# 局部波動率模型：從期權曲面到狀態波動率

理解局部波動率模型如何把無套利期權曲面轉換為確定性波動率函數、Dupire 方程如何計算，以及精確校準為何不代表未來動態真實。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/local-volatility-model/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

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## 直接答案

**局部波動率模型**把瞬時波動率設為目前標的價格與時間的確定函數。簡單風險中性式為 `dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t`。Black-Scholes 使用單一常數波動率，而局部波動率模型在輸入曲面足夠平滑且滿足無套利條件時，可以重現不同履約價和到期日的整套歐式期權價格。

在理想連續擴散設定中，模型具有完備性，可為路徑依賴合約定價並計算與目前普通期權曲面一致的避險。但今天精確擬合，不代表能預測明天的隱含波動率曲面。未來微笑動態由確定函數強制產生，可能與真實市場明顯不同。

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## Dupire 校準機制

設 `C(K,T)` 是履約價 `K`、到期時間 `T` 的歐式 Call 價格。為便於說明，假設利率 `r` 和股息率 `q` 為常數。Dupire 正向方程為：

`σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]`。

履約價二階曲率 `∂²_KK C` 與風險中性終值密度相關。因此，Call 價格必須隨履約價下降並保持凸性，期限關係也需一致。實務中先清洗報價，將利率和股息轉換為遠期價與折現因子，擬合受無套利約束的平滑曲面，再求導並對局部波動率網格插值或外推。

校準後的 `σ_loc(K,T)` 不等於螢幕上的隱含波動率。隱含波動率是讓 Black-Scholes 重現單一期權價格的常數參數；局部波動率是透過完整狀態分布重現更廣曲面的瞬時擴散係數。

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## Dupire 數值範例

在 `K=$100`、`T=1` 年處，假設平滑後的 Call 曲面給出 `C=$8`、`∂_T C=10` 美元/年、`∂_K C=-0.45`、`∂²_KK C=0.018` 每美元。令 `r=5%`、`q=2%`，分子為：

`10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81`。

分母為 `0.5×100²×0.018=90`，因此局部方差為 `8.81/90=0.0979`，局部波動率為 `√0.0979=31.3%`。

這只是數值演示，並非市場估計。若雜訊擬合使曲率從 `0.018` 變為 `0.012`，其餘輸入不變，推導波動率會升至 `√(8.81/60)=38.3%`。巨大差異說明報價篩選、無套利平滑、網格穩定性和樣本外檢查的重要性。

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## 校準與模型風險檢查

- 使用同步的可成交期權報價、遠期價、折現因子、股息、合約條款和結算口徑。
- 按明確規則剔除交叉、陳舊、零買價及經濟上不一致的資料。
- 數值求導前強制履約價凸性和適當的期限單調性。
- 測試插值、平滑懲罰、報價權重、網格間距、邊界條件和外推敏感度。
- 對全部校準普通期權重新定價，並以可成交價格單位報告誤差。
- 在股價和曲面衝擊下，對比局部波動率、Black-Scholes 與隨機波動率的避險行為。
- 壓力測試跳空；連續擴散無法在瞬時跳躍中完成避險。
- 把未來曲面動態視為模型假設；局部波動率產生的微笑移動常與市場不同。
- 障礙等路徑依賴合約取決於模型路徑分布，不能只憑終值普通期權擬合判斷。
- 曲面變化後重新校準，區分市場損益、持有成本、避險誤差和重校準影響。
- 對稀疏翼部和長期限制外推；求導會放大微小輸入誤差。
- 在理想方程之外納入流動性、交易成本、離散避險、提前行權與結算條款。

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## 常見誤區

- 「局部波動率就是每一點的隱含波動率。」兩者定義和用途不同。
- 「精確校準證明模型真實。」許多模型都能擬合今天的普通期權，卻產生不同路徑與避險。
- 「Dupire 公式可直接用於原始報價。」它需要平滑導數和滿足無套利的輸入。
- 「完備擴散模型消除所有風險。」跳空、離散避險、流動性、參數變化和模型誤差仍存在。
- 「曲面細節越多越準確。」求導會放大雜訊和不流動報價。
- 「模型能預測波動率。」校準提取風險中性定價函數，不是現實機率預測。
- 「兩模型擬合全部普通期權後，複雜期權價格必然相同。」路徑和未來微笑動態可以不同。
- 「負局部方差是有效訊號。」它通常表示資料、平滑、導數或假設有問題。

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## 一手與學術資料

- [Dupire：Pricing with a Smile](https://www.risk.net/derivatives/1500210/pricing-smile)
- [Derman 與 Kani：Riding on a Smile](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1994/01/gs-volatility_smile.pdf)
- [Black 與 Scholes：期權與公司負債定價](https://doi.org/10.1086/260062)
- [OCC：標準化期權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)