# 二項樹期權定價：複製、風險中性評價與提前履約

建立二項樹，推導風險中性機率，以複製組合核驗價值並評估美式期權提前履約。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/binomial-option-pricing/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

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## 直接答案

**二項樹期權定價模型**把時間分成多個步驟，並假設標的每一步到達上漲或下跌節點。模型先計算最終節點收益，再反向推回目前價值。它能直觀呈現複製組合及提前履約決策。

這是數值框架，不是預測價格真的只有兩種變化。增加步數能改善近似，卻不能修復錯誤的波動率、股息、利率、履約或結算輸入。

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## 風險中性反向歸納

設單步上漲、下跌乘數為 `u`、`d`，無風險增長因子為 `R`。當 `d < R < u` 時，風險中性上漲機率為：

`p = (R − d) / (u − d)`

歐式節點價值 `V_u`、`V_d` 的目前價值為：

`V_0 = [pV_u + (1 − p)V_d] / R`

`p` 是定價權重，不是實際或預測的上漲機率。若 `R` 不在 `(d, u)` 內，簡單樹違反其無套利設定。

每個美式節點都比較：

`V = max(內含價值, 繼續持有價值的折現期望)`

離散股息、變動利率、波動率期限結構及多個履約日可透過調整樹納入。路徑相依契約需要額外狀態，使規模快速增加。

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## 單期 Call 例子

假設股票為 `$100`，一期後漲至 `$120` 或跌至 `$80`，履約價 `$100`，無風險增長因子 `1.05`。Call 到期收益為 `$20` 或 `$0`。

`p = (1.05 − 0.80) / (1.20 − 0.80) = 0.625`

`C_0 = [0.625 × $20 + 0.375 × $0] / 1.05 ≈ $11.90`

複製組合給出相同答案。避險比率為 `(20 − 0) / (120 − 80) = 0.5` 股。目前借入約 `$38.10`，一期後負債 `$40`，使組合在上漲狀態支付 `$20`、下跌狀態支付 `$0`。初始成本為 `$50 − $38.10 = $11.90`。

例子未計股息、成本、價差、稅費和離散避險，因此模型價值是基準而非保證成交價。

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## 模型檢查清單

- 匹配履約方式、到期、結算、乘數及公司行動條款。
- 將利率、股息和波動率轉換為相同步長與複利口徑。
- 確認 `d < R < u` 且最終收益編碼正確。
- 增加步數檢查收斂；履約價或障礙附近仍可能振盪。
- 測試不同樹參數化，不只依賴一種離散方法。
- 對美式期權記錄履約優於繼續持有的節點，並檢驗股息假設。
- 以市場邊界和獨立方法核驗，違反邊界時先排查。
- 交易結論需加入可成交價差、費用、避險頻率與流動性。

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## 常見誤解

- 「風險中性機率就是股票上漲機率。」它是無套利定價權重。
- 「步數越多必定準確。」步數不能修復錯誤輸入或模型。
- 「樹在預測每條路徑。」它在模型狀態中評價或有現金流。
- 「美式總比歐式貴很多。」提前履約溢價可能為零。
- 「模型價應等於市場中間價。」供需、價差、偏斜與口徑不同。
- 「現實複製沒有成本。」交易會產生價差、費用、融資與跳空風險。

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## 相關主題

- [美式與歐式期權](/zh-tw/options/american-and-european/)
- [內含價值與時間價值](/zh-tw/options/intrinsic-and-time-value/)
- [隱含波動率](/zh-tw/options/implied-volatility/)

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## 權威來源

- [期權定價的簡化方法](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Cox、Ross 與 Rubinstein
- [標準化期權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 期權結算公司
- [期權計算器](https://www.cboe.com/optionsinstitute/tools/options_calculator/) - Cboe 期權學院