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title: "Gamma 風險：單位、部位曲率、避險與完整重新定價"
description: "檢視 Gamma 單位與正負號、部位縮放、局部 Delta-Gamma 損益、Cash Gamma 命名、離散避險、完整重新定價及生命週期風險。"
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# Gamma 風險：單位、部位曲率、避險與完整重新定價
> 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。
## 直接答案
對選擇權價值 `V(S,...)`，**Gamma** 是局部曲率 `Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2`。若 Delta 以每單位選擇權對應的標的單位衡量，`S` 以美元衡量，則單位 Gamma 表示標的每變動 `$1` 時 Delta 的變化。對合約數量 `q`、乘數或交割量 `M`、股票避險 `h` 的帶正負號部位，`Delta_pos = q x M x Delta_i + h`，`Gamma_pos = q x M x Gamma_i`。
對普通的標準選擇權，單位 Gamma 一般對選擇權多頭為正，套用空頭部位符號後為負。不得將此規律推廣至所有數位、障礙、調整後、路徑相依或履約邊界暴險。方向只能套用一次：若資料來源已提供帶正負號、按部位縮放的 Gamma，就不要再次乘以 `q` 或 `M`。
## 建立帶正負號的曲率與避險紀錄
1. 鎖定確切契約系列、評價時間戳記、多頭或空頭方向、數量、乘數、現行交割物、幣別、履約方式、結算方法，以及任何股票或代理避險。
2. 說明價格座標與單位：現貨美元、指數點、期貨點、百分比變動、每股、每口合約，或已彙總的部位敏感度。
3. 固定模型使用的現貨、時間、利率、股利、借券、波動率曲面與曲面動態規則；Gamma 並非獨立於這些輸入。
4. 分別計算單位與帶正負號部位的 Delta 和 Gamma，保留總額及淨額的各腿，並辨識平台是否已套用符號、數量、乘數或現金縮放。
5. 對較小的凍結狀態變動，使用 `Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S` 與 `Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2`；標明未納入的 Theta、Vega、持有成本、交叉希臘字母及成本項。
6. 使用中心有限差分、對稱上下衝擊、多個擾動幅度，以及現貨、時間、曲面、跳躍與流動性情境下的完整重新定價進行驗證；記錄避險委託與實際成交。
7. 核對選擇權、股票、現金、股利、融資、借券、交易成本、保證金、履約、指派、結算、費用、稅務，以及局部歸因與實際損益之間的殘差。
Cash Gamma 與 Dollar Gamma 的名稱並無統一標準。一種常見定義是 `CashGamma = Gamma_pos x S^2`；報酬率為 `r_move` 時，由 Gamma 引起的 Dollar-Delta 變化是 `CashGamma x r_move`。在 Gamma 不變的假設下，該變動的二階損益為 `0.5 x CashGamma x r_move^2`。供應商可能納入 `0.5`、採用一個百分點衝擊，或報告帶正負號的部位值，因此標籤必須附上公式與單位。
Delta 中性部位仍有 Gamma 風險：變動後，局部 Delta 約以 `Gamma_pos x Delta S` 重新出現。多頭 Gamma 再平衡可在上漲後賣出、下跌後買進，但理論曲率收入必須超過 Theta、波動率重新評價、買賣價差、市場衝擊、融資及避險誤差。休市期間的跳空無法連續交易。
## 四個計算範例
- **帶正負號部位曲率：**十口買權多頭的參數為 `M = 100`、`Delta_i = 0.50`、`Gamma_i = 0.08 shares/$`。因此 `Delta_pos = 500 shares`、`Gamma_pos = 80 shares/$`。當 `Delta S = +$2` 時，估算 Delta 為 `660 shares`，損益為 `+$1,160`；當 `Delta S = -$2` 時，估算 Delta 為 `340 shares`，損益為 `-$840`。每個情境中的曲率貢獻均為 `+$160`，所以成對曲率合計為 `+$320`；兩個總損益結果相差 `$2,000`。
- **Cash Gamma 慣例：**五口買權多頭的參數為 `M = 100`、`Gamma_i = 0.08 shares/$`、`S = $100`。因此 `Gamma_pos = 40 shares/$`、`CashGamma = $400,000`。對 `1%` 的變動，由 Gamma 引起的 Dollar-Delta 分量為 `$4,000`，二階 Gamma 損益則為 `0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20`。對 `2%` 的變動，Gamma 損益為 `$80`。沒有公式的標籤無法說明其指的是哪個數字。
