# 期權無套利邊界：Call、Put 與平價檢查

使用上下界和 Put-Call Parity 檢查歐式期權報價，納入股息與履約方式，並區分理論越界和真正可執行套利。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/no-arbitrage-option-bounds/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

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## 直接答案

**期權無套利邊界**是由未來現金流複製或占優關係推出的價格不等式。它首先是資料和模型檢查：報價越過適用邊界，可能說明輸入、條款、時間戳或價格不一致，並不自動代表存在可執行的無風險交易。

對無股息股票的歐式 Call (c) 和 Put (p)，設現價 (S_0)、履約價 (K)、非負連續複利利率 (r)、期限 (T)：

[
max(0,S_0-Ke^(-rT))le cle S_0
]

[
max(0,Ke^(-rT)-S_0)le ple Ke^(-rT)
]

Put-Call Parity 為：

[
c-p=S_0-Ke^(-rT).
]

必須使用同一履約價、到期日、標的、履約方式、結算方式和同步可成交價格。

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## 邊界為什麼成立

持有人可以不履約，因此期權價值不能為負。在既定假設下，Call 不能比今天取得標的更貴；歐式 Put 不能超過到期收到 (K) 的現值。

Call 下界來自比較「Call 加一筆到期增長為 (K) 的零息投資」與股票。到期時前者為 (max(S_T,K))，永遠不低於 (S_T)。若占優組合反而比股票便宜，就違反一價定律。Put 下界可用類似現金流比較推出。

若連續股息率為 (q)，歐式平價中的現價應換成預付遠期價值：

[
c-p=S_0e^(-qT)-Ke^(-rT).
]

Call 下界變為 (max(0,S_0e^(-qT)-Ke^(-rT)))，在該連續股息模型下對應上界為 (S_0e^(-qT))。已知離散股息應謹慎使用相關股息現值；不確定股息是模型輸入，不是鎖定現金流。

美式履約會改變關係。在非負利率的簡單條件下，(Cgemax(0,S_0-K))、(Pgemax(0,K-S_0))、(Cle S_0)、(Ple K)，但歐式等式通常變成不等式區間，因為任一方可能提前履約。

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## 一次理論越界及其現金流

假設無股息股票為 $100，一年期歐式 Call 履約價 $90，而 $90 的現值是 $86。Call 下界為：

[
cge S_0-PV(K)=$100-$86=$14.
]

若 Call 可成交 Ask 為 $5、股票可按 $100 放空、零息投資成本 $86，教材組合會：

- 放空一股，收到 $100；
- 買入一份 Call，支付 $5；
- 投資 $86，到期收到 $90。

初始淨現金 +$9。到期 Call 加 $90 等於 (max(S_T,90))，歸還空頭股票後剩餘 (max(90-S_T,0))，不會為負，這就是下界邏輯。

標準乘數 100 時，表面初始金額是 $900，尚未計股息、借券費、Bid/Ask、費用、保證金和執行風險。如果 $5 是陳舊 Last 而不是可成交 Ask，或股票無法借到，交易並不存在。

還可用平價複核。若匹配 Put 為 $1，則 (c-p=4)，而 (S_0-PV(K)=14)；$10 差異應先觸發對四條可成交腿與條款的全面檢查。

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## 報價核驗清單

- 核對標的、根代碼、履約價、到期日、Call/Put、履約方式、結算、乘數和交割物。
- 對每項交易使用正確方向的同步 Bid/Ask，不用 Last、Mark 或 Mid。
- 讓股票或遠期與期權報價時間一致。
- 使用相關融資和借貸利率；單一無風險利率可能不代表真實成本。
- 納入預期或已知股息、除息日、特別分配和借券期間股息處理。
- 依賴放空腿前核實可借數量、借券費、召回與放空限制。
- 區分歐式與美式；不能把 Put-Call 等式原樣套到美式股票期權。
- 納入提前履約與指派，尤其是股息附近和深度價內期權。
- 使用正確現值和日計數，核對利率與時間的百分比、小數和複利方式。
- 公司行動後按實際交割物計算。
- 納入費用、交易所收費、適用稅務、保證金、資本和機會成本。
- 確認所有腿有足夠可成交數量；一個小報價不能擴展到目標規模。
- 可用時採用同步複雜訂單；逐腿成交會把理論鎖定變成方向曝險。
- 將負利率、難借股票、不確定股息和結算錯配視為假設變化。
- 優先把邊界作為期權鏈、理論值和程式碼的品質控制，先調查再稱為套利。

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## 常見誤解

- 「螢幕越界就是免費利潤。」常見原因是陳舊或不可成交報價。
- 「內含價值就是歐式下界。」到期前折現與股息重要，美式內含邊界也不同。
- 「任何 Call 和 Put 都滿足平價。」履約價、到期、標的、方式和結算必須匹配。
- 「Mid 證明套利。」每條交易都要在正確方向和數量上可成交。
- 「無風險利率就是交易者融資利率。」真實借貸與保證金經濟可能不同。
- 「股息可以忽略。」它改變遠期價值、平價、提前履約動力和放空現金流。
- 「美式與歐式共享同一等式。」提前履約會引入額外價值和不等式區間。
- 「低於模型價值就違反無套利。」模型價值依賴波動率，邊界只是較弱的現金流限制。
- 「初始收到現金就足夠。」未來義務、借券、指派、結算和執行也必須鎖定。
- 「邊界預測期權應成交在哪裡。」它排除假設下的不可能區域，不估計公允波動率價值。

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## 相關主題

- [內含價值與時間價值](/zh-tw/options/intrinsic-and-time-value/)
- [美式與歐式期權](/zh-tw/options/american-and-european/)
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## 一手資料

- [Black and Scholes (1973)](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Merton (1973)](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [OCC：標準化期權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [Cboe：期權計算器](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/)