# Black-Scholes 模型：公式、假設與隱含波動率
理解 Black-Scholes-Merton 公式，核驗 Call 與 Put 數字評價，並辨識模型假設及市場限制。
標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/black-scholes-model/
事實查核日期: 2026-07-22
> 僅供教育參考，不構成投資建議
## 直接答案
**Black-Scholes-Merton 模型**在特定假設下，為歐式期權提供無套利價值基準。輸入包括目前標的價格 `S`、履約價 `K`、剩餘期限 `T`、連續複利無風險利率 `r`、連續股息率 `q` 及波動率 `σ`。
`C = Se^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)`
`P = Ke^(−rT)N(−d₂) − Se^(−qT)N(−d₁)`
其中 `d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)`，`d₂ = d₁ − σ√T`，`N(x)` 是標準常態累積分布函數。
## 模型運作原理
模型結合動態複製與無套利推理。理想化連續交易下，可用標的與無風險借貸局部避險，從定價方程消去標的預期報酬率，得到風險中性給付的折現期望。
標準假設包括價格為對數常態、波動率及利率固定、連續交易、沒有跳躍與交易成本，並可按需交易及借貸。公式採連續股息率與歐式履約；離散股息及美式履約需要調整或數值方法。
實務常從市場價格反解 `σ`。此**隱含波動率**是在所選模型下與價格一致的輸入。不同履約價及到期日通常得出不同 IV，形成曲面而不是一個常數。
## 一年期價平例子
設 `S = $100`、`K = $100`、`T = 1`、`r = 5%`、`q = 0%`、`σ = 20%`：
`d₁ = [0 + (0.05 + 0.20²/2)] / 0.20 = 0.35`
`d₂ = 0.35 − 0.20 = 0.15`
使用 `N(0.35) ≈ 0.6368` 及 `N(0.15) ≈ 0.5596`，Call 約值 `$10.45`，Put 約值 `$5.57`。
Put-Call 平價核驗為：
`C − P = S − Ke^(−rT) ≈ $100 − $95.12 = $4.88`
`$10.45 − $5.57 = $4.88`。四捨五入可能造成微小差異。這是模型輸出，不是可成交報價。
## 模型使用清單
- 確認歐式或美式履約，以及現金或實物結算。
- 統一日曆、年化、複利、股息與利率口徑。
- 區分已知離散股息與連續股息率近似。
- 反解 IV 時使用可成交價格；寬價差會形成 IV 區間。
- 檢查完整波動率微笑或曲面，不把價平 IV 套用所有履約價。
- 壓測跳躍、事件、偏斜變化、流動性不足及離散避險誤差。
- 以內含價值、上界、Put-Call 平價及獨立模型核驗。
- 將 Greeks 視為隨價格、時間及波動率改變的局部敏感度。
## 常見誤解
- 「模型預測股票到期價格。」它在假設下評價或有給付。
- 「隱含波動率是直接預測。」它是使模型符合市場價格的輸入。
- 「一個波動率適用全部期權。」市場通常有履約價與期限偏斜。
- 「Delta 避險消除全部風險。」跳躍、離散交易、成本及波動率變化仍在。
- 「公式可正確評價美式期權。」提前履約通常需要調整或數值模型。
- 「輸出精確即價格準確。」精度不能消除輸入、模型和執行誤差。
## 相關主題
- [隱含波動率](/zh-tw/options/implied-volatility/)
- [二項樹期權定價](/zh-tw/options/binomial-option-pricing/)
- [美式與歐式期權](/zh-tw/options/american-and-european/)
## 權威來源
- [期權與公司負債的定價](https://doi.org/10.1086/260062) - Fischer Black 與 Myron Scholes
- [理性期權定價理論](https://doi.org/10.2307/3003143) - Robert C. Merton
- [標準化期權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 期權結算公司