# 蝶式套利：履約價凸性、加權價差與真實成交

以蝶式價差檢驗 Call 價格凸性，處理不等距履約價，並區分可成交套利與報價雜訊。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/butterfly-arbitrage/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

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## 直接答案

同一到期、其他條款相同的歐式 Call，無套利價格須隨履約價不增加，且對履約價保持**凸性**。等距履約價 `K−h`、`K`、`K+h` 應滿足：

`C(K−h) − 2C(K) + C(K+h) ≥ 0`

左側是多頭 Call 蝶式價格，其到期給付永不為負。若組合確實能以淨貸記建立，且未來除非負給付外沒有負債，計入所有成本與限制後即違反靜態無套利。

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## 凸性與不等距履約價

等距蝶式買入低履約價 Call 一張、賣出中間兩張、買入高履約價一張。到期給付從零上升至中間履約價的 `h`，再降回零。

不等距 `K₁ < K₂ < K₃` 不能直接用 `1:−2:1`。設 `w = (K₃−K₂)/(K₃−K₁)`，凸性要求：

`C(K₂) ≤ wC(K₁) + (1−w)C(K₃)`

等價加權蝶式買入 `K₃−K₂` 份低 Call、賣出 `K₃−K₁` 份中間 Call、買入 `K₂−K₁` 份高 Call，再縮放為可交易數量。

凸性也使 Call 價格二階履約價導數對應非負狀態價格密度。理想曲線中的負蝶式價格表示負局部密度。

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## 90/100/110 報價違規

假設同步歐式 Call 理論可成交價為：

| 履約價 | Call 價格 |
| ---: | ---: |
| `$90` | `$15` |
| `$100` | `$10` |
| `$110` | `$4` |

多頭蝶式成本：

`$15 − 2×$10 + $4 = −$1`

每單位先收 `$1`，到期給付非負，且 `S_T = $100` 時達 `$10`。乘數 100 時費用前初始貸記為 `$100`。

真實成交須以兩側買入 Ask 和兩張中間賣出 Bid 計算。若可成交價格使成本為正，中間價「套利」不存在。所有合約也須匹配到期、履約方式、結算、乘數及標的。

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## 套利核驗清單

- 使用同步可成交 Bid/Ask，不用最後成交或獨立中間價。
- 使用 `1:−2:1` 前確認等距，否則計算權重。
- 匹配到期、標的、履約方式、結算、乘數及公司行動。
- 優先複合訂單；分腿會留下方向與波動率曝險。
- 納入佣金、交易所費、融資、保證金、稅及結算費。
- 檢查所需數量的深度；最佳價可能只涵蓋一張。
- 靜態檢驗優先歐式契約；美式履約及股息會改變現金流。
- 確認券商權限、部位限制、強平及到期操作。

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## 常見誤解

- 「負中間價蝶式就是免費收益。」中間價不可成交。
- 「任意三個履約價都可用公式。」`1:−2:1` 須等距。
- 「到期給付非負就無風險。」成交、指派、結算與券商風險仍在。
- 「擬合密度為負就有交易。」可能是插值或陳舊資料。
- 「各腿稍後都能按顯示價成交。」市場會變且部分成交會留下曝險。
- 「小違規放大規模仍有利。」深度、費用與市場衝擊增長更快。

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## 權威來源

- [期權價格隱含的狀態或有索取權價格](https://doi.org/10.1086/296025) - Douglas T. Breeden 與 Robert H. Litzenberger
- [標準化期權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 期權結算公司
- [SPX 期權產品規格](https://www.cboe.com/tradable_products/sp_500/spx_options/specifications/) - Cboe