--- title: "Delta-Gamma 近似：局部損益、單位與完整重評價" description: "以帶符號的 Delta、Gamma、交叉 Gamma、相容單位、有限差分檢查與完整重評價控制，估算選擇權及投資組合的局部價值變動。" image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Delta-Gamma 近似：局部損益、單位與完整重評價 > 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能造成損失。 ## 直接答案 對固定時點及模型狀態下的模型價值 `V_i(S, x)`，單因子 **Delta-Gamma 近似**為 `ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)²`。其中 `Delta_i = ∂V_i / ∂S`、`Gamma_i = ∂²V_i / ∂S²`，而 `ΔS` 是與求導所用標的價格座標一致的絕對變動。 這個公式是模型價值變動的局部二階泰勒估計。它不是預測、機率、可成交損益，也不能取代完整重評價。解讀時必須明確界定請求權、帶符號部位、乘數、幣別、座標、波動率曲面、時間、利率、股利、借券、履約模型、結算方式及資料供應商的縮放規則。
帶有 Delta 切線與 Gamma 曲率修正的選擇權彎曲價值線 帶有 Delta 切線與 Gamma 曲率修正的選擇權彎曲價值線
Delta-Gamma 估計屬於局部近似；有限情境應以完整重評價控管。
## 帶符號且單位一致的近似帳冊 令 `q_i` 為帶符號的選擇權契約數，多頭為正、空頭為負；`M_i` 為相容的權利金乘數；`h` 為帶符號的標的單位。對以同一相容價格座標計量的請求權，部位 Delta 為 `D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i`，部位 Gamma 為 `G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i`，局部部位估計為 `ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)²`。每一單位股票多頭貢獻 Delta `+1`，Gamma 為 `0`。 1. 鎖定每一確切契約系列、時點、部位符號、數量、乘數、交付標的、幣別、履約方式、結算方式、價格座標及模型版本。代號相似並不代表請求權相容。 2. 凍結模型狀態與衝擊慣例：現貨或遠期、利率、股利、借券、精確剩餘期限、波動率曲面、固定履約價或固定 Delta 規則，以及離散事件的處理方式。時間或波動率同步變動的情境並非純現貨 Delta-Gamma 情境。 3. 將各腿標準化為單位相容的希臘字母敏感度。區分現貨、遠期、期貨、權利金調整後及現金 Delta；區分 Gamma 是按 `$1`、指數點、期貨點或 `1% spot move` 表示；並確認供應商數值是否已納入數量或乘數。 4. 以帶符號的 `q_i × M_i` 彙總，再另行加入標的避險。不能只因儀表板顯示單一數字，就抵銷幣別、座標、到期日、結算方式或獨立校準曲面不同的部位。 5. 對多個風險因子 `x`，採用梯度與海森矩陣形式 `ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx`。在對稱海森矩陣中，非對角元素組合會在二次型內計算兩次，因此其簡化貢獻是 `Gamma_AB × ΔA × ΔB`，不能忽略，也不能再乘一次二。 6. 以中央差分驗證平滑模型的希臘字母敏感度：`Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε)` 與 `Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε²`。改變 `ε`，以辨識截斷、相消、網格及曲面重新校準造成的影響。 7. 對有限情境完整重評價每一腿並核對殘差。交易分析應以可成交買賣價取代模型標記，並納入成交、費用、避險滑價、借券、股利、指派、履約、結算現金流、稅務及衝擊後希臘字母敏感度。 只有明確定義波動率與時間單位，以及時間導數的方向後，才可加入 `Vega × ΔIV` 或 `Theta × Δt`。即使如此，仍可能遺漏 Vanna、Vomma、Charm、偏斜曲面重塑、交叉項與高階項。將大幅衝擊拆成數步，只有在每一步都更新完整狀態與希臘字母敏感度時才有幫助；它仍是近似，也可能產生路徑相依性。 ## 計算範例 - **一口買權與完整重評價。** 一口歐式買權的參數為 `S = 100`、`K = 100`、`r = 4%`、連續收益率 `y = 1%`、`σ = 25%` 及 `τ = 0.5`。Black-Scholes 基準給出 `V_0 = 7.7215522303`、`Delta_i = 0.5659323171` 與 `Gamma_i = 0.0221205770`。對 `ΔS = +5`，Delta 項為 `2.8296615855`，Gamma 項為 `0.2765072125`，估計變動為 `ΔV_DG = 3.1061687980`，因此估計價值為 `10.8277210283`。保持隱含波動率不變的完整重評價得到 `V_1 = 10.8172471731`、變動 `3.0956949428`，殘差為每股 `full − DG = −0.0104738552`，即每口 `−$1.047386`（`M = 100`）。若終點隱含波動率改為 `30%`，完整價值為 `12.1628459929`，總變動為 `4.4412937626`；原先僅含現貨的估計遺漏了 `1.3351249646` 的狀態變動與交互作用。 - **帶符號的空頭部位。** 賣出 6 口買權，其 `q = −6`、`M = 100`、`Delta_i = 0.55`、`Gamma_i = 0.04`，因此 `D_pos = −330 shares`，`G_pos = −24 shares per $1`。對 `ΔS = +2`，Delta 與 Gamma 項分別是 `−$660` 和 `−$48`，合計 `−$708`，更新後 Delta 約為 `−378 shares`。