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title: "蝶式套利：履約價凸性、加權價差與成交"
description: "用等距和不等距蝶式檢驗歐式買權價格凸性，並在考慮深度、費用、交割和帳戶約束後，區分擬合或中間價異常與可執行靜態套利。"
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# 蝶式套利：履約價凸性、加權價差與成交

> 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

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## 直接回答

對於同一標的、同一到期日且其他條款匹配的歐式買權，無套利價格必須隨履約價非遞增且具有凸性。當履約價等距，即 `K_1 = K − h`、`K_2 = K`、`K_3 = K + h` 時，買入 `+1:−2:+1` 買權蝶式的成本為 `B = C(K_1) − 2C(K_2) + C(K_3)`，終值非負，因此無摩擦模型要求 `B ≥ 0`。

負的擬合值或中間價只是一項診斷。可執行靜態套利要求同步取得兩隻買入翼的賣價、兩隻賣出主體買權的買價、足夠數量和匹配的合約規格，並且扣除佣金、交易所費用、融資、保證金、稅和結算成本後，初始淨收入仍為正。即使組合到期損益非負，美式履約、實物交割、部分指派、拆腿和券商強平仍會產生期間義務。

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## 七步凸性與成交檢驗

1. **鎖定一組匹配權利。** 記錄標的、選擇權代碼、買權方向、`K_1 < K_2 < K_3`、到期日、履約方式、結算、乘數、交割物、調整狀態、幣種、場所、報價時間和正式終值定義。規格不同的買權不能構成同一個靜態凸性檢驗。
2. **統一履約價幾何結構。** 等距時要求 `K_2 − K_1 = K_3 − K_2` 並採用 `+1:−2:+1`。不等距時定義 `w = (K_3 − K_2) ÷ (K_3 − K_1)`，檢驗 `C(K_2) ≤ wC(K_1) + (1 − w)C(K_3)`。等價整數數量與 `(K_3 − K_2):−(K_3 − K_1):(K_2 − K_1)` 成比例，可能時再除以公因數。
3. **區分研究估值和可執行方向。** 使用同步報價和條件。買入蝶式按兩隻正翼的賣價買入，並按負主體買權的買價賣出。最後成交、不同時間的報價、理論價值和中間價可以診斷曲面，卻不能證明可得款項。
4. **分區證明終值。** 分別計算 `S_T ≤ K_1`、`K_1 < S_T ≤ K_2`、`K_2 < S_T < K_3`、`S_T ≥ K_3`，並使用準確比例和正式 `S_T`。等距蝶式兩端為零，峰值為 `h`，在 `K_2` 達到；不等距加權結構的兩端也為零，內部損益非負。
5. **把優勢換算為可執行帳戶現金。** 將有符號淨貸記乘以實際乘數和完整組合數量，再扣除全部開倉及預計生命週期成本。數量受每條腿同步深度限制，並須符合比例、持倉限額、保證金、資本、借券和帳戶許可權。
6. **壓力測試生命週期斷裂。** 測試複雜委託拒絕、部分成交、拆腿、撤單、停牌、美式提前或部分指派、履約例外處理、相反指令、實物股票及履約現金、正式現金結算、合約調整和券商強平。非負到期恆等式不會在操作上自動協調各腿。
7. **核對並儲存證據。** 儲存原始報價、資料來源或場所、時間、數量、訂單比例、限價、成交、費用、指派和結算檔案、稅務批次及剩餘部位。分別標記擬合形狀異常、可執行報價機會、已接受訂單和最終結算後的已實現結果。

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## 示例

- **中間價異常與可執行組合。** 等距履約價為 `K_1 = $90`、`K_2 = $100`、`K_3 = $110`。買權中間價 `$15.00`、`$10.00`、`$4.00` 給出 `B_mid = $15.00 − 2 × $10.00 + $4.00 = −$1.00`，即理論貸記 `$100`，乘數為 `100`；到期損益峰值為 `$10 × 100 = $1,000`，在 `S_T = $100` 時達到。但兩翼賣價 `$15.30` 和 `$4.25` 加上主體買價 `$9.75` 得到 `B_exec = $15.30 − 2 × $9.75 + $4.25 = $0.05`，即借記 `$5`。中間價曲線違反凸性，但這些可執行方向不存在套利。
- **不等距履約價與整數比例。** 令 `K_1 = $90`、`K_2 = $100`、`K_3 = $115`。則 `w = ($115 − $100) ÷ ($115 − $90) = 0.60`，凸曲線要求 `C($100) ≤ 0.60C($90) + 0.40C($115)`。同步可執行價格 `C($90) = $16.00`、`C($100) = $11.20`、`C($115) = $3.00` 時，右側為 `$10.80`，標準化異常為 `$0.40`。可交易比例由 `+15:−25:+10` 約為 `+3:−5:+2`；成本為 `3 × $16.00 − 5 × $11.20 + 2 × $3.00 = −$2.00`，即貸記 `$200`，乘數為 `100`；非負損益峰值為 `$30 × 100 = $3,000`，在 `S_T = $100` 時達到。
- **完全可執行的歐式現金結算例。** 假設一組匹配歐式現金結算買權的同步 `+1:−2:+1` 複雜委託以 `$0.12` 貸記成交，乘數為 `100`。總收入 `$0.12 × 100 = $12`。若四份合約各收 `$1 per contract`，初始淨收入為 `$12 − $4 = $8`。當 `S_T = $103`，對 `100/105/110` 履約價，到期選擇權損益為 `($103 − $100) × 100 = $300`，稅前合計 `$8 + $300 = $308`；在任一尾部，損益為零，保留 `$8`。只有在所述匹配、可執行、資金到位且可收回假設下，這才是套利。
- **深度限制可實現規模。** 複雜委託顯示 `$0.15` 貸記，但同步顯示數量只支持 4 只低翼、12 只主體買權和 10 只高翼。因此 `+1:−2:+1` 只支持 `min(4, 12 ÷ 2, 10) = 4` 組完整蝶式，而非 10 組。總貸記為 `4 × $0.15 × 100 = $60`。若每份合約收 `$0.65 per contract`，而合約總數為 `4 × 4 = 16`，費用為 `$10.40`，剩餘 `$60 − $10.40 = $49.60`。其餘六組未證明可執行；先賣主體買權會形成未匹配的賣出風險。

