# Breeden-Litzenberger 公式：從期權提取風險中性密度

從歐式 Call 價格推導風險中性尾端機率與密度，應用有限差分，並管理套利及資料雜訊風險。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/breeden-litzenberger-formula/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

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## 直接答案

**Breeden-Litzenberger 關係**從同一到期日、不同履約價的歐式 Call 價格恢復狀態價格資訊。若 `C(K,T)` 是平滑無套利價格函數，連續複利利率為 `r`：

`−∂C(K,T)/∂K = e^(−rT) Q(S_T > K)`

`∂²C(K,T)/∂K² = e^(−rT) f_Q(K)`

所以 `f_Q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²`。`f_Q` 是風險中性到期價格密度，代表未來狀態的定價，而非現實結果的直接預測。

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## 履約價曲率為何包含密度

Call 到期給付為 `max(S_T − K, 0)`。提高 `K` 會在到期高於履約價時削去一小片給付，因此負一階導數對應折現數位 Call 價格或尾端機率；再次微分則得到局部密度。

無套利 Call 價格須隨履約價不增加且保持凸性，即 `∂²C/∂K² ≥ 0`。負二階導數代表負狀態價格，通常顯示輸入不一致，或在理想成交下有蝶式套利。

市場履約價離散，實務會擬合具有無套利約束的曲線並使用：

`∂²C/∂K² ≈ [C(K−ΔK) − 2C(K) + C(K+ΔK)] / (ΔK)²`

分子是窄 Call 蝶式價格，給付集中於中間履約價附近，因此近似局部密度。

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## 三個履約價有限差分

同期限同步歐式 Call 價格為：

| 履約價 | Call 價格 |
| ---: | ---: |
| `$95` | `$8.20` |
| `$100` | `$5.00` |
| `$105` | `$2.80` |

`ΔK = $5` 時，`$100` 附近曲率為：

`[$8.20 − 2 × $5.00 + $2.80] / $5² = $1.00 / 25 = 每美元 0.04`

忽略折現時，局部風險中性密度約`每美元 0.04`；利率非零則乘 `e^(rT)`。這不是恰好到 `$100` 的機率，機率需對價格區間積分。

若中間價格為 `$5.60`，分子為負。應先檢查陳舊報價、Bid/Ask 不一致、美式履約影響或違反套利的擬合，而不是解讀為負機率。

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## 提取清單

- 固定一個到期日並採同步、可成交的歐式報價。
- 統一折現、遠期、股息、結算及履約條款。
- 優先採流動的價外報價，使用 Put-Call 平價轉換時保持謹慎。
- 清除錯誤並在單調性與凸性約束下擬合。
- 對擬合曲線求導；原始二階差分會放大報價誤差。
- 以 Bid、Mid、Ask 及不同平滑法重複提取。
- 確認密度非負、積分接近一、均值符合遠期。
- 將稀疏尾端視為模型外推而非觀察資訊。

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## 常見誤解

- 「風險中性機率是客觀預測。」它包含狀態定價與風險偏好。
- 「密度 0.04 表示恰好到 $100 的機率為 4%。」密度須在區間積分。
- 「直接微分原始中間價即可。」二階導數會放大雜訊。
- 「圖形平滑證明資料準確。」平滑方法會塑造尾端。
- 「負密度截為零即可。」這會掩蓋套利並破壞價格一致性。
- 「可原樣用於美式股票期權。」提前履約與離散股息會破壞簡單關係。

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## 權威來源

- [期權價格隱含的狀態或有索取權價格](https://doi.org/10.1086/296025) - Douglas T. Breeden 與 Robert H. Litzenberger
- [標準化期權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 期權結算公司
- [SPX 期權產品規格](https://www.cboe.com/tradable_products/sp_500/spx_options/specifications/) - Cboe