# Delta 與 Gamma：衡量方向和變動中的曝險

用 Delta 與 Gamma 估算選擇權價格變化，將合約換算為等效股數，理解避險漂移，並管理臨近到期的凸性風險。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/delta-gamma/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

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## 直接答案

**Delta** 估算其他模型輸入近似不變時，底層價格小幅變化會使選擇權價值改變多少。**Gamma** 估算底層每變化一個單位，Delta 本身改變多少。

`Delta = ∂ 選擇權價值 / ∂ 底層價格`

`Gamma = ∂ Delta / ∂ 底層價格 = ∂² 選擇權價值 / ∂ 底層價格²`

Delta 是目前斜率，Gamma 衡量曲率。因此 Delta 並不固定；目前 Delta 中性的組合，底層移動後可能重新產生方向曝險。

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  <figcaption>Delta 描述某一點的切線斜率；Gamma 描述標的價格變化時 Delta 如何變化。</figcaption>
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## 符號、單位與部位曝險

普通選擇權多頭中，Call Delta 通常在 `0` 到 `+1`，Put Delta 在 `-1` 到 `0`。Long Call 與 Long Put 通常為正 Gamma；賣出則反轉 Delta 與 Gamma 符號。

| 部位 | Delta | Gamma | 基本含義 |
| --- | ---: | ---: | --- |
| Long Call | 正 | 正 | 價格上漲時上行曝險增加 |
| Short Call | 負 | 負 | 價格上漲時虧損加速 |
| Long Put | 負 | 正 | 價格上漲時負 Delta 減少 |
| Short Put | 正 | 負 | 價格下跌時下行曝險增加 |

`部位 Delta 等效股數 = 選擇權 Delta × 乘數 × 合約數`

`部位 Gamma（每漲1美元的等效股數變化）= 選擇權 Gamma × 乘數 × 合約數`

10口標準 Call 的 Delta `0.50`，等效 Delta 約 `0.50 × 100 × 10 = 500`股。若 Gamma `0.04`，部位 Gamma 為 `0.04 × 100 × 10 = 40`股等效 Delta/每 `$1`變化。

這是局部模型估計，不是真實持股。Delta 與 Gamma 會隨價格、時間、IV、利率、股息和模型口徑變化。

### 小幅變化近似

底層變化 `ΔS`、其他輸入不變時：

`選擇權價值變化 ≈ Delta × ΔS + 0.5 × Gamma × (ΔS)²`

`新 Delta ≈ 舊 Delta + Gamma × ΔS`

Gamma 項在直線估計上加入曲率。大幅跳空、高 Gamma、IV 改變、時間流逝或不連續市場會擴大誤差，重大情境應完整重新定價。

### 為何價平與臨近到期 Gamma 較高

Gamma 通常在價平附近最高，因小幅價格變化最能改變最終價內或價外狀態。臨近到期時，轉換在更短時間發生，Delta 可迅速趨向到期端點；深度價內與價外通常 Gamma 較低。

Long Gamma 提供有利曲率，但通常伴隨負 Theta，持有人透過時間衰減為凸性付費。Short Gamma 往往收取 Theta，卻可能在大行情中被迫越來越不利地再避險。兩者都不是免費優勢。

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## 範例一：單口價格近似

Call 價值 `$4.00`，Delta `0.50`、Gamma `0.04`、乘數100。股價上漲 `$2`，忽略時間與 IV：

`價格變化 ≈ 0.50 × 2 + 0.5 × 0.04 × 2² = 每股 $1.08`

`合約變化 ≈ $1.08 × 100 = $108`

`新 Delta ≈ 0.50 + 0.04 × 2 = 0.58`

只用 Delta 的估計為 `$1.00`，Gamma 增加 `$0.08`。若股價下跌 `$2`，局部計算為 `0.50 × (-2) + 0.5 × 0.04 × 4 = -$0.92`，新 Delta 約 `0.42`。在輸入凍結近似下，正 Gamma 使同等上漲收益大於下跌損失。

## 範例二：Delta 中性避險漂移

帳戶持有10口 Call，每口 Delta `0.50`、Gamma `0.04`，並放空500股抵銷初始 `+500`期權 Delta。

股價上漲 `$3`：

`估算新期權 Delta = (0.50 + 0.04 × 3) × 100 × 10 = +620股`

已有 `-500`股避險後，淨 Delta 約 `+120`，恢復中性需再賣約120股。

若股價下跌 `$3`，估算期權 Delta 為 `+380`股，淨 Delta `-120`，恢復中性需買約120股。Long Gamma 再避險呈現漲後賣、跌後買，但收益須超過 Theta、價差、佣金、滑價、IV、跳空與不完美避險。

## 組合工作流程

- 確認平台 Greek 是每股或每口。
- 每腿乘以方向、乘數、比例和數量。
- 只在相容底層單位下彙總 Delta 與 Gamma。
- 指數或 ETF 避險按名目金額、Beta 與基差換算。
- 計算多個上漲和下跌情境，不只看目前點位。
- 加入 Theta 與 Vega；Delta-Gamma 不是完整重估。
- Short Gamma 壓測跳空和臨近到期。
- 按風險與成本設再避險門檻，不假設連續交易。
- 時間、IV、股息或轉倉後重新計算。
- 重大決策用完整定價複核近似值。

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## 風險與邊界

- **局部近似：**Greek 只描述目前輸入附近的小變化。
- **Gamma 漂移：**價平臨近到期時 Delta 可快速改變。
- **跳空：**執行前市場可能跨過多個避險門檻。
- **IV 與偏斜：**波動率變化可壓倒固定 IV 估計。
- **Theta-Gamma 交換：**Long 凸性通常付出時間價值。
- **Short Gamma：**趨勢和跳空中不利再避險會累積。
- **單位與乘數：**每股、每點、每口、組合單位可能不同。
- **基差：**ETF、期貨或股票避險可偏離參考標的。
- **流動性成本：**理論調整未必能經濟成交。
- **模型風險：**平台利率、股息、曲面和口徑不同。

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## 常見誤解

- 「Delta 到期前固定。」Gamma 與輸入會持續改變它。
- 「Delta 就是真實持股數。」它是等效股數表示的局部敏感度。
- 「Delta 0.50 保證上漲0.50。」其他變數會變，估計是局部的。
- 「Delta 永遠等於價內機率。」它首先是價格敏感度。
- 「Gamma 直接表示美元損益。」還需價格變化、乘數和數量。
- 「只有 Call 有正 Gamma。」Long Call 與 Long Put 通常都有。
- 「正 Gamma 保證獲利。」權利金、Theta、IV 和執行決定結果。
- 「Delta 中性就是無風險。」Gamma、Vega、Theta、跳空和基差仍在。
- 「目前 Delta 小，Short Gamma 就安全。」一次移動可迅速放大 Delta。
- 「不同平台 Greek 可直接相加。」單位和模型假設必須一致。

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## 相關主題

- [Delta 與 Gamma 基礎](/zh-tw/options/delta-and-gamma/)
- [Delta-Gamma 近似](/zh-tw/options/delta-gamma-approximation/)
- [Gamma 風險](/zh-tw/options/gamma-risk/)
- [Delta 避險](/zh-tw/options/delta-hedging/)

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## 一手來源

- [OCC：標準化選擇權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [Cboe Options Institute：選擇權基礎](https://www.cboe.com/optionsinstitute/options_basics/)
- [Black 與 Scholes（1973）：選擇權與公司負債定價](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Merton（1973）：理性選擇權定價理論](https://doi.org/10.2307/3003143)