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title: "選擇權複製投資組合：狀態報酬與無套利價值"
description: "以股票和現金建立一期選擇權複製組合，逐一驗證到期狀態，並區分模型中的精確避險與現實中的近似避險。"
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# 選擇權複製投資組合：狀態報酬與無套利價值

> 僅供教育用途，不構成投資建議。投資可能導致損失。

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## 直接回答

複製投資組合將可交易工具組合起來，使其在模型所表示的每一種狀態下，都產生與選擇權相同的報酬。在一期二項樹模型中，股票加上無風險借款或放款，可以精確複製歐式選擇權。如果選擇權與複製組合的狀態依存報酬完全相同，一價定律就要求兩者今天的價值相同；否則，可以買進較便宜的報酬並賣出較昂貴的報酬。

這是以模型條件為前提的結果，並不表示選擇權的市場報價必須等於某一個計算值。精確複製取決於指定的狀態、可用工具、融資、分配、契約條款與無摩擦執行。若存在價格跳躍、買賣價差、離散再平衡、融資限制或提前履約，實際避險通常只能近似複製。

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## 求解狀態報酬，而不是背誦公式

設今天的股價為 `S0`。下一時點股價為 `Su` 或 `Sd`，且 `Su > Sd`。選擇權的報酬分別為 `Cu` 或 `Cd`。設 `R` 為該期間的無風險總成長因子。假設股票在期間內沒有現金分配；若有，必須一致地納入該現金流。持有 `Δ` 股股票與目前現金部位 `B0` 的投資組合，其終值為：

`Δ × Su + B0 × R = Cu`

`Δ × Sd + B0 × R = Cd`

兩式相減可得：

`Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)`

接著：

`B0 = (Cu - Δ × Su) / R`

`option value today = Δ × S0 + B0`

`B0` 為負表示借款。計算必須驗證兩個到期狀態；僅讓期望報酬或平均報酬相同，並不構成複製。

在替選擇權定價前，先檢查股票與現金構成的市場本身是否滿足：

`Sd < R × S0 < Su`

這個條件等價於下述風險中立權重滿足 `0 < q < 1`。若不滿足，模型中的股票與現金之間已經存在套利。滿足時，可用下式交叉核對複製價格：

`q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)`

`option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R`

這裡的 `q` 是模型內由無套利關係推出的定價權重，未必是股價上漲的真實世界機率預測。

在多期二項樹中，每一個節點都要重新求解投資組合。**自籌資金**避險只使用策略內既有的價值調整股票與現金部位，不包含無法解釋的外部存入或提領。連續時間模型將這種再平衡理想化；現實避險只能在離散的時間與價格上交易。

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## 一期買權複製

假設：

- `S0 = $100`；
- 下一期股價為 `Su = $120` 或 `Sd = $80`；
- 一份歐式買權的履約價為 `$100`，因此 `Cu = $20`、`Cd = $0`；
- 該期間的無風險總成長因子為 `R = 1.02`。

股票部位：

`Δ = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.5 share`

目前現金部位：

`B0 = ($20 - 0.5 × $120) / 1.02 = -$39.2157`

複製成本：

`0.5 × $100 - $39.2157 = $10.7843`

逐一驗證狀態：

| 狀態 | 股票部分 | 現金償還 | 投資組合報酬 | 買權報酬 |
|---|---:|---:|---:|---:|
| 上漲 | $60 | -$40 | $20 | $20 |
| 下跌 | $40 | -$40 | $0 | $0 |

風險中立交叉核對：

`q = (1.02 × $100 - $80) / ($120 - $80) = 0.55`

`[$20 × 0.55 + $0 × 0.45] / 1.02 = $10.7843`

為便於理解規模，若該權利使用 100 股乘數，模型價值為每份契約 `$1,078.43`，初始股票部分為 50 股，並搭配模型中的 `$3,921.57` 借款。標準美國股票選擇權通常代表 100 股，但公司行動可能調整交割標的。在納入價差、融資差異、保證金、費用、股息與整股限制前，這些仍只是理論數量。

如果市場上該買權的賣價為 `$11.20`，它與無摩擦複製組合之間的 `$0.4157` 差額並不會自動形成可執行套利。選擇權及每一個避險部位都必須能依相關買價或賣價及數量成交；還必須納入融資、借券、履約方式、分配、保證金與平倉成本。

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## 複製的限制與風險

- **狀態模型風險：**股價最終可能落在假設分支之外或兩者之間。
- **跳躍風險：**價格可能在避險再平衡前發生跳躍。
- **離散避險風險：**現實中無法連續調整。
- **交易成本：**反覆交易、價差、費用與市場衝擊會消耗理論價值。
- **融資風險：**實際借款與放款利率不同於模型利率。
- **分配與借券風險：**股息、其他分配及股票可借性會改變持有成本。
- **提前履約風險：**美式選擇權需要在中間節點作出履約決策。
- **波動率曲面風險：**現實中不同履約價與到期日的選擇權並不服從單一固定波動率輸入。
- **流動性風險：**選擇權或避險工具可能無法在所需時間按所需數量成交。
- **契約風險：**履約方式、乘數、交割標的、結算與調整必須符合模型報酬。
- **模型套利混淆：**理論價差並不會自動等於無風險且可執行的交易。

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## 常見誤解

- **「複製只需符合平均報酬。」**它必須符合模型中的每一種狀態。
- **「Delta 會一直維持 0.5 直到到期。」**在多期模型或真實市場中，Delta 會改變，需要再平衡。
- **「風險中立機率就是真實機率。」**它是模型假設下的定價權重。
- **「複製投資組合消除了所有風險。」**模型、跳躍、執行、融資與契約風險仍然存在。
- **「有理論價差就是免費套利。」**每一個部位、數量、時點、融資條款與成本都必須可執行。
- **「借款只是一種符號。」**它是受融資與保證金限制的真實經濟現金部位。
- **「歐式和美式選擇權的複製完全相同。」**提前履約會增加中間節點的決策並改變估值問題。
- **「一期複製證明連續避險可以精確實現。」**現實中的再平衡是離散且取決於路徑的。

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## 相關主題

- [二項樹選擇權定價](/zh-tw/options/binomial-option-pricing/)
- [Delta 避險](/zh-tw/options/delta-hedging/)
- [選擇權無套利界限](/zh-tw/options/no-arbitrage-option-bounds/)
- [自籌資金避險](/zh-tw/options/self-financing-hedge/)

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## 權威來源

- [標準化選擇權的特性與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — OCC
- [股票選擇權產品規格](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/clearing/equity-options-product-specifications) — OCC
- [選擇權與公司負債的定價](https://doi.org/10.1086/260062) — Black 與 Scholes，*Journal of Political Economy*
- [理性選擇權定價理論](https://doi.org/10.2307/3003143) — Merton，*The Bell Journal of Economics and Management Science*
- [選擇權定價：一種簡化方法](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) — Cox、Ross 與 Rubinstein，*Journal of Financial Economics*

Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/option-replication-portfolio/index.mdx