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title: "幾何布朗運動：測度、精確模擬與模型風險"
description: "從實體測度與風險中性測度、對數常態矩、精確模擬與 Euler 模擬、蒙地卡羅誤差、路徑監測及模型限制等面向檢視 GBM。"
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# 幾何布朗運動：測度、精確模擬與模型風險
> 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。
## 直接答案
在實體測度 `P` 下，參數固定的幾何布朗運動為 `dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P`。其精確解是 `S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]`，因此 `ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)`，有限期間的價格嚴格為正。
此處 `mu` 是價格的瞬時預期成長參數，不是平均對數報酬成長率。在風險中性測度 `Q` 下，連續殖利率為 `q` 的除息資產遵循 `dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q`。兩種測度回答不同問題，並使用不同的布朗運動；風險中性機率不是報酬預測。
## 分七步建立並驗證 GBM
1. 說明工作是實體測度預測、風險中性評價、壓力測試、數值測試或教學；不得混用 `P` 與 `Q` 的輸出。
2. 鎖定 `S_0`、幣別、價格或總報酬口徑、`mu` 或 `r - q`、波動率、利率、股利、期間、時間戳記、計息日數慣例、複利方式及公司行動處理方法。
3. 寫明特定測度下的隨機微分方程式、精確解與單位。在 `P` 下，`E[S_t] = S_0 e^(mu t)`、`Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)`，且 `E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1`。
4. 使用路徑或給付函數前，驗證對數報酬的平均數與變異數、價格的平均數、變異數、中位數、眾數及分位數，並區分簡單報酬與對數報酬。
5. 對分段固定參數的 GBM，使用 `S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i]` 模擬，其中獨立的 `Z_i ~ N(0,1)`，並記錄亂數產生器及可重現的種子。Euler 方法僅用於離散化比較研究。
6. 報告路徑數、估計量、標準誤、信賴區間與收斂情形。對障礙、極值、首次穿越或離散監測，應使用布朗橋或明確的監測近似處理時間步之間的穿越。
7. 分開參數誤差、抽樣誤差、離散化誤差與結構性模型誤差；對跳躍、隨機波動率、厚尾、槓桿效應、違約、流動性、暫停交易、交易成本、結算及狀態轉換進行壓力測試。
## 四個完整範例
- **實體分配的矩。** 設 `S_0 = $100`、`mu = 8%`、`sigma = 20%`、`T = 1`。對數報酬平均數為 `0.06`，變異數為 `0.04`。中位數是 `$106.1836546545`，平均數是 `$108.3287067675`，眾數是 `$102.0201340027`，變異數是 `$478.9188716836`，標準差是 `$21.8842151261`。衝擊 `Z = -1` 與 `Z = +1` 分別得到 `$86.9358235399` 和 `$129.6930086666`；這些是情境，不是界限。
- **精確路徑與 Euler 路徑。** 設 `S_0 = $100`、`mu = 6%`、`sigma = 30%`、`Delta t = 0.25`，且 `Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]`，精確價格依序為 `$108.1933804806`、`$93.4727720616`、`$97.4091536282` 和 `$117.9393118711`。Euler 終值為 `$119.3300424062`。對這些固定係數，精確指數轉移可保持價格為正；Euler 有離散化偏誤，也可能產生負價格。
- **風險中性選擇權價值。** 設 `S_0 = $100`、`K = $105`、`r = 4%`、`q = 1.5%`、`sigma = 25%`、`T = 0.75`。遠期價格為 `$101.8926885052`，`d_1 = -0.0304963995`，`d_2 = -0.2470027504`；歐式買權價值為 `$7.2291486749`。實體漂移 `mu` 不會進入這個受控的無套利價格。
- **蒙地卡羅抽樣誤差。** 在 `P` 下，設 `S_0 = $100`、`mu = 7%`、`sigma = 25%`、`T = 0.5`。對於 `S_T > $120`，門檻為 `z_star = 0.9217649222`，精確機率為 `0.1783256040`。若有 `N = 100,000` 條獨立路徑，Bernoulli 理論標準誤為 `0.0012104775`；`95%` 區間的半寬為 `0.0023725358`，以真值為中心的參考區間是 `[0.1759530681, 0.1806981400]`。增加路徑只能降低抽樣誤差，不能降低模型誤差。
## 輸入、數值與模型風險
- 混用實體測度與風險中性測度，或混用相應的布朗運動。
- 把 `mu` 當成平均對數報酬成長率或有限期簡單報酬。
- 混淆除息價格、總報酬與再投資分配。
- 混用 `r`、`r - q`、離散股利、複利方式與遠期口徑。
- 混用日曆日、交易日、盤中與年化時間單位。
- 把百分比波動率當成小數輸入，或採用錯誤的年化方法。
- 使用過時參數、修訂後資料、前視資訊或不一致的時間戳記。
- 依賴短樣本且雜訊很大的漂移估計來判斷方向。
- 假定所有市場狀態下的高斯對數增量均獨立且分配相同。
- 認為固定波動率可同時解釋偏斜、期限結構、波動群聚及槓桿效應。
- 遺漏跳躍、隔夜跳空、歸零違約事件及暫停交易。
- 認為對數常態模型能捕捉厚尾與危機期間的相依性。
- 忽略隨機利率、股利、借券或多資產相關結構。
- 有精確 GBM 轉移時仍使用 Euler，或忽略其產生負價格的可能性。
- 未記錄產生器、種子、對偶變數或變異數降低方法及重現資料。
- 只報告路徑數，不報告估計量標準誤、信賴區間及收斂情形。
- 漏掉時間步之間的障礙穿越、極值與首次穿越事件。
- 混淆增加時間步數與降低結構性模型誤差。
- 把對單一價格或分配矩的校準視為模型驗證。
- 遺漏可成交價格、流動性、成本、休市、產品結算、治理及勾稽。
## 常見迷思
- **「GBM 能預測一檔股票的價格。」** 它只在選定參數下定義條件分配。
- **「對數報酬漂移是 mu。」** 在本文實體測度符號下，它是 `mu - 0.5 sigma^2`。
- **「風險中性機率是真實世界預測。」** 它是在明確市場假設下使用的評價測度。
- **「增加時間步或路徑數能讓市場模型變得真實。」** 它們處理離散化或抽樣誤差，而不是缺漏的經濟機制。
- **「對數常態價格為正，所以限制了下檔風險。」** 價格可以任意接近零，而且 GBM 遺漏突然違約。
## 相關主題
- [Black-Scholes 模型](/zh-tw/options/black-scholes-model/)
- [蒙地卡羅選擇權定價](/zh-tw/options/monte-carlo-option-pricing/)
- [跳躍擴散選擇權模型](/zh-tw/options/jump-diffusion-option-model/)
## 一手與學術來源
- [On stochastic differential equations](https://doi.org/10.1090/memo/0004)
- [Mathematics of Speculative Price](https://doi.org/10.1137/1015001)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations](https://doi.org/10.1137/S0036144500378302)
- [1.3.6.6.9. Lognormal Distribution](https://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm)
- [Option pricing when underlying stock returns are discontinuous](https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2)
- [The Variation of Certain Speculative Prices](https://doi.org/10.1086/294632)
Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/geometric-brownian-motion/index.mdx