# 幾何布朗運動：Black–Scholes 背後的實用基準
理解 GBM 方程、對數常態解、伊藤修正、真實世界與風險中性漂移、精確模擬，以及遺漏的跳躍和波動率風險。
標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/geometric-brownian-motion/
事實查核日期: 2026-07-22
> 僅供教育參考，不構成投資建議
## 直接答案
**幾何布朗運動（GBM）**是連續時間模型，資產百分比變化由恆定漂移與布朗隨機衝擊組成：`dS(t) / S(t) = μ dt + σ dW(t)`。其解為 `S(T) = S0 exp[(μ − 0.5σ²)T + σW(T)]`。對數報酬呈常態、價格呈對數常態，因此模型價格保持為正。GBM 是 Black–Scholes 的核心，原因是容易解析，不代表真實股票完全遵循。
## 漂移、伊藤修正與定價測度
期限 `T` 內，`ln[S(T)/S0]` 均值為 `(μ − 0.5σ²)T`、變異數為 `σ²T`。`−0.5σ²` 伊藤修正抵消指數凸性，使真實世界設定下 `E[S(T)] = S0e^(μT)`；價格期望成長率 `μ` 與平均對數報酬成長率不同。
風險中性定價把 `μ` 換成 `r − q`。這不是預測股票真實報酬等於 `r − q`，而是對折現可交易資產施加無套利鞅條件。GBM 假設路徑連續、增量獨立平穩且高斯、波動率固定，遺漏財報跳空、厚尾、波動聚集、偏斜、停牌、違約、流動性及成本。更細步長不能修復結構遺漏。
## 從 `$100` 出發的一年分布
設 `S0 = $100`、`μ = 8%`、`σ = 20%`、`T = 1`。平均對數報酬為 `8% − 20%²/2 = 6%`，標準差 `20%`。
- 終值中位數：`$100e^0.06 = $106.18`。
- 終值期望：`$100e^0.08 = $108.33`。
- `Z = −1`：`$100e^(0.06−0.20) = $86.94`。
- `Z = +1`：`$100e^(0.06+0.20) = $129.69`。
均值高於中位數，因為對數常態價格右偏；`Z = ±1` 是情境，不是界限。精確離散模擬用 `S(t+Δt)=S(t)exp[(μ−0.5σ²)Δt+σsqrt(Δt)Z]`。日步長 `1/252` 的一倍隨機標準差為 `20%/sqrt(252)=1.26%`。更多路徑只降低抽樣誤差，不降低模型誤差。
## 建模檢查清單
- 說明用途是真實預測、風險中性定價、壓力測試或教學。
- 記錄 `S0`、漂移、波動率、股息、利率、期限、日數、步長與時點。
- 統一年化輸入與 `Δt`，不混用交易日和曆年。
- 使用精確指數步與可稽核種子，核驗對數報酬均值及變異數。
- 報告路徑數、標準誤、收斂與信賴區間。
- 與跳躍、波動狀態、厚尾及流動性壓力情境比較。
- 路徑依賴產品檢查觀察頻率與布朗橋修正。
- 不用 `μ` 預測短期方向，漂移遠小於噪音且難以估計。
- 模型內擬合良好不代表假設能描述未來市場。
## 常見誤區
- 「GBM 預測股價。」它只在給定參數下指定條件分布。
- 「對數報酬漂移是 `μ`。」此記號下為 `μ − 0.5σ²`。
- 「風險中性機率是真實預測。」它服務無套利估值。
- 「步數越多越真實。」只減少離散誤差，不增加跳躍或隨機波動率。
- 「對數常態表示下行有限。」有限時間內大於零，但可任意接近零。
- 「固定波動率無妨。」它與期限、偏斜、聚集和危機行為衝突。
## 相關主題
- [Black–Scholes 模型](/zh-tw/options/black-scholes-model/)
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## 一手與學術來源
- [Black 與 Scholes：選擇權和公司負債的定價](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Merton：理性選擇權定價理論](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Cboe 選擇權學院：Black–Scholes 模型](https://www.cboe.com/optionsinstitute/option_basics/black-scholes-model/)