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## 風險與驗證控制

- 匹配標的、代碼、買權方向、到期日、履約方式、結算、乘數、交割物、幣種和調整狀態。
- 在選擇等權或加權比例前，核實履約價順序和準確間距。
- 將不等距比例約為有效整數合約，且不得改變損益權重。
- 買入腿用同步可執行賣價、賣出腿用買價，不用中間價或最後成交。
- 記錄報價來源、場所、時間、交易時段、條件、顯示數量和延遲。
- 檢查完整組合深度；等距蝶式的每組主體需要兩份合約。
- 可行時提交比例正確的複雜委託；拆腿會產生 Delta、Gamma、Vega 和跳空風險。
- 區分訂單接受和完全成交；部分成交可能留下裸賣買權。
- 納入佣金、交易所、清算、路由、融資、結算和稅務成本。
- 獲取策略、投資組合及券商內部保證金規則；資本佔用可能超過初始優勢。
- 核實持倉和行許可權額、帳戶許可權、集中度及券商強平政策。
- 區分美式或歐式履約與實物、現金或期貨結算。
- 模擬賣出主體買權的提前和部分指派；買入翼不會自動處理。
- 核實履約例外處理、相反指令、券商截止時間、釘住風險和盤後變動。
- 按合約定義 `S_T`；收盤、即時指數、ETF 和期貨價格可能不等於正式交割值。
- 拆股、併購、分配或其他交割物調整後重新計算。
- 在可執行報價確認前，將負擬合密度視為模型或資料診斷。
- 強制曲面遞減、凸性和日曆一致時，仍保留原始資料和不確定性。
- 壓測陳舊報價、交叉市場、停牌、延遲開盤、更正和無法退出。
- 最終檔案到達後核對權利金、股票、履約現金、結算、保證金、抵押品、費用和稅務批次。

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## 常見誤區

- **“負中間價蝶式就是免費資金。”** 中間價不可執行，同步自然方向可能把表面貸記變成借記。
- **“`+1:−2:+1` 適用於任意三個履約價。”** 它要求等距；不等距需要加權比例，可能需要許多合約。
- **“非負終值消除了所有風險。”** 部分成交、指派、資金、保證金、結算、券商和稅務風險仍存在。
- **“負擬合密度證明存在交易。”** 平滑、插值、陳舊或交叉報價可產生診斷異常，卻沒有可執行組合。
- **“小優勢可按顯示價格無限放大。”** 最稀缺的腿和準確比例限制同步數量，費用和衝擊可能耗盡優勢。

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## 相關主題

- [Breeden-Litzenberger 公式](/zh-tw/options/breeden-litzenberger-formula/)
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## 權威來源

- [Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices](https://doi.org/10.1086/296025) - 在模型假設下連線履約價導數、狀態價格與非負密度的基礎研究。
- [Nonparametric Option Pricing under Shape Restrictions](https://doi.org/10.1016/S0304-4076(03)00102-7) - 形狀約束的選擇權價格曲線估計，不是可執行交易證據。
- [Long Call Butterfly](https://www.optionseducation.org/strategies/all-strategies/long-call-butterfly) - Options Industry Council 對匹配等翼策略及生命週期風險的說明。
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - OCC 對標準化選擇權權利、義務和風險的披露。
- [OCC By-Laws & Rules](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/by-laws-and-rules) - OCC 關於履約、指派、清算和結算的規則。
- [Cboe Titanium U.S. Options Complex Book Process](https://www.cboe.com/document/tech-spec/document/technical-specifications/cboe-titanium-u.s.-options-complex-book-process) - Cboe 特定的複雜比例、競價、組合處理和部分成交。
- [4210. Margin Requirements](https://www.finra.org/rules-guidance/rulebooks/finra-rules/4210) - FINRA 監管保證金要求與選擇權價差條款。
- [S&P 500 Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - SPX 特定的履約、結算、乘數和交易慣例。

Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/butterfly-arbitrage/index.mdx