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title: "遠期波動率：單位、座標、報價區間與事件變異數"
description: "在控制單位、日計數、曲面座標、買賣價區間、事件基線與可交易性的前提下，從兩個期限提取區間變異數。"
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# 遠期波動率：單位、座標、報價區間與事件變異數

> 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

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## 直接答案

**遠期波動率**是針對未來區間推導出的年化波動率彙總值。在同一個評價時點，設以年為單位的時間分數符合 `0 < T1 < T2`。定義年化變異數率 `V(T)`，單位為小數平方/年；定義總變異數 `W(T) = T x V(T)`，單位為無量綱對數報酬平方。則：

`V_fwd(T1,T2) = [W(T2) - W(T1)] / (T2 - T1)`，且 `sigma_fwd = sqrt(V_fwd)`。

若輸入是可比的年化波動率 `sigma(T)`，則 `W(T) = sigma(T)^2 x T`。相減的是總變異數，而非波動率百分比。輸出取決於模型、曲面、報價、座標與慣例；它既不保證未來已實現波動率，也不是方向預測，更不會自動成為可交易價格。

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## 建構可比的區間指標

1. 明確比較對象：單一履約價 Black-Scholes 隱含波動率、平價曲面插值、模型無關隱含變異數指標、變異數交換履約率、指數方法，或交易所掛牌的變異數請求權。
2. 固定同一評價時點、精確到期時刻、時區、日曆、日計數與年化慣例；使用時間分數，而非經捨入的月份標籤。
3. 同步記錄兩個期限的買進報價、賣出報價、數量、遠期、利率、股利、借券、結算與幣別輸入。
4. 固定可比座標，例如 `k = ln(K/F)`、有明確文件規定的 Delta 慣例或遠期平價，並鎖定插值、平滑、履約價截斷與曲面翼部外推規則。
5. 將各期限轉換為總變異數 `W`，計算區間差額與年化比率，在開平方前執行非負性、日曆套利、報價區間與單位檢查。
6. 區分推導出的純量與預測、未來波動率微笑、遠期起始選擇權價格、日曆價差、變異數交換、VIX 期貨或變異數期貨；壓力測試事件、跳躍、基線、曲面旋轉與成交執行。
7. 保留資料版本與方法，再將實際部位的成交、已實現變異數定義、結算、保證金、交易對手、費用與稅務同診斷指標分別核對。

對真正可比且可加的預期變異數對象，`W(T2) - W(T1)` 依建構即為區間總變異數。將兩個點位的隱含波動率視為此種對象，則是仰賴模型的近似。變異數交換履約率以變異數單位報價；受凸性影響，波動率交換履約率通常不等於其平方根。VIX、VIX 期貨與交易所掛牌的變異數期貨也分別是不同的請求權與方法。

兩個端點只能辨識區間平均變異數率，無法辨識區間內路徑、未來波動率微笑、未來平價隱含波動率、遠期起始選擇權所需的聯合分配或已實現波動率。同理，`sqrt(E[variance])` 通常不等於 `E[sqrt(variance)]`。

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## 四個計算範例

- **精確日計數：**採用 ACT/365，設 `T1 = 30/365`、`sigma1 = 40%`、`T2 = 90/365`、`sigma2 = 30%`。則 `W1 = 0.0131506849315`、`W2 = 0.0221917808219`、`Delta W = 0.00904109589041`、`Delta T = 0.164383561644`。因此 `V_fwd = 0.055000000000`、`sigma_fwd = 23.4520787991%`，而非 `40% - 30%`。
- **座標不匹配：**設 `T1 = 0.25`、`T2 = 0.50`。在匹配的遠期平價座標上，`sigma1 = 20%`、`sigma2 = 25%`，得到 `W1 = 0.010000`、`W2 = 0.031250`、`V_fwd = 0.085000`、`sigma_fwd = 29.1547594742%`。若機械式採用同一個美元履約價，而該履約價的隱含波動率為 `24%` 與 `22%`，則得到 `W1 = 0.014400`、`W2 = 0.024200`、`V_fwd = 0.039200`、`sigma_fwd = 19.7989898732%`。兩者相差 `9.3557696010 percentage points`，反映的是座標不匹配。
- **報價區間：**當 `T1 = 0.25` 時，近端波動率買進/賣出報價為 `24% / 26%`；當 `T2 = 0.50` 時，遠端買進/賣出報價為 `25% / 27%`。將四個報價都映射至同一變異數對象後，保守的賣方比率為 `[0.25^2 x 0.50 - 0.26^2 x 0.25] / 0.25 = 0.0574`，即 `23.9582971014%`；買方比率為 `[0.27^2 x 0.50 - 0.24^2 x 0.25] / 0.25 = 0.0882`，即 `29.6984848098%`。中間價輸入 `25% / 26%` 得到 `26.9629375254%`。這是診斷區間，並不保證組合單成交。
- **事件殘差：**十天總窗口的 `sigma_total = 45%`；九個非事件日經文件規定的一般基線為 `sigma_base = 25%`。則 `W_total = 0.45^2 x 10/365 = 0.00554794520548`、`W_base = 0.25^2 x 9/365 = 0.00154109589041`、`v_event = 0.00400684931507`。事件窗口的對數報酬標準差為 `sqrt(v_event) = 6.3299678633%`。將這一日殘差年化得到 `120.9338662245%`，但兩者都不表示方向、機率、預期絕對報酬或有保證的波幅。

