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title: "二項樹選擇權定價：複製、持有成本、提前履約與收斂"
description: "建立並驗證可重組選擇權樹，區分持有成本與折現，以複製投資組合核對節點價值，並管理提前履約、收斂與執行邊界。"
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# 二項樹選擇權定價：複製、持有成本、提前履約與收斂

> 僅供教育用途；不構成投資建議。投資可能導致損失。

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## 直接回答

二項樹模型在離散狀態格點上為選擇權定價，並不是預測標的價格實際上只會上漲或下跌兩種幅度。模型在每個節點採用上漲因子 `u` 或下跌因子 `d`，先計算期末合約現金流量，再逆向推導至評價時點。在單一風險因子的完備市場假設下，同一節點價值還可用股票與現金組成的局部複製投資組合核對。

對於長度為 `Delta t` 的一步，應把融資成長因子 `B = exp(r Delta t)` 與標的持有成本成長因子 `G = exp((r - q) Delta t)` 分開。若 `q` 為連續比例收益率，無套利定價權重為

`p = (G - d) / (u - d)`，並須滿足 `d < G < u`。

歐式選擇權的續存價值為 `V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B`。在持有人獲准履約的節點，美式或百慕達式選擇權價值為 `V = max(H,C)`，其中 `H` 是立即履約價值，`C` 是續存價值。此架構輸出的是每單位標的之模型價值；合約乘數、數量、官方結算值、可執行買賣價、費用、保證金及信用風險仍須分別處理。

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## 機制

1. **鎖定請求權與時鐘。** 記錄正確的標的與選擇權系列、買權或賣權、履約價、評價時間戳記、到期日與計日規則、可履約日期與履約方式、官方結算、乘數、交付標的、幣別、股利、借券、調整條款及輸出單位。
2. **選擇並記錄格點。** 設定 `N`、`Delta t = T / N` 及參數化方法。常用 CRR 設定是 `u = exp(sigma sqrt(Delta t))` 與 `d = 1 / u`；其他樹可以配適不同動差，並呈現不同收斂特性。
3. **分開持有成本與折現。** 以模型一致的零息利率建立 `B = exp(r Delta t)`，以連續持有成本建立 `G = exp((r - q) Delta t)`，再計算 `p = (G - d) / (u - d)`。已知現金股利必須在除息節點明確處理，並可能破壞簡單重組結構。
4. **建立狀態與期末請求權。** 在因子固定的可重組樹中，`S(i,j) = S0 u^j d^(i-j)`。將合約規定的買權、賣權、現金、實物、調整後交付標的、障礙、平均或其他期末規則套用至官方狀態變數；路徑相依商品需要額外狀態。
5. **逆向歸納並檢驗履約。** 在每個節點折現風險中立子節點價值。歐式商品只採續存價值；美式商品在每個獲准時點比較 `H` 與 `C`；百慕達式商品只在合約約定日期比較，並遵守通知與結算時間。
6. **驗證複製與數值。** 在每個一步節點計算 `Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d)` 與現金部位 `b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]`。檢查各狀態支付、價格邊界、賣權買權平價、步數加倍、奇偶振盪、其他樹、獨立實作及履約邊界。
7. **把模型輸出映射至帳戶。** 校準曲線、股利、借券及履約價-到期日波動率曲面；透過實際乘數與數量換算每單位價值；比較可執行 bid 與 ask；使用前壓力測試離散避險、跳空、成本、流動性、保證金、指派、交割、稅務及模型版本。

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## 計算範例

- **單期複製。** 設 `S0 = $100`、`u = 1.20`、`d = 0.80`、`B = G = 1.05`，歐式買權的 `K = $100`。則 `p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625`；期末支付為 `$20/$0`；`C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762`。複製投資組合給出 `Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50` 與 `b = -$38.095238`。上漲狀態組合支付 `$60 - $40 = $20`，下跌狀態支付 `$40 - $40 = $0`，初始成本為 `$50 - $38.095238 = $11.904762`。
- **美式賣權與提前履約。** 使用兩步樹，設 `S0 = $100`、`K = $100`、`u = 1.20`、`d = 0.80`、`B = G = 1.05`，因此 `p = 0.625`。股票期末值 `$144/$96/$64` 對應的賣權支付是 `$0/$4/$36`。第一步上漲節點的續存價值為 `[0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571`，高於內含價值 `$0`。第一步下跌節點的續存價值為 `[0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095`，低於立即履約的 `$20`，因此履約。美式價值為 `$7.993197`，歐式價值為 `$6.292517`，離散提前履約溢價為 `$1.700680`。
- **持有成本與非單調收斂。** 設 `S0 = $100`、`K = $100`、`T = 1`、連續複利 `r = 5%`、連續收益率 `q = 2%`、年化 `sigma = 20%`。採用 CRR 時，一步歐式買權價值為 `$11.073541`，兩步為 `$8.342293`，三步為 `$9.855621`，四步為 `$8.760327`，`64` 步為 `$9.196691`，逐步接近配對的 Black-Scholes-Merton 價值 `$9.227006`。增加步數會在該模型下改善極限近似，但不保證單調，也無法修正錯誤的現金流量輸入。
- **模型價值與可執行帳戶金額。** 沿用第一個範例的每股模型價值 `$11.904762`，但假設可執行市場為 `$11.60 bid / $12.20 ask`。買入一口標準合約，且 `M = 100`、`Q = 1`，成本為 `$12.20 x 100 = $1,220`；模型金額為 `$11.904762 x 100 = $1,190.4762`，費用前相差 `$29.5238`。立即按 bid 賣出收回 `$11.60 x 100 = $1,160`，往返損失 `$60`。模型 `Delta = 0.50` 在此假設乘數下對應 `50` 股，但離散再平衡、跳空、借券及執行使複製結果沒有保證。

