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title: "Black-Scholes-Merton 模型：契約、輸入、隱含波動率與 Greeks"
description: "只有在匹配選擇權請求權、評價時程、折現、股利、波動率報價、交割條款和 Greeks 單位後，才使用 Black-Scholes-Merton 模型。"
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# Black-Scholes-Merton 模型：契約、輸入、隱含波動率與 Greeks

> 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

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## 直接回答

**Black-Scholes-Merton 模型**是無套利架構，不是法律上有拘束力的報價，也不預測標的走勢。其閉式公式在特定擴散、融資、股利、交易與市場完備設定下評價普通歐式選擇權。使用前須辨識實際系列、履約權、交付物、乘數、官方交割值與幣別；美式實物交割股票選擇權和歐式現金交割指數選擇權是不同請求權。

以現貨 `S₀`、履約價 `K`、年數 `T`、連續複利零息利率 `r`、連續比例股利率 `q` 和年化波動率 `σ` 為輸入，歐式買權與賣權公式為 `C = S₀e^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)` 和 `P = Ke^(−rT)N(−d₂) − S₀e^(−qT)N(−d₁)`，其中 `d₁ = [ln(S₀/K) + (r − q + σ²/2)T] ÷ (σ√T)`、`d₂ = d₁ − σ√T`，`N(x)` 是標準常態累積分配函數。輸入匹配時，歐式買賣權平價為 `C − P = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)`。

市場也會反解模型：**隱含波動率**是使所選模型重現所選價格的 `σ`，取決於契約、時間戳記、標的、曲線、股利、報價方向、數值方法和模型。價格、IV 與 Greek 都是帶約定與單位的模型輸出，不單獨代表可執行交易、現實機率或避險保證。

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## 七步契約、資料、評價與控制流程

1. **選公式前先分類請求權。** 記錄發行人或結算請求權、標的、類型、履約價、到期、最後交易、履約方式、官方交割流程、現金或實物交割、乘數、交付物、幣別及調整。美式提前履約、調整交付物、障礙與路徑依賴權利須用可表達條款的模型。
2. **鎖定評價時鐘與單位。** 設定評價時點 `t₀`、到期或交割時點、時區、營業日日曆和年化分數 `T`；區分最後交易、履約截止及官方交割決定。說明權利金和 Greeks 是每標的單位、每報價點、每口或全部位。
3. **建立同步市場輸入。** 使用同期現貨或遠期、履約價、期限匹配折現因子 `D(0,T)`、股利金額與日期或合理連續收益率、借券與融資假設，以及買價、賣價和數量。Treasury CMT 是平價殖利率，不自動等於連續複利零息利率 `r`；應建立一致折現曲線。
4. **檢查界限和匹配平價。** 檢驗 `max(S₀e^(−qT) − Ke^(−rT), 0) ≤ C ≤ S₀e^(−qT)` 和 `max(Ke^(−rT) − S₀e^(−qT), 0) ≤ P ≤ Ke^(−rT)`。只比較履約、履約價、期限、交付物與交割相同的選擇權。已知現金股利應使用折現現金流與相應平價橋。
5. **明確選擇並執行模型。** BSM 假設連續擴散、固定波動率與利率、無摩擦連續交易、無跳躍及充分借貸、放空與複製能力。二項樹等方法可表達美式履約與離散事件；其他模型會引入新參數和校準選擇。
6. **謹慎反解 IV。** 調查無套利範圍外價格；以文件化求根器、容差和波動率上限分別求買價、中間價和賣價。選擇權價值隨 `σ` 上升，因此有限歐式 IV 在內部通常唯一；邊界價格可能對應零、無限或無有限解。檢驗曲面陳舊報價、交叉輸入及日曆或蝶式套利。
7. **報告局部風險並對照市場。** 計算 Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho 並標示符號、分母與時間約定；保存市場快照和模型版本。壓力測試跳躍、股利修正、偏斜、期限結構、借券、離散避險、成本和流動性，分層核對理論價值、可執行報價、成交、官方交割與已實現現金。