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## 計算與交易失效情況

- 兩個輸入描述不同的變異數、波動率、指數、期貨或交換對象。
- 兩個曲面取自不同時間戳記，或取數期間其中一個市場已經變動。
- 將到期時刻縮減為日期，遺失日內時間分數。
- 混用日計數、年化、日曆、小數、波動率點或變異數單位。
- 標的、幣別、履約方式、結算或觀察慣例不同。
- 將相同美元履約價誤認為相同遠期價內外程度。
- 遠期、利率、股利、借券或外匯輸入錯誤或不一致。
- Delta 座標採用不同模型、報價方向或波動率輸入。
- 報價陳舊、交叉、鎖定、零數量或無法共同成交。
- 以錯誤的多頭或空頭方向組合買進與賣出報價輸入。
- 履約價稀疏、截斷、離散積分或錯誤報價扭曲模型無關變異數。
- 波動率微笑插值、平滑與翼部外推產生隱含敏感度。
- 對負的 `Delta W` 靜默設為零，而不調查原因。
- 將平價或單一履約價隱含波動率說成模型無關預期變異數。
- 混淆變異數交換與波動率交換履約率或其凸性調整。
- 將 VIX、VIX 期貨、變異數期貨與客製化店頭請求權視為可互換對象。
- 事件日期、一般基線、重疊催化因素或窗口長度錯誤。
- 忽略跳躍、隔夜報酬、公司行動、離散監測與變異數風險溢酬。
- 假設一個遠期純量能決定未來微笑、聯合分配或遠期起始選擇權價值。
- 遺漏日曆價差的希臘字母、指派、成交、保證金、店頭信用、結算、費用與稅務。

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## 常見誤解

- 「直接相減兩個隱含波動率。」應相減按時間加權的可比總變異數。
- 「遠期波動率是未來已實現波動率的保證性預測。」它只是目前輸入與假設的隱含結果。
- 「一個純量能決定未來微笑或遠期起始選擇權價格。」它只辨識所選建構下的區間平均值。
- 「負值代表市場預測負波動率或保證存在套利。」它通常是資料、座標、報價、插值或方法發出的警訊。
- 「日曆價差或 VIX 期貨曲線直接且純粹地交易這個數字。」這些部位具有不同的請求權、曲面、希臘字母、成交與生命週期風險。

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## 相關主題

- [事件波動率](/zh-tw/options/event-volatility/)
- [變異數交換](/zh-tw/options/variance-swap/)
- [波動率曲面](/zh-tw/options/volatility-surface/)

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## 第一手與學術來源

- [Cboe Volatility Index Mathematics Methodology](https://cdn.cboe.com/resources/indices/Cboe_Volatility_Index_Mathematics_Methodology.pdf)
- [SP 500 Variance Futures Variance Calculator User Guide](https://www.cboe.com/document/tech-spec/document/technical-specifications/sp-500-variance-futures-variance-calculator-user-guide/)
- [Understanding the Bid and Ask Prices for Options](https://www.optionseducation.org/news/understanding-the-bid-and-ask-prices-for-options)
- [A Guide to Volatility and Variance Swaps](https://doi.org/10.3905/jod.1999.319129)
- [A Tale of Two Indices](https://doi.org/10.3905/jod.2006.616865)
- [Improving the Predictability of Real Economic Activity and Asset Returns with Forward Variances Inferred from Option Portfolios](https://doi.org/10.1016/j.jfineco.2011.01.002)
- [Option Pricing of Earnings Announcement Risks](https://doi.org/10.1093/rfs/hhy060)
- [Asymptotics of Forward Implied Volatility](https://doi.org/10.1137/140960712)

Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/forward-volatility/index.mdx