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title: "日曆套利：總變異數、遠期價內程度與執行"
description: "透過總變異數、匹配遠期價內程度、可執行報價、契約控制及剩餘交易邊界，檢驗歐式選擇權曲面的期限一致性。"
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# 日曆套利：總變異數、遠期價內程度與執行
> 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。
## 直接回答
**曲面日曆套利**是標準化選擇權價格曲面未能滿足期限一致性，並不等同於主觀判斷的日曆價差交易。在同一歐式請求權族、確定性持有成本、一套 Black 隱含波動率慣例和匹配的對數遠期價內程度下，定義折現因子 `D(T)`、遠期 `F(T)`、`k = ln(K/F(T))` 及總變異數 `w(k,T) = σ_BS(k,T)²T`。標準化買權價格為 `c(k,T) = C(K,T)/[D(T)F(T)]`。
在此架構下，平滑曲面只有滿足 `∂w(k,T)/∂T ≥ 0`，且比較時固定 `k`，才不存在日曆價差套利；對兩個配適期限切片，離散診斷為滿足 `w(k,T₂) ≥ w(k,T₁)`，其中 `T₂ > T₁`。區間遠期變異數率為 `v_fwd = [w(k,T₂) − w(k,T₁)]/(T₂ − T₁)`。負值沒有實數遠期波動率，並提示資料、持有成本、契約或配適不一致；它本身不能確定一筆可執行且每條路徑均非負的交易。
## 七步曲面檢驗
1. **鎖定請求權族。** 記錄標的和代碼、買權或賣權、履約價、到期日、最後交易時間、歐式或美式履約、現金或實物交割、上午或下午慣例、正式交割結算值來源、乘數、交割標的、幣別及調整狀態。不得因標籤相似而混合不同法律損益。
2. **同步可執行資料。** 使用同一評價時間戳記、資料來源、交易時段和報價條件，並保留買價、賣價和顯示數量。移除或標記零報價、單邊報價、鎖定、交叉、陳舊及修正報價。中間價可支援診斷，但不是可執行組合。
3. **建立折現和遠期輸入。** 針對每個精確年分數，依利率、股利、借券、離散分派及幣別慣例建立一致的 `D(T)` 和 `F(T)`。保留隱含波動率求解器所用的曲線及公司行動版本。
4. **映射至同一座標。** 將每個履約價轉換為 `k = ln(K/F(T))`。在匹配 `k` 上插值或配適價格和隱含變異數，而非跨不同遠期比較相同名目履約價。統一採一套 Black 報價、日計數及年化慣例。
5. **執行獨立約束。** 計算 `Δw = w₂ − w₁`、`v_fwd = Δw/ΔT`，且僅在非負時算 `sqrt(v_fwd)`。另須分別檢驗價格邊界、買權價差單調性、履約價凸性或蝶式約束、尾端行為及買價—中間價—賣價不確定性；日曆單調性不足以構成完整無套利曲面。
6. **診斷表面違規。** 複核美式提前履約、離散股利、借券、隨機或負持有成本、現金與實物交割、上午與下午交割、假日、時區、公司行動、插值及外推。若契約請求權不同，應返回請求權價格邊界，而非強行套用簡單總變異數規則。
7. **分離訊號與交易。** 若聲稱存在可執行套利，應逐項列出按賣價買進、按買價賣出、數量、比例、費用、保證金、融資和避險，以及近月到期交割與遠月選擇權剩餘曝險。否則應將結果標為曲面、模型或資料品質不一致，而非保證獲利。
## 計算範例
- **負遠期變異數診斷。** 在匹配 `k` 下，設 `T₁ = 30/365`、`T₂ = 90/365`、`σ₁ = 40%`、`σ₂ = 20%`。則 `w₁ = 0.40² × 30/365 = 0.013150685`、`w₂ = 0.20² × 90/365 = 0.009863014`、`ΔT = 60/365`。因此 `v_fwd = (0.009863014 − 0.013150685)/(60/365) = −0.020000`，不存在可報告的實數 `sqrt(v_fwd)`。解釋負變異數率前，應稽核同步報價、遠期、股利、求解器及契約。
- **通過檢驗的較低遠月隱含波動率。** 保持相同期限，但採 `σ₁ = 30%` 和 `σ₂ = 20%`。此時 `w₁ = 0.30² × 30/365 = 0.007397260`、`w₂ = 0.009863014`、`v_fwd = 0.015000`。遠期波動率為 `sqrt(0.015000) = 12.247449%`。遠月隱含波動率 `20%` 低於近月 `30%`，但總變異數仍上升，因此通過此日曆檢驗。
- **相同履約價並非匹配價內程度。** 設 `S₀ = 100`、連續 `r = 5%`、連續 `q = 1%`、`T₁ = 0.25`、`T₂ = 0.75`。則 `F₁ = 100e^[(0.05−0.01)×0.25] = 101.005017`，`F₂ = 100e^[(0.05−0.01)×0.75] = 103.045453`。兩期均採 `K = 100`，得到 `k₁ = ln(100/F₁) = −0.010000`，但 `k₂ = ln(100/F₂) = −0.030000`。若要在遠月匹配 `k₁`，應採 `K₂ = F₂e^(−0.01) = 102.020134`，實際仍須在上市履約價間插值。