- **離散 Gamma scalping：**從 Delta 中性開始，採用教學用的 Gamma 不變假設 `Gamma_pos = 50 shares/$`。路徑先變動 `+$2` 並重新避險，再變動 `-$2` 並再次避險。每一段的局部 Gamma 貢獻為 `$100`，合計 `$200`；Theta 為 `-$120`，兩次避險交易各花費 `$15`。淨結果為 `$200 - $120 - $30 = $50`。這並非有保證的交易結果，因為 Gamma、成交、曲面與路徑均已簡化。
- **局部近似與完整重新定價：**一口歐式買權的參數為 `S = $100`、`K = $100`、`r = 4%`、`q_div = 1%`、`sigma = 25%`、`tau = 0.5`。Black-Scholes 得出 `V0 = $7.7215522303`、`Delta = 0.5659323171`、`Gamma = 0.0221205770`。當 `Delta S = +$5` 時，二階估值為 `$3.1061687980`；在隱含波動率不變時完整重新定價得到 `$3.0956949428`，誤差為每股 `$0.0104738552/share`，即 `$1.047386`（當 `M = 100` 時）。若隱含波動率也升至 `30%`，總變動為 `$4.4412937626`，不能只歸因於原來的 Delta 與 Gamma。
## Gamma 控制失效情況
- 遺漏多頭與空頭符號，或重複套用符號。
- 遺漏或重複套用數量與乘數，或供應商輸出已包含兩者。
- 將調整後交割物或現金點值視為標準股票乘數。
- 混用現貨、遠期、期貨、指數點、幣別或報酬率座標。
- 混淆 `$1` 變動與 `1%` 變動。
- 使用 Cash Gamma、Dollar Gamma、Gamma 損益及 Dollar-Delta 變化時未附公式。
- 遺漏或重複套用 Taylor 係數 `0.5`。
- 未經標準化即比較單位、合約與部位 Gamma。
- 現貨、時間、利率、股利、借券或模型輸入陳舊。
- 固定履約價、固定 Delta 及其他曲面動態假設不一致。
- 忽略隱含波動率水準、偏斜、期限結構、Vanna、Volga 及交叉希臘字母變化。
- Theta 單位或精確的盤中、隔夜時鐘錯誤。
- 使用一個不變的局部 Gamma 評估大幅變動。
- 將跳躍或休市跳空視為可連續避險。
- 將數位、障礙、美式履約邊界或其他不平滑暴險視為一般選擇權曲率。
- 有限差分擾動、網格、插值或求解器誤差污染 Gamma。
- 遺漏避險延遲、買賣價差、市場衝擊、部分成交、拒單與費用。
- 放空限制、借券、股利或代理基差風險阻礙避險。
- 保證金、購買力、券商強制平倉、履約、指派或結算產生額外暴險。
- 未核對融資、稅務、現金、股份、選擇權移除與歸因殘差。
## 常見誤解
- 「Gamma 是選擇權價格變動。」Delta 是一階價格敏感度；Gamma 是 Delta 的局部變化率。
- 「高 Gamma 預測市場將大幅變動。」Gamma 是敏感度，不是方向或波動率預測。
- 「多頭 Gamma 一定獲利。」曲率必須超過 Theta、波動率重新評價、價差、衝擊、融資與避險誤差。
- 「Delta 中性代表沒有風險。」Gamma 會在現貨變動時重新產生 Delta，其他希臘字母及生命週期風險仍然存在。
- 「一個 Gamma 數字適用於大幅跳空。」它是局部導數，其模型狀態與數值可能在變動過程中劇烈改變。
## 相關主題
- [Delta 與 Gamma](/zh-tw/options/delta-and-gamma/)
- [Dollar Gamma 暴險](/zh-tw/options/dollar-gamma-exposure/)
- [Gamma scalping](/zh-tw/options/gamma-scalping/)
## 第一手與學術來源
- [Gamma](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/gamma)
- [Options Delta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/delta)
- [Theta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/theta)
- [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Option Pricing and Replication with Transactions Costs](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1985.tb02383.x)
- [When You Hedge Discretely: Optimization of Sharpe Ratio for Delta-Hedging Strategy under Discrete Hedging and Transaction Costs](https://doi.org/10.2139/ssrn.1865998)
Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/gamma-risk/index.mdx