039060` |

令 `h = $1`：

`Speed_h ≈ (0.039060 − 0.040246) / ($2) = −0.000593 每 $³`

在 `S = 100` 时，`d₁ = 0.05`；闭式值为：

`Speed = −(0.039844/100) × [1 + 0.05/0.10] = −0.000598 每 $³`

两者之差来自有限差分和舍入。若其他输入冻结且假设现货上涨 `+$5`，Delta 的二阶变化为：

`ΓΔS + ½ Speed(ΔS)² ≈ 0.039844×5 + 0.5×(−0.000598)×25 = 0.19175`

只用 Gamma 得到 `0.19922`；加入 Speed 后，局部估计减少约 `0.00747` Delta。合约乘数为 `100` 时相当于 `0.747` 股。实际对冲应以直接重估为准，尤其因为真实隐含波动率可能随现货一起变化。

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## 避免虚假精度的使用方法

- 写明敏感度按每股、每点、每 `1%` 还是每张合约计量；单位错误可能相差几个数量级。
- 记录偏导数计算中冻结的输入，再单独运行曲面变动情景。
- 按标的、到期日和情景汇总带符号的 Speed；净额可能掩盖方向相反的集中风险。
- 尽可能比较不同有限差分步长、闭式解与自动微分结果。
- 显著变动后直接重估，不依赖三阶泰勒近似。
- 经常检查临近到期及近平值头寸；敏感度形状可能变得狭窄而巨大。
- 纳入买卖价差、跳空、停牌、离散对冲、交易成本、指派和券商限制。
- 不要为了单独对冲 Speed 而制造更大的 Delta、Gamma、Vega 或流动性风险。
- 美式行权、调整后交割物、障碍和不连续收益应使用特定模型。
- 记录波动率坐标与 sticky 规则；固定行权价 IV 和移动整个曲面会产生不同的类似 Speed 损益。
- 用可成交压力损失和现金需求确定仓位，而不是依赖很小的局部希腊值。

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## 常见误区

- **“Speed 绝对值大代表期权很贵。”** Speed 描述局部曲率，不代表价格水平或价值高低。
- **“Gamma 为正，Speed 就为正。”** Gamma 可以为正而其现货斜率为负；符号随位置变化。
- **“Speed 衡量时间流逝速度。”** 这是把它与 Theta 或 Color 等时间敏感度混淆。
- **“Speed 中性后，Gamma 会一直中性。”** 中性只在局部成立，其他输入、曲面动态和大幅变动都会改变 Gamma。
- **“平台显示的希腊值就是市场数据。”** 它是模型和约定的输出。
- **“加入 Speed 后泰勒估算就是精确值。”** 四阶及更高项、波动率和时间变化仍然存在。

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## 权威来源

- [Haug：Know Your Weapon, Part 1](https://www.espenhaug.com/KnowYourWeapon.pdf)
- [Pagès、Pironneau 与 Sall：高阶金融衍生品敏感度的 Vibrato 与自动微分方法](https://arxiv.org/abs/1606.06143)
- [Black 与 Scholes：The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [OCC：标准化期权的特征与风险](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)