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title: "Charm、Vanna 與 Vomma：正負號、單位與完整重新定價"
description: "透過明確的時鐘、波動率單位、有限差分控制、部位縮放和模型邊界，衡量時間驅動的 Delta 漂移、Delta 與波動率的交互作用以及 Vega 曲率。"
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# Charm、Vanna 與 Vomma：正負號、單位與完整重新定價
> 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。
## 直接答案
**Charm、Vanna 和 Vomma**是某一明確選擇權定價函數的局部導數，而不是預測或合約到期損益。Charm 衡量 Delta 對時間的反應，Vanna 衡量現貨價格與波動率的交互作用，Vomma（通常也稱 Volga）衡量 Vega 對波動率的反應。只有明確時間方向、波動率尺度、模型座標、部位方向、數量和乘數後，一個數值才有意義。
對於價值函數 `V(S,σ,τ,...)`，定義 `Delta=∂V/∂S`，並將原始 Vega 定義為 `Vega_raw=∂V/∂σ`，其中波動率 `σ` 採小數形式，`τ` 是剩餘期間。在足夠平滑且座標一致的條件下，`Vanna_raw=∂²V/(∂S∂σ)=∂Delta/∂σ=∂Vega_raw/∂S`，而 `Vomma_raw=∂²V/∂σ²=∂Vega_raw/∂σ`。混合偏導數相等，並不表示真實市場的波動率曲面衝擊等同於模型中的單一變數擾動。
時間與顯示單位是最常見的報告陷阱。若 `τ=T−t`，則 `Charm_τ=∂Delta/∂τ`，但日曆時間 Charm 為 `Charm_t=∂Delta/∂t=−Charm_τ`。在其他輸入保持不變時，一個 ACT/365 日的局部變化為 `−Charm_τ/365`。波動率變動一個百分點等於小數波動率變動 `0.01`，因此 `Vanna_1pt=0.01×Vanna_raw`，`Vomma_1pt²=0.0001×Vomma_raw`。混用原始數值與顯示數值會造成 `100` 倍或 `10,000` 倍的錯誤。
## 七步希臘值控制流程
1. **鎖定權利義務與模型狀態。** 記錄評價時點、確切選擇權系列、多頭或空頭方向、數量、乘數、現貨或遠期價格、利率、股利、借券成本、波動率曲面、剩餘期間、履約方式、結算方式和模型版本。
2. **聲明基礎導數與座標。** 明確 `Delta`、`Vega_raw`、`Vanna_raw` 和 `Vomma_raw`；辨別現貨 Delta 與遠期 Delta、權利金調整與未調整口徑，以及曲面是按履約價、Delta 還是其他座標保持不變。
3. **鎖定 Charm 的時鐘與正負號。** 區分日曆時間 `t` 與剩餘期間 `τ`，明確採用 `Charm_t` 還是 `Charm_τ`，並註明每年、ACT/365、ACT/252 或已經按日顯示。絕不能再次用日數除數去除已經按日顯示的供應商數值。
4. **鎖定波動率與曲率單位。** 明確小數波動率與波動率點、原始 Vega 與顯示 Vega、平行純量擾動與履約價偏斜或 Delta 曲面擾動，並寫明 Vanna 和 Vomma 各自的換算方法。
5. **用有限差分驗證。** 在可行時優先採用中央差分；分別透過 Delta 對波動率的變化和 Vega 對現貨的變化驗證 Vanna，透過 Vega 的斜率和價格曲率驗證 Vomma；再縮小擾動幅度，以辨識截斷誤差或相消誤差。
6. **彙總並完整重新定價。** 先統一每個系列的口徑，再乘以帶正負號的數量和乘數。局部 Delta、Gamma、Charm、Vanna 與 Vomma 僅用於歸因；完整的現貨、時間、波動率、偏斜、期間、利率、股利、借券和組合情境才是控制手段。
7. **核對模型與成交執行。** 比較供應商版本和擾動口徑、可成交買賣價、離散避險數量、流動性、費用與實際成交。保存衝擊前後的希臘值，不要把中間價敏感度當作有保證的避險結果。
## 試算範例
- **Charm 的時鐘與正負號。** 在採用連續收益率的 Black-Scholes 範例中，`S=100`、`K=100`、`r=5%`、`q=2%`、`σ=20%`、`τ=0.5`，`d1=0.1767766953`、`d2=0.0353553391`，買權 Delta 為 `0.5644849345`。此處 `Charm_τ=+0.0574497873 per year`，因此 ACT/365 日曆時間的局部漂移為 `−0.0574497873/365=−0.0001573967`。在 `τ=0.5−1/365=0.4972602740` 時完整重新定價，Delta 為 `0.5643272616`，一天的精確變化為 `−0.0001576729`。乘數為 `100` 時，方向等價曝險從 `56.4485` 股變為 `56.4327 shares`，即 `−0.0158 share`；有限變動結果並不與導數估計完全相同。
- **Vanna 的中央差分與尺度。** 使用相同輸入，買權 Delta 為 `0.5652807208`（當 `σ=19%`），以及 `0.5638956602`（當 `σ=21%`）。中央差分估計為 `(0.5638956602−0.5652807208)/(0.21−0.19)=−0.0692530319 per absolute volatility`，即 `−0.0006925303 Delta per vol point`。在 `20%` 處的解析局部值為 `Vanna_raw=−0.0687394860`，等於 `−0.0006873949 per vol point`；因此，一份乘數為 `100` 的多頭合約在 IV 上升一個波動率點時，Delta 等價股數局部約變化 `−0.0687395 delta-equivalent share`，未計曲面重新校準和更高階影響。