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## 模型與生命週期檢查清單

- 精確配對標的、選擇權代碼、買權或賣權、履約價、到期日、履約方式、結算、乘數、幣別及交付標的。
- 凍結評價時間戳記、日曆、時區、年化比例、步數、節點日期及營業日處理。
- 說明樹的參數化，以及其動差、持有成本、偏斜或其他校準目標是否符合預定模型。
- 當股利、外幣利率、便利收益或借券成本重要時，保持折現用 `B` 與標的持有成本用 `G` 分開。
- 要求 `d < G < u`；若 `p` 超出 `[0,1]`，表示無套利設定失敗，而不是預測機率。
- 將連續收益率 `q` 與已知離散、特別、不確定或路徑相依分配分開處理。
- 依官方結算、現金或實物交付、調整後合約及公司行動核對期末支付。
- 對障礙、平均、回望、多資產、隨機波動率、利率、信用或其他路徑相依加入足夠狀態。
- 只允許合約權利持有人在有效通知截止前的獲准日期提前履約。
- 將美式、百慕達式與歐式履約機會集合和現金、實物或期貨結算區分。
- 記錄每個 `H` 高於 `C` 的節點，並測試股利、利率、借券及數值變化對履約邊界的影響。
- 在市場假設蘊含完備性時驗證節點複製和狀態支付；不要假設實際交易可以無成本連續避險。
- 信任價格前檢查無套利邊界、平價、單調性、凸性及極限情形。
- 比較多種步數、奇偶序列、步數加倍、不同參數化及獨立實作。
- 不要把振盪、穩定顯示的小數或相關程式路徑結果一致視為準確性證明。
- 校準相關的完整波動率曲面與曲線；單一歷史波動率或價平報價不能適用所有合約。
- 區分模型價值、理論中間價、交易所標記、官方結算、可執行 bid、可執行 ask 及清算價格。
- 以實際乘數與數量換算每單位輸出；調整後與非標準合約不一定使用 `100`。
- 壓力測試 bid-ask、部分成交、離散避險時點、跳躍、暫停交易、流動性、融資、借券、保證金、指派及券商強制平倉。
- 保存輸入、市場資料來源、公司行動與股利版本、程式及求解器版本、收斂證據、核准、費用、稅務及最終帳戶對帳。

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## 常見誤解

- **「風險中立機率預測下一次漲跌。」** `p` 是在指定可交易資產及無套利假設下與模型一致的定價權重，不是真實世界機率預測。
- **「無風險成長因子總應同時放進兩個公式。」** 折現使用 `B`，標的定價權重使用持有成本因子 `G`；只有在零收益率的簡化設定下兩者才相同。
- **「步數愈多價格就一定正確。」** 加密格點只處理一個模型下的離散化；收斂可能振盪，也無法修正錯誤的股利、波動率、結算或履約條款。
- **「美式價值就是歐式價值加固定溢價。」** 提前履約價值取決於狀態、日期、利率、股利、借券及模型，也可能為零。
- **「複製證明螢幕價格沒有風險。」** 證明依賴模型完備與無摩擦交易；可執行價差、離散避險、跳空、融資、保證金、稅務及結算風險仍然存在。

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## 相關主題

- [美式與歐式選擇權](/zh-tw/options/american-and-european/)
- [Black-Scholes 模型](/zh-tw/options/black-scholes-model/)
- [隱含波動率](/zh-tw/options/implied-volatility/)

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## 權威來源

- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier；在其假設下建立 CRR 離散複製與風險中立架構，不提供目前市場輸入或可執行價格。
- [Two-State Option Pricing](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x) - Wiley；建立兩狀態選擇權定價方法，不表示真實價格只有兩種結果，也不表示每個不完備市場都有唯一價格。
- [Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence](https://doi.org/10.1080/13504869600000015) - Taylor & Francis；支持所研究模型下的振盪、參數化及收斂比較，不為每種支付提供通用誤差界限。
- [Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models](https://doi.org/10.1016/S0165-1889(98)00019-0) - Elsevier；支持所分析樹中的美式賣權收斂與加速方法邊界，不涵蓋所有履約商品或市場價格。
- [American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods](https://doi.org/10.1093/rfs/9.4.1211) - Oxford University Press；支持特定假設下的美式選擇權邊界及數值比較，不規定券商履約政策或保證準確性。
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation；涵蓋標準化選擇權權利、履約、指派、結算、調整及風險，不提供二項樹校準或策略建議。
- [Industry Services](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/industry-services) - The Options Clearing Corporation；記錄 OCC 在特定 Delta 服務中使用的自有 CRR 變體，不等同本文實作或通用市場價格。
- [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Global Markets；提供目前教育用途的理論價格及希臘字母工具，不是可執行報價、獨立驗證或特定合約假設一致性的保證。

Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/binomial-option-pricing/index.mdx