對 `ΔS = −2`，兩項分別是 `+$660` 和 `−$48`，合計 `+$612`，更新後 Delta 約為 `−282 shares`。負 Gamma 會使兩個方向的曲率貢獻均為負，但不會使總損益對稱。 - **選擇權加股票避險。** 持有 4 口 `Delta_i = 0.35`、`Gamma_i = 0.025` 的買權，賣出 3 口 `Delta_i = −0.40`、`Gamma_i = 0.030` 的賣權，使用 `M = 100`，並放空 `200 shares`。選擇權 Delta 為 `+140 + 120 = +260 shares`；淨 `D_pos = +60 shares`。Gamma 為 `+10 − 9 = +1 share per $1`。對 `ΔS = +5`，部位估計為 `60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50`，更新後 Delta 約為 `+65 shares`。各腿歸因為買權 `+$825.00`、賣權 `+$487.50`、股票 `−$1,000`，合計核對為 `+$312.50`。 - **雙因子交叉 Gamma。** 假設 `ΔA = +2`、`ΔB = −3`、`Delta_A = 120`、`Delta_B = −80`、`Gamma_AA = 4`、`Gamma_BB = 2`，對稱的 `Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5`，且均已換算為相容的部位與幣別單位。線性項是 `120 × 2 + (−80) × (−3) = 480`；對角曲率為 `½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17`；簡化交叉項為 `1.5 × 2 × (−3) = −9`。合計為 `488`。省略交叉 Gamma 會得到 `497`；將簡化交叉項再次乘以二則會得到 `479`。 ## 風險與控管 - 契約系列、標的代號、到期日、履約價、選擇權類型或交付標的錯誤，會使近似失效。 - 遺漏部位符號會反轉 Delta、Gamma、避險方向及歸因。 - 契約口數與權利金乘數可能遭重複計算或遺漏。 - 調整後契約、期貨選擇權及供應商彙總的希臘字母敏感度可能採用非標準單位。 - 現貨、遠期、期貨、對數價格、權利金調整後及現金座標不能互換。 - 絕對價格衝擊不同於百分比或標準差衝擊。 - 幣別與匯率換算可能使表面可比的希臘字母敏感度不一致。 - 不同時點或過時的標的、曲面與選擇權標記會造成虛假淨額抵銷。 - 固定履約價、固定 Delta、偏斜及期限結構規則會改變測得的敏感度。 - 利率、股利、借券、融資與精確到期時間都會影響價值及希臘字母敏感度。 - 不同供應商的單位可能使時間與波動率項符號相反或相差 100 倍。 - 美式履約與離散股利會形成平滑歐式公式所沒有的邊界。 - 數位型、障礙型及其他不連續請求權的 Gamma 可能不穩定或呈現分布型態。 - 接近到期時，Gamma 與有限差分可能高度依賴履約價及網格。 - 大幅衝擊會暴露固定起始希臘字母敏感度未涵蓋的三階及更高階項。 - 跳躍、跳空與暫停交易會破壞連續局部再平衡假設。 - 多資產帳冊可能遺漏或重複計算交叉 Gamma、相關性及因子映射。 - 有限差分擾動過大會增加截斷誤差，過小則增加相消雜訊。 - 模型標記與希臘字母敏感度不保證可成交價格、數量或避險流動性。 - 動態避險、費用、市場衝擊、借券、指派、結算、模型版本及券商紀錄都必須最終核對。 ## 常見誤解 - 「Gamma 項是 `Gamma_i × (ΔS)²`。」泰勒係數是 `½`。 - 「正 Gamma 保證任一方向都獲利。」它只會在局部改善相對於切線的價值；Delta、權利金、時間、波動率、成本及路徑仍會影響結果。 - 「Delta 中性等於無風險。」它只消除目前的一個一階項，並不消除 Gamma、Vega、Theta、跳躍、基差、流動性或模型風險。 - 「加入畫面顯示的任意 Vega 與 Theta，就完成損益估計。」單位、導數方向、交叉敏感度、曲面變動及高階項也必須一致。 - 「精確希臘字母敏感度或反覆採用小步驟可以取代完整重評價。」它們能改善歸因，但有限情境、交易執行及生命週期事件仍需完整評價與核對。 ## 相關主題 - [Delta 與 Gamma](/zh-tw/options/delta-and-gamma/) - [Charm、Vanna 與 Vomma](/zh-tw/options/charm-vanna-vomma/) - [Delta 中性部位](/zh-tw/options/delta-neutral/) ## 權威來源 - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press - [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier - [Value at Risk for Linear and Non-Linear Derivatives](https://openscholar.uga.edu/record/7803) - University of Georgia - [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - The Options Industry Council - [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Exchange, Inc. - [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - National Institute of Standards and Technology - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/delta-gamma-approximation/index.mdx