- **由 Vega 斜率計算 Vomma。** 一份 Black-Scholes 買權的參數為 `S=100`、`K=120`、`r=4%`、`q=1%`、`σ=25%`、`τ=1`，原始 Vega 為 `35.1268247986`，顯示 Vega 為 `0.3512682480 price per vol point`。解析值 `Vomma_raw=49.9650569089`，等價於 `0.0049965057 price per vol-point²`。顯示 Vega 為 `0.3459770760`（在 `24%` 時），以及 `0.3559948122`（在 `26%` 時），所以中央差分估計為 `(0.3559948122−0.3459770760)/2=0.0050088681 price per vol-point²`。它與解析值之間的差異是有限擾動誤差，而不是新的希臘值。
- **局部曲率與完整重新定價。** 在前述 `K=120` 範例中，模型價格從 `4.4188911173`（IV 為 `25%`）上升至 `6.2276105891`（IV 為 `30%`），精確變化為 `+1.8087194718 per share`，即 `+$180.8719472`（乘數為 `100`）。僅用 Vega 得到的估計為 `0.3512682480×5=1.7563412399`。加入 Vomma 後為 `1.7563412399+0.5×0.0049965057×5²=1.8187975611`，即每份合約 `+$181.8797561`，仍比完整重新定價高 `+$1.0078089`。二階歸因改善了局部近似，但不能取代模型重算。
## 風險與驗證控制
- 核實確切選擇權系列、權利義務和評價時點。
- 記錄模型類別、校準方法和實作版本。
- 區分現貨、遠期和權利金調整後的 Delta 座標。
- 保存完整的波動率曲面快照和插值方法。
- 明確保持履約價、保持 Delta 或其他曲面擾動口徑。
- 保留利率、股利、分派和借券假設。
- 在適用時模擬美式履約和提前履約邊界。
- 將離散股利與連續收益率公式分開處理。
- 區分現金結算與實物交割及履約後的曝險。
- 鎖定 `t` 與 `τ` 的差異以及 Charm 正負號口徑。
- 鎖定 ACT/365、ACT/252、交易日或已經按日顯示的時間尺度。
- 換算小數波動率與波動率點時避免 100 倍錯誤。
- 換算原始 Vega 與 Vomma 時避免 10,000 倍錯誤。
- 一致套用多空正負號、數量、乘數和幣別。
- 明確區分每股、每點、每份合約和投資組合單位。
- 測試有限差分擾動的截斷誤差與收斂性。
- 避免擾動過小而由報價雜訊或數值雜訊主導結果。
- 壓力測試到期邊界、跳躍、事件、暫停交易和非平滑到期損益。
- 不要盲目淨額處理不同到期日、曲面、模型或結算權利義務。
- 將中間價希臘值與可執行避險、費用和完整重新定價核對。
## 常見誤解
- **「Charm 能預測明天的 Delta。」** 它是在明確的輸入凍結方式和時鐘口徑下計算的局部導數。
- **「Vanna 總是正數。」** 其正負號取決於權利義務、價內外程度、期間、模型和座標口徑。
- **「Vomma 就是 Vega，而且總是正數。」** Vomma 是 Vega 的曲率；其正負號與大小取決於模型和狀態。
- **「不同供應商的數值可以直接比較。」** 時鐘、正負號、波動率單位、曲面、模型和合約縮放均可能不同。
- **「二階希臘值不再需要完整重新定價，或可以保證避險。」** 有限衝擊、交叉效應、跳躍、流動性和離散合約仍然存在。
## 相關主題
- [Delta 與 Gamma](/zh-tw/options/delta-and-gamma/)
- [Theta](/zh-tw/options/theta/)
- [Vega](/zh-tw/options/vega/)
## 權威來源
- [選擇權定價與公司負債](https://doi.org/10.1086/260062) - 為平滑的歐式恆定波動率局部導數提供基礎，但不規定通用希臘值標籤，也不涵蓋美式履約、離散股利、波動率微笑或跳躍行為。
- [選擇權定價：一種簡化方法](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - 提供可支援提前履約建模的離散網格和收斂架構，但不規定通用高階希臘值口徑或即時曲面。
- [隨機波動率下選擇權的封閉解及其在債券和貨幣選擇權中的應用](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - 顯示波動率動態、相關性和波動率的波動率會令敏感度依賴模型，並不保證某一隨機波動率校準正確。
- [Vanna-Volga 與希臘值](https://doi.org/10.1002/wilm.10852) - 在 Vanna-Volga 架構中直接討論 Vanna 與 Volga，但具有外匯和方法特定邊界，並非通用的股票選擇權或 Charm 口徑。
- [如何計算選擇權價格及其希臘值：從 Delta 到 Vega 探索 Black-Scholes 模型](https://www.wiley-vch.de/en/areas-interest/finance-economics-law/how-to-calculate-options-prices-and-their-greeks-978-1-119-01162-0) - 從實務角度討論一階與二階敏感度，但不是交易所規則、可成交報價或統一顯示尺度。
- [數值導數（LET）](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - 說明數值微分和對稱插值檢查，但不是選擇權模型，也不規定混合偏導定義或標準擾動幅度。
- [標準化選擇權的特性與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 說明標準化選擇權的合約、履約、指派和風險邊界，但不提供希臘值公式、數值、正負號或單位。
- [Cboe 波動率指數](https://cdn.cboe.com/resources/vix/VIX_Methodology.pdf) - 提供包含履約價、時間和篩選控制的官方報價型隱含波動率方法，但不是單一選擇權曲面、二階希臘值定義或可執行避險。
Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/charm-vanna-vomma/index.mdx