# 期權複製組合：狀態支付與無套利價格

用股票和借貸建立一期期權複製，核對每個到期狀態，並理解現實動態避險為何偏離模型。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/option-replication-portfolio/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

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## 直接答案

複製組合使用可交易工具，在模型表示的每個未來狀態產生與期權相同的支付。一期二叉樹模型中，股票加無風險借貸可以精確複製歐式期權。若期權與組合在每個狀態支付相同，無套利邏輯要求目前價值相同。

這是有條件的定價結論。精確複製依賴模型狀態、交易機會、融資、分配、合約條款與無摩擦執行假設。現實有跳空、價差、離散避險、借券限制和提前履約，因此避險通常只是近似。

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## 解狀態支付，而不是背公式

今日股價 `S0`，下一期為 `Su` 或 `Sd`，期權支付 `Cu` 或 `Cd`。一期無風險總成長因子為 `R`。持有 `Δ` 股與目前現金部位 `B0` 的組合到期為：

`Δ × Su + B0 × R = Cu`

`Δ × Sd + B0 × R = Cd`

因此：

`Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)`

`B0 = (Cu - Δ × Su) / R`

`期權目前價值 = Δ × S0 + B0`

負 `B0` 代表借款。必須核對兩個到期狀態；只匹配期望支付不叫複製。

風險中性機率交叉檢查為：

`q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)`

`期權價值 = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R`

`q` 是模型內無套利定價權重，不一定是現實上漲機率預測。

多期樹在每個節點重算組合。**自融資**避險只用策略內已有價值改變股票和現金，不加入無法解釋的外部存取款。連續時間模型將再平衡理想化；真實避險是離散的。

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## 一期 Call 複製

假設 `S0 = $100`，下一期 `Su = $120` 或 `Sd = $80`；歐式 Call 履約價 `$100`，因此 `Cu = $20`、`Cd = $0`；`R = 1.02`。

`Δ = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.5 股`

`B0 = ($20 - 0.5 × $120) / 1.02 = -$39.2157`

`複製成本 = 0.5 × $100 - $39.2157 = $10.7843`

| 狀態 | 股票部分 | 現金償還 | 組合支付 | Call支付 |
|---|---:|---:|---:|---:|
| 上漲 | $60 | -$40 | $20 | $20 |
| 下跌 | $40 | -$40 | $0 | $0 |

`q = (1.02 × $100 - $80) / ($120 - $80) = 0.55`

`[$20 × 0.55 + $0 × 0.45] / 1.02 = $10.7843`

標準乘數100時，模型合約價值 `$1,078.43`，初始股票部分50股，搭配模型借款 `$3,921.57`。這些是買賣價差、實際融資、保證金、費用、股息與整數限制前的理論數量。

若市場 Call Ask 為 `$11.20`，與無摩擦複製的 `$0.4157` 差額不自動構成可交易套利。期權與避險都要按相關價格和數量成交，並計入融資、借券、履約方式、股息與退出成本。

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## 複製限制與風險

- **狀態模型：**實際股價可落在分支之外或之間。
- **跳空：**價格可在再平衡前移動。
- **離散避險：**現實無法連續調整。
- **交易成本：**反覆交易、價差、費用與衝擊會消耗理論價值。
- **融資：**真實借入和貸出利率不同於模型。
- **股息與借券：**分配與可借性改變持有經濟性。
- **提前履約：**美式期權要在中間節點做決定。
- **曲面風險：**現實不同行使價與期限不服從單一固定IV。
- **流動性：**期權或避險可能無法按所需時點、數量成交。
- **合約風險：**乘數、交付物、結算與調整要匹配支付。
- **套利混淆：**理論價差不等於無風險可執行交易。

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## 常見誤解

- **「複製只需匹配平均支付。」**必須匹配每個模型狀態。
- **「Delta 到期前一直是0.5。」**多期和真實市場中會變化。
- **「風險中性機率是真實機率。」**它是模型定價權重。
- **「複製消除全部風險。」**模型、跳空、執行、融資與合約風險仍在。
- **「理論差異就是免費套利。」**所有腿、數量、時間、融資與成本都要可執行。
- **「借款只是數學記號。」**它是受資金與保證金限制的現金部位。
- **「歐式和美式複製相同。」**提前履約改變估值。
- **「一期複製證明連續避險精確。」**真實再平衡離散且依賴路徑。

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## 相關主題

- [二叉樹期權定價](/zh-tw/options/binomial-option-pricing/)
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## 權威來源

- [標準化期權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — OCC
- [期權與公司負債的定價](https://doi.org/10.1086/260062) — Black 與 Scholes，*Journal of Political Economy*
- [理性期權定價理論](https://doi.org/10.2307/3003143) — Merton，*The Bell Journal of Economics and Management Science*
- [期權定價的簡化方法](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) — Cox、Ross 與 Rubinstein，*Journal of Financial Economics*