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title: "Dupire 局部波動率：從選擇權曲面到擴散過程"
description: "從價格、遠期與總變異數座標檢核 Dupire 局部波動率，涵蓋無套利配適、導數穩定性、重新定價與動態模型控制。"
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# Dupire 局部波動率：從選擇權曲面到擴散過程
> 僅供教育用途，不構成投資建議。投資可能導致損失。
## 直接答案
**Dupire 局部波動率**是從足夠平滑且無套利的歐式選擇權價格曲面推導出的確定性瞬時擴散係數 `σ_loc(S,t)`。在選定的風險中立持有成本模型下，它建構一個擴散過程，使其單一時點邊際分配重現目前各履約價與期限的標準選擇權價格。
它是校準結果，不是相同履約價的隱含波動率、已實現波動率預測，也不能證明市場遵循某一種局部波動率路徑法則。即使標準選擇權重新定價完全準確，未來微笑動態、障礙選擇權價格、避險結果與跳躍行為仍可能錯誤。
## 模型、座標與控制流程
1. 鎖定精確的歐式損益、標的、結算值、報價時間戳記、幣別、履約價與期限單位，以及評價時點。美式提前履約價值和離散股利跳躍需要明確的歐式化處理或不同模型。
2. 建構確定性折現與持有成本輸入：`D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du)`、`D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du)` 與 `F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T)`。以時間同步的賣權—買權平價核對遠期價格，不要混用過時的股票、選擇權、利率或股利觀察值。
3. 清理買賣報價，排除過時或交叉市場，並一致地轉換賣權與買權。在求導前，於同一折現—遠期座標中執行垂直價差邊界、買權價格遞減且凸、非負密度與日曆一致性約束。
4. 採用事先聲明的插值以及翼部與時間外推方法，配適平滑價格或總變異數曲面。對時點零的折現歐式買權 `C(K,T)`，以及確定性瞬時 `r(T)` 和 `q(T)`，價格座標公式為 `σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK]`，其中 `C_T` 在 `K` 固定時求得，且 `C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0`。
5. 使導數與座標相符。令 `k=K/F(T)`，標準化買權為 `c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T))`，則 `σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk)`。令遠期對數價內外程度為 `y=ln(K/F(T))`，總隱含變異數為 `w(y,T)=σ_BS²(y,T)T`，定義 `g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2`，並使用 `σ_loc²=w_T|y/g`。要求 `w_T|y≥0` 且 `g>0`；固定 `K`、固定 `k` 與固定 `y` 的導數不可互換。
6. 遇到負值或不穩定的局部變異數時應拒絕校準，而不是默默設定下限。擾動報價、遠期、股利、節點、插值、網格與邊界，再透過前向密度或後向 PDE 與蒙地卡羅實作，對校準選擇權及留作驗證的選擇權重新定價。
7. 比較局部波動率、隨機波動率及跳躍情境下的障礙選擇權、其他路徑相依權益與避險損益。記錄報價版本、篩選器、曲線、曲面參數、求導方法、失敗節點、外推、求解器容許誤差與重新校準變動。
## 四個計算範例
- **平坦 Black-Scholes 曲面恢復其輸入。** 令 `S₀=K=100`、`T=0.5`、`r=4%`、`q=1%` 且 `σ_BS=25%`。精確曲面給出 `C=7.721552230288`、`C_K=−0.488716794830`、`C_KK=0.022120576997` 與 `C_T=8.301615173889`。分子為 `6.912680311701`，分母為 `110.602884987209`，因此 `σ_loc²=0.0625` 且 `σ_loc=25%`。
- **二階導數會放大微小價格誤差。** 在同一平坦曲面上，履約價 `99/100/101` 的買權價格為 `8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654`。間距為 `h=$1` 時，中央估計為 `C_KK≈0.022115059190`；採用其他精確導數，得到 `σ_loc≈25.0031186%`。僅將中央買權價格提高 `$0.01`，估計值便變為 `C_KK≈0.002115059190` 與 `σ_loc≈80.8494317%`；提高 `$0.05` 則得到 `C_KK≈−0.077884940810` 和 `σ_loc²≈−0.017751006138`，這是無效結果，不是波動率預測。
