# Delta-Gamma 近似：估算選擇權的非線性損益

用 Delta 和 Gamma 估算選擇權價值變化，正確換算組合希臘值，並理解局部二階近似何時失效。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/delta-gamma-approximation/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

<a id="answer"></a>

## 直接答案

**Delta-Gamma 近似**在暫時假設時間、隱含波動率、利率和股息不變時，用標的價格變動估算選擇權或組合的價值變化：

`ΔV ≈ Delta × ΔS + 0.5 × Gamma × (ΔS)²`

Delta 提供線性的方向項；Gamma 因 Delta 本身隨現價變化而提供曲率修正。這是局部二階泰勒近似，適合快速檢查小幅變動情境與風險，不應取代完整重新定價。

<a id="mechanism"></a>

## Gamma 項為什麼重要

Delta 是選擇權價值對現價的一階導數；Gamma 是二階導數，即 Delta 的變化率。係數 `0.5` 來自泰勒展開的二階項，不能省略。

由於上漲和下跌時 `(ΔS)²` 都為正，正 Gamma 在兩個方向都增加正曲率項，負 Gamma 則扣減曲率項。這不代表買進選擇權在任何變動下都獲利，因為 Delta、已付權利金、Theta、Vega 和交易成本仍會影響總損益。

對組合，應先按部位符號、合約數和乘數換算每張選擇權的每股希臘值，再求和：

`組合 Delta = Σ(部位符號 × 合約數 × 乘數 × Delta_i)`

`組合 Gamma = Σ(部位符號 × 合約數 × 乘數 × Gamma_i)`

標準美股選擇權通常使用 100 的乘數。股票每股 Delta 為 1、Gamma 為 0。多資產組合應分別衝擊每個風險因子，必要時加入交叉 Gamma；不能對無關標的使用同一個 `ΔS`。

<a id="example"></a>

## Delta 0.45、Gamma 0.08 的 Call

假設一張 Call 價值 `5.00`，Delta 為 `0.45`，Gamma 為 `0.08`，標的從 100 升至 103，因此 `ΔS=3`。

- Delta 項：`0.45×3=1.35`
- Gamma 項：`0.5×0.08×3²=0.36`
- 估算變化：`1.35+0.36=1.71`
- 估算選擇權價值：`5.00+1.71=6.71`

只用 Delta 會得到 `6.35`，少算 `0.36` 的正曲率。若標的從 100 跌至 97，`ΔS=−3`；Delta 項為 `−1.35`，Gamma 項仍為 `+0.36`，估算變化為 `−0.99`，估算價值為 `4.01`。

若持有 10 張多頭合約、乘數為 100，把每股變化乘以 `1,000`：上漲情境估算獲利 `$1,710`。若賣出 10 張，則部位 Delta 與 Gamma 符號均反轉，同樣上漲估算虧損 `$1,710`，未計其他因素。

<a id="risks"></a>

## 正確使用檢查

- 使用乘數前確認希臘值是每股、每張合約還是已經按組合換算。
- 使用帶部位方向的希臘值；普通 Call 與 Put 多頭通常正 Gamma，空頭負 Gamma。
- 同時測試上漲與下跌。單向情境會隱藏曲率與方向不對稱。
- 保持衝擊幅度局部。Gamma 會隨現價、時間和波動率變化，尤其在臨近到期的平值區域。
- 大幅變動應拆成小步並更新希臘值，或在新情境下完整重新定價每張合約。
- 加入 `Vega×ΔIV` 和 `Theta×Δt` 前確認單位；Vega 可能按一個波動率點或 100% 變化報價，Theta 可能按日或按年。
- 在更廣泛壓力測試中加入波動率曲面變化、股息、利率、跳空、流動性和交易成本。
- 將近似值與獨立完整定價比較並記錄殘差；殘差擴大表示模型、單位或遺漏因子風險上升。

<a id="misconceptions"></a>

## 常見誤區

- 「Gamma 修正是 `Gamma×(ΔS)²`。」泰勒展開需要 `0.5` 係數。
- 「正 Gamma 在兩個方向都會獲利。」曲率只相對切線有利，總損益仍含 Delta、Theta、Vega、權利金和成本。
- 「Delta 中性就是價格中性。」Delta 只在目前點為中性，現價變動後 Gamma 會重新產生 Delta。
- 「近似是價格預測。」它是使用目前模型敏感度的條件運算，不是機率或目標價。
- 「衝擊越大，估算越有資訊。」價格穿越不同價內外區域時，固定起點 Gamma 的可靠性下降。
- 「不同系統的希臘值可直接拼接。」模型、時間戳、波動率輸入、股息和單位可能不同。

<a id="related"></a>

## 相關主題

- [Delta 與 Gamma](/zh-tw/options/delta-gamma/)
- [淨希臘值](/zh-tw/options/net-greeks/)
- [Gamma 風險](/zh-tw/options/gamma-risk/)
- [Vega](/zh-tw/options/vega/)

<a id="sources"></a>

## 權威來源

- [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - Options Industry Council
- [Volatility and the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - Options Industry Council
- [Options Calculator and Greeks Tools](https://www.cboe.com/oi/tools/) - Cboe Options Institute
- [Value at Risk for Linear and Non-Linear Derivatives](https://openscholar.uga.edu/record/7803) - University of Georgia