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## 計算範例

- **閉式評價與平價。** 設 `S₀ = $100`、`K = $100`、`T = 1`、`r = 5.00%`、`q = 2.00%`、`σ = 20.00%`。則 `d₁ = 0.250000`、`d₂ = 0.050000`、`N(d₁) = 0.598706326`、`N(d₂) = 0.519938806`。買權為 `C = $9.227006`，賣權為 `P = $6.330081`。差額 `C − P = $2.896925` 與 `$100e^(−0.02) − $100e^(−0.05) = $2.896925` 一致；均為乘數與成本前的每單位模型價值。
- **Greeks 須標明單位。** 相同輸入下，買權 Delta 為 `0.586851`，賣權 Delta 為 `−0.393348`，共同 Gamma 為 `0.018951 delta per $1 underlying move`。Vega 為 `37.901158 per 1.00 volatility`，等於 `$0.379012 per 1 volatility point`。買權 Theta 為 `−$5.089319 per year`；按簡單顯示約定，每日為 `−$0.013943 per calendar day`（即 `÷ 365`）。買權 Rho 為 `49.458109 per 1.00 decimal rate`，即 `$0.494581 per 100 bp`。局部敏感度仍須乘契約乘數和部位數量。
- **市場價格到 IV 區間。** 保持 `S₀ = $100`、`K = $100`、`T = 1`、`r = 5.00%`、`q = 2.00%`。買權價格 `$11.123762` 反解為 `σ = 25.00%`，其中 `d₁ = 0.245000`、`d₂ = −0.005000`。`20.00%` 與 `30.00%` 的模型值為 `$9.227006`、`$13.020281`。若可執行報價為 `$10.90 bid / $11.35 ask`，匹配反解為 `24.410353% bid IV / 25.596190% ask IV`；只報中間價 IV 會隱藏可執行區間。
- **已知離散股利和平價。** 設 `S₀ = $100`、`K = $95`、`T = 0.5`、連續複利 `r = 4.00%`，並支付已知現金股利 `$2`，支付時點為 `t = 0.25`。其現值為 `PV(D) = $2e^(−0.04 × 0.25) = $1.980100`，履約價現值為 `PV(K) = $95e^(−0.04 × 0.5) = $93.118874`。匹配歐式平價為 `C − P = S₀ − PV(D) − PV(K) = $4.901026`；若 `C = $8.20`，則 `P = $3.298974`。以未說明的連續 `q` 取代定期現金流，或將等式直接套用美式選擇權，都會改變請求權。

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## 風險與驗證控制

- 使用模型前查核確切系列、法律請求權和產品規格。
- 確認美式、歐式或其他履約權；標籤或標的類型不具決定性。
- 區分現金交割、實物交付與調整後籃子，包括乘數和幣別。
- 鎖定官方交割來源、計算時點、捨入、更正與中斷規則。
- 將現貨、選擇權、利率、股利和借券資料對齊同一時點。
- 計算 `T` 時區分最後交易、到期、履約截止和交割日。
- 使用一致日曆、日計數、年化及連續或離散複利約定。
- 不要機械以 Treasury 平價殖利率替代零息利率或折現因子。
- 對已知股利金額和日期建模；連續 `q` 可能掩蓋提前履約和事件風險。
- 複製依賴借券時，納入稀缺、融資、擔保品和放空限制。
- 僅對真正匹配請求權和同步可執行輸入檢查歐式界限與平價。
- 將陳舊、交叉、鎖定、單邊或數量不足報價視為資料警示。
- 價差重大時報告買賣價 IV；中間價不是可執行交易。
- 偵測求根失敗、邊界解、容差敏感度和任意波動率上限。
- 驗證曲面插值與外推的日曆、垂直價差及蝶式套利。
- 壓力測試違反連續擴散的跳躍、財報、分配、暫停交易和缺口。
- 壓力測試隨機波動率、偏斜動態及現貨、波動率、利率與股利相關性。
- 量化離散再平衡、延遲、市場衝擊、費用和無法連續交易。
- 標示每個 Greek 的符號、尺度與時間約定，不過度外推局部導數。
- 區分模型價值、可執行價格、會計或稅務衡量、官方交割與已實現損益。

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## 常見誤解

- **「Black-Scholes 是法律正確或可執行價格。」** 契約決定請求權，市場決定可用交易；模型僅提供條件基準。
- **「`N(d₂)` 是現實到期價內機率。」** 它是指定計價物與假設下的模型風險中立量，不是現實預測。
- **「隱含波動率可直接觀察並預測已實現波動率。」** 它經模型由價格反推，可能包含風險溢酬、供需和資料誤差。
- **「一個波動率與一套 Greeks 適合所有履約價和到期。」** 市場呈現曲面，局部敏感度隨狀態、時間與模型變動。
- **「連續 Delta 避險消除選擇權風險。」** 跳躍、離散交易、流動性、成本、提前履約、股利誤差和模型錯設仍存在。

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## 相關主題

- [隱含波動率](/zh-tw/options/implied-volatility/)
- [二項樹選擇權定價](/zh-tw/options/binomial-option-pricing/)
- [美式與歐式選擇權](/zh-tw/options/american-and-european/)

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## 權威來源

- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - Black-Scholes 原始連續時間選擇權定價與公司負債架構。
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143) - Merton 的無套利發展、假設與定價結果。
- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Cox-Ross-Rubinstein 離散時間模型與收斂架構。
- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - 顯示固定 `σ` 以外模型風險的隨機波動率延伸。
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 標準化選擇權權利、履約、指派、交割與風險揭露。
- [S&P 500 Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - 評價前須辨識履約、交割、乘數與交易時程的產品證據。
- [Treasury Yield Curve Methodology](https://home.treasury.gov/policy-issues/financing-the-government/interest-rate-statistics/treasury-yield-curve-methodology) - Treasury 平價曲線、輸入和建構說明；平價點不自動等於零息利率。
- [Search Filings](https://www.sec.gov/search-filings) - 發行人申報與定價補充文件檢索入口；實質條款須取自具體文件。

Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/black-scholes-model/index.mdx