- **日曆價差不是鎖定獲利。** 假設可執行開倉是按 `$7.20` 賣價買進遠月買權，並按 `$4.80` 買價賣出近月買權，成本前每單位借記為 `$2.40`。近月到期時，若 `S = K = $100`，近月損益為 `$0`，遠月可執行買價為 `$3.10`，清算損益為 `$3.10 − $0 − $2.40 = +$0.70`。若 `S = $115`，近月支付 `$15`，遠月買價為 `$15.80`，損益為 `$15.80 − $15 − $2.40 = −$1.60`。繼續持有遠月選擇權還會保留現貨、波動率、時間及流動性風險。
## 風險與驗證控制
- 跨期限保持標的、選擇權方向及法律請求權族一致。
- 區分相同履約價比較與固定 `k` 曲面比較。
- 對折現曲線、遠期曲線、利率和精確年分數進行版本控制。
- 按契約時點和金額對已宣布及特別現金股利建模。
- 在遠期建構中計入股票借券、難借券成本及召回影響。
- 對負利率、隨機利率及依幣別而異的利率或持有成本進行壓力測試。
- 將美式提前履約價值和指派與歐式曲面條件分開。
- 除非正式建立橋接，否則將現金交割與實物交割劃入不同請求權族。
- 匹配上午或下午慣例及契約正式履約交割結算值。
- 對齊最後交易時間、報價時間戳記、交易時段、時區、假日日曆及到期時鐘。
- 核實每個系列的乘數、交割標的、履約價及公司行動調整。
- 不將陳舊、非同步、修正、鎖定、交叉或單邊資料視為潔淨觀測。
- 將中間價和模型評價作為診斷，而非可執行所得。
- 保留買價、賣價、深度、整數數量及組合訂單可用性。
- 驗證隱含波動率反演、價格邊界、單位及數值容差。
- 對插值和外推施加約束，而非假設平滑即可防止套利。
- 分別檢驗履約價單調性、蝶式凸性及尾端極限。
- 報告原始報價不確定性、配適殘差、模型版本及持有成本敏感度。
- 在交易主張中計入費用、融資、保證金、滑價、分腿、避險及清算成本。
- 對近月到期交割、遠月選擇權剩餘曝險、跳空及動態避險失敗進行壓力測試。
## 常見誤解
- **「遠月隱含波動率較低就是日曆套利。」** 即使遠月年化隱含波動率下降，總變異數仍可能上升。
- **「相同履約價具有相同價內程度。」** 不同到期遠期會產生不同 `k` 值。
- **「負遠期變異數保證有獲利訂單。」** 它首先提示曲面輸入或假設不一致，而且可能不存在可執行交易。
- **「買遠月賣近月可以鎖定無風險損益。」** 近月請求權先交割，遠月選擇權仍保留市場曝險。
- **「平滑配適曲面就是無套利曲面。」** 日曆、蝶式、邊界及尾端約束都必須獨立施加和檢驗。
## 相關主題
- [隱含波動率](/zh-tw/options/implied-volatility/)
- [買賣價差](/zh-tw/options/bid-ask-spread/)
- [日曆價差](/zh-tw/options/calendar-spread/)
## 權威來源
- [Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986) - 介紹 SVI 與 SSVI 靜態無套利條件，包括日曆總變異數限制；不證明原始報價構成可執行交易。
- [A Note on Sufficient Conditions for No Arbitrage](https://doi.org/10.1016/j.frl.2005.04.005) - 在其假設下給出歐式買權網格的價差、蝶式及期限一致性充分條件，不處理美式選擇權。
- [Arbitrage-Free Smoothing of the Implied Volatility Surface](https://doi.org/10.1080/14697680802595585) - 介紹帶形狀約束的曲面平滑與一致性，而非唯一插值或成交價。
- [The Range of Traded Option Prices](https://doi.org/10.1111/j.1467-9965.2007.00291.x) - 介紹既定市場假設下有限履約價及到期集合的歐式選擇權可行價格範圍，而非所有請求權的普遍規則。
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 標準化選擇權權利、調整、履約、交割及風險，而非波動率曲面數學。
- [S&P 500 Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - SPX 與 SPXW 特定的履約、現金交割、乘數、上午或下午及最後交易慣例，而非股票選擇權規則。
- [Equity vs. Index Options](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/equity-vs-index-options) - 一般實物與現金交割、履約方式及交割結算值差異，仍須遵守特定產品規則。
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals) - 帶時間戳記的選擇權買價、賣價、數量、隱含波動率及希臘字母欄位與涵蓋邊界，不保證成交或涵蓋非美國市場。
Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/calendar-arbitrage/index.mdx