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title: "局部波動率模型：從選擇權價格到狀態依賴波動率"
description: "理解 Dupire 局部波動率模型如何把符合無套利條件的歐式選擇權曲面轉換為狀態依賴擴散過程，以及精確校準為何不能保證真實的波動率微笑動態。"
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# 局部波動率模型：從選擇權價格到狀態依賴波動率
> 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能造成損失。
## 直接答案
**局部波動率模型**把瞬時波動率設定為目前標的價格與時間的確定函數。在簡單的股票風險中性模型中，`dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t`。Black-Scholes 使用單一常數波動率，而經適當校準的局部波動率擴散過程可以重現目前不同履約價和期限的歐式選擇權價格。
這種校準性質針對今天的風險中性邊際分布，並非對實際波動率或明天隱含波動率曲面的預測。模型為定價與避險提供一套內部一致的路徑過程，但確定性的狀態依賴關係可能產生與市場觀測不同的未來微笑移動。
## Dupire 校準機制
以 `C(K,T)` 表示履約價為 `K`、期限為 `T` 的歐式買權在時點零的價格。若連續複利利率 `r` 與連續股息率 `q` 為常數，則在分母為正之處，Dupire 正向方程給出：
`σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]`。
曲率 `∂²_KK C` 與折現後的風險中性終值密度成正比。因此，買權價格必須隨履約價下降並保持凸性，各期限切片也必須符合經持有成本調整的日曆約束。報價稀疏或不一致時，推導出的變異數可能不穩定甚至為負。
實務校準通常從同步的選擇權報價、折現因子、遠期價、股息和合約口徑開始。先在靜態無套利控制下擬合平滑曲面，再計算導數；隨後對得到的局部波動率網格進行插值與邊界限制，並透過重新定價校準選擇權來檢查結果。
局部波動率並不等於相同履約價和期限的報價隱含波動率。隱含波動率是讓 Black-Scholes 匹配某一個選擇權價格的常數輸入；局部波動率則是其演化過程能生成全部已校準邊際分布的瞬時擴散係數。
## Dupire 數值範例
在 `K=$100`、`T=1` 年處，假設平滑後的買權曲面給出 `C=$8`、`∂_T C=10` 美元/年、`∂_K C=-0.45`、`∂²_KK C=0.018` 每美元。令 `r=5%`、`q=2%`，分子為：
`10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81`。
分母為 `0.5×100²×0.018=90`，所以局部變異數為 `8.81/90=0.0979`，局部波動率為 `√0.0979=31.3%`。
這只是數值示範，並非市場估計。若雜訊較大的擬合使曲率從 `0.018` 變為 `0.012`，而其他輸入維持不變，推導出的波動率會升至 `√(8.81/60)=38.3%`。這種敏感性說明資料清理、無套利平滑、穩定求導和樣本外檢查十分重要。
## 校準與模型風險檢查
- 使用同步且可成交的報價、遠期價、折現因子、股息、合約條款和結算慣例。
- 依有紀錄的規則剔除交叉、陳舊、零買價和經濟上不一致的觀測。
- 求導前強制符合履約價單調性、履約價凸性和適當的持有成本調整後日曆約束。
- 測試插值、平滑懲罰、報價權重、網格間距、邊界條件和外推的敏感性。
- 重新定價每個校準用普通選擇權，並同時以價格單位和隱含波動率點數報告誤差。
- 在標的價格和微笑衝擊下，比較 Black-Scholes 與隨機波動率替代模型的避險表現。
- 對跳躍和跳空做壓力測試，因為連續擴散無法避險瞬時不連續變化。
- 把未來曲面動態視為模型假設，而非今天擬合結果必然保證的結論。
- 對障礙選擇權及其他路徑依賴合約格外謹慎，其價值取決於模型設定的路徑規律。
- 曲面變化時重新校準，並區分市場損益、持有收益、避險誤差和重校準影響。
- 限制稀疏翼部和長期期限的外推，因為數值求導會放大細小輸入誤差。
- 另行計入流動性、交易成本、離散避險、提前履約以及交易對手或結算條款。
## 常見誤解
- 「局部波動率等於每個點的隱含波動率。」兩者定義不同，是不同的量。
- 「精確校準證明模型真實。」很多模型都能擬合今天的普通選擇權，卻給出不同路徑與避險。
- 「Dupire 公式可以直接用於原始報價。」它需要平滑導數和符合無套利條件的輸入。
- 「完備的擴散模型消除了所有風險。」跳躍、離散避險、流動性和模型誤差仍然存在。
- 「曲面細節越多，準確度一定越高。」求導會放大雜訊和不活躍報價的影響。
- 「模型可以預測波動率。」校準提取的是風險中性定價函數，不是現實世界預測。
- 「擬合全部普通選擇權的模型會給所有奇異選擇權相同價格。」其路徑規律與未來微笑動態可能不同。
- 「負局部變異數是有效的市場訊號。」它通常暴露資料、擬合、求導或假設的不一致。
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## 一手與權威資料
- [Dupire：《Pricing with a Smile》](https://www.risk.net/derivatives/1500210/pricing-smile)
- [Derman 與 Kani：《Riding on a Smile》](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1994/01/gs-volatility_smile.pdf)
- [Derman、Kani 與 Zou：《The Local Volatility Surface》](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1996/06/gs-local_volatility_surface.pdf)
- [Hagan 等：《Managing Smile Risk》](https://wilmott.com/managing-smile-risk/)
- [OCC：《標準化選擇權的特徵與風險》](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/local-volatility-model/index.mdx