- **遠期標準化要求固定 `k` 的時間導數。** 令 `D_d=0.98`、`F=102`、`k=1`、`c=0.08`、`c_T|k=0.032` 且 `c_kk=3.20`。於是 `C=7.9968`、`C_KK=0.030745098039`，價格座標的分子為 `3.19872`，分母為 `159.936`。兩個公式都給出 `σ_loc²=0.020000000000` 與 `σ_loc=14.1421356237%`。在固定履約價下求得的時間導數，未經座標轉換項調整，不能當作 `c_T|k` 代入。
- **總變異數分母是套利診斷指標。** 在 `y=−0.1` 處，令 `w=0.04`、`w_y=−0.10`、`w_yy=0.50` 且 `w_T|y=0.02`。則 `g=0.9525`、`σ_loc²=0.020997375328` 且 `σ_loc=14.4904711200%`。若僅將 `w_yy` 改為 `−1.50`，則 `g=−0.0475`，公式產生 `σ_loc²=−0.421052631579`；應拒絕或修復該配適曲面或節點，而不是截斷後宣稱校準成功。
## 校準檢查清單
- 美式履約價值可能污染被當作歐式處理的曲面。
- 離散或不確定股利在事件日違反平滑的連續股利率擴散假設。
- 利率曲線、複利方式、計息天數與到期時間戳記可能不一致。
- 現貨、履約價、遠期、對數價內外程度及權利金標準化座標可能被混用。
- 報價可能過時、不同步、交叉，或對應不相容的數量。
- 中間價不可成交，並可能掩蓋寬闊或單邊市場。
- 賣權—買權平價與推導遠期可能受到借券、股利或時點污染。
- 垂直價差邊界與買權單調性可能在曲面配適前已經失效。
- 蝶式凸性與正密度條件可能在局部或翼部失效。
- 日曆條件必須在一致的折現—遠期座標中檢驗。
- 短期限與稀疏履約價會使導數不穩定。
- 翼部與長期外推可能主導奇異選擇權評價。
- 有限差分、樣條與自動微分可能以不同方式放大報價雜訊。
- 接近零的密度會使局部變異數分母病態。
- 負分子或負局部變異數表示輸入、套利或數值處理不一致。
- 默默截斷或設定下限會掩蓋失敗的校準並扭曲重新定價。
- PDE、密度、蒙地卡羅、網格與邊界實作可能產生不一致結果。
- 配對單一時點邊際分配不能決定未來微笑或路徑動態。
- 跳躍、隨機波動率、障礙與離散避險會產生殘餘模型風險。
- 資料版本、篩選器、參數版本、失敗節點與重新校準都需要治理。
## 常見誤解
- 「局部波動率就是相同履約價的隱含波動率。」兩者是透過完整曲面連結起來的不同對象。
- 「外觀平滑的曲面必然產生穩定的局部波動率。」平滑本身不能保證無套利或導數條件良好。
- 「標準選擇權重新定價準確就證明奇異選擇權價格與避險正確。」這只驗證靜態邊際分配，不驗證動態事實。
- 「負局部變異數是市場資訊。」它通常診斷出不一致報價、套利、座標、插值或數值問題。
- 「目前的曲面能唯一預測已實現波動率或真實過程。」多種動態可以共享相同的單一時點標準選擇權分配。
## 相關主題
- [隱含波動率](/zh-tw/options/implied-volatility/)
- [蝶式套利](/zh-tw/options/butterfly-arbitrage/)
- [日曆套利](/zh-tw/options/calendar-arbitrage/)
## 第一手與權威來源
- [以微笑定價](https://www.risk.net/derivatives/equity-derivatives/1500211/pricing-with-a-smile)
- [選擇權價格隱含的狀態依存請求權價格](https://doi.org/10.1086/296025)
- [模擬具有 Itô 微分過程的一維邊際分配](https://doi.org/10.1007/BF00699039)
- [無套利 SVI 波動率曲面](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986)
- [波動率插值](https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1694972)
- [隨機波動率下選擇權的封閉形式解及其在債券與貨幣選擇權的應用](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [標準化選擇權的特性與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [選擇權報價](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)
Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/dupire-local-volatility/index.mdx