# Heston 模型：隨機變異數、偏斜與校準風險
理解 Heston 的五個核心參數、均值回歸、現價與變異數相關性、Feller 條件、校準流程及模型限制。
標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/heston-model/
事實查核日期: 2026-07-22
> 僅供教育參考，不構成投資建議
## 直接答案
**Heston 模型**用隨機、均值回歸且與資產價格相關的變異數過程，取代 Black–Scholes 的固定變異數。常見風險中性形式為 `dS = (r − q)S dt + sqrt(v)S dW_S`，以及 `dv = κ(θ − v)dt + ξsqrt(v)dW_v`，其中 `dW_S dW_v = ρdt`。
核心參數是初始變異數 `v0`、長期變異數 `θ`、回歸速度 `κ`、變異數波動強度 `ξ` 及現價—變異數相關係數 `ρ`。它能產生偏斜和時變變異數，但校準參數不是市場唯一真相。
## 五個參數如何塑造曲面
`v0` 錨定短期，`θ` 是長期回歸水準，`κ` 決定速度，`ξ` 拓寬未來變異數分布並增加曲率，股票市場常見負 `ρ` 將下跌與變異數上升連結，使下行 Put 更貴。
預期變異數為 `E[v(t)] = θ + (v0 − θ)e^(−κt)`，半衰期為 `ln(2)/κ`。充分 Feller 條件 `2κθ ≥ ξ²` 有助過程保持嚴格正值；不滿足不代表所有價格無效，但邊界與數值方法需更謹慎。Heston 仍是連續擴散，未自動涵蓋跳躍、事件、成本和流動性，參數也會互相補償。
## 讀取一組參數
假設 `v0 = 0.09`、`θ = 0.04`、`κ = 2`、`ξ = 0.30`、`ρ = −0.70`：
- 初始波動率：`sqrt(0.09) = 30%`。
- 長期波動率水準：`sqrt(0.04) = 20%`。
- 半衰期：`ln(2)/2 = 0.347` 年，約 `4.16` 個月。
- 半年預期變異數：`0.04 + (0.09 − 0.04)e^(−2×0.5) = 0.0584`。
- 其平方根：`sqrt(0.0584) = 24.16%`。
- Feller：`2κθ = 0.16`，`ξ² = 0.09`，條件成立。
`24.16%` 是預期變異數的平方根，不是預期波動率；一般 `sqrt(E[v]) ≠ E[sqrt(v)]`。負相關使下跌衝擊伴隨變異數上升；把 `ρ` 調向零會減弱不對稱，降低 `ξ` 通常減小微笑曲率。
## 校準與驗證清單
- 使用同步可成交 Bid/Ask，統一遠期、折現、股息和時點。
- 按規則清理陳舊、零 Bid、交叉、違反套利邊界和公司行動異常報價。
- 為正參數設合理範圍，`ρ` 限於 `[−1,1]`。
- 依 Vega 或價差可靠性加權，按期限與價性檢查誤差。
- 從多個初值最佳化，報告參數不穩與近似最優替代組。
- 將模型誤差與市場價差比較。
- 檢查特徵函數、積分收斂、複數分支與模擬偏差。
- 做樣本外及避險損益驗證。
- 獨立壓測跳躍、更負 `ρ`、更高 `ξ`、期限斷裂及重新校準。
## 常見誤區
- 「Heston 預測波動率。」它在參數給定後規定條件動態。
- 「擬合更好就避險更好。」過度擬合與不穩參數會惡化樣本外結果。
- 「每個參數有唯一可觀察含義。」參數會互相補償。
- 「違反 Feller 就無效。」它改變邊界與數值問題，不自動否定全部價格。
- 「隨機波動率捕捉崩盤。」連續路徑仍遺漏跳躍。
- 「一次校準適用所有商品與日期。」曲面、事件、流動性和路徑依賴都會改變。
## 相關主題
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## 學術來源
- [Heston：隨機波動率選擇權的閉式解](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [Andersen：Heston 隨機波動率模型的簡單高效模擬](https://doi.org/10.1093/rfs/hhm094)
- [Black 與 Scholes：選擇權和公司負債的定價](https://doi.org/10.1086/260062)