# 實現變異數：公式、年化與衡量口徑
了解實現變異數如何加總已觀察報酬的平方、不同口徑為何重要，以及如何計算與解讀年化變異數而不與波動率混淆。
標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/realized-variance/
事實查核日期: 2026-07-22
> 僅供教育參考，不構成投資建議
## 直接答案
**實現變異數**衡量指定觀察期間內實際發生的價格變動。常見估計量先加總對數報酬的平方，再將結果年化。實現波動率是實現變異數的平方根。
不存在脫離口徑的實現變異數數字。結果取決於標的、價格來源、首尾觀察值、報酬定義、取樣間隔、平均數處理、年化因子、缺漏資料與公司行動。契約結算應以正式規格為準；研究估計可能採用不同口徑。
## 公式與口徑
對價格 `P₀, P₁, …, Pₙ`，每期對數報酬為：
`rᵢ = ln(Pᵢ / Pᵢ₋₁)`
一種假設日平均報酬為零的口徑是：
`RV = (A / n) × Σᵢ₌₁ⁿ rᵢ²`
其中 `A` 是每年觀察次數；美國市場日資料常用 `252`。年化實現波動率為 `√RV`。依此口徑，變異數 `0.04` 對應波動率 `0.20`，即 `20%`。
其他估計量可能扣除樣本平均數、除以 `n − 1`、使用簡單報酬或日內價格，不能混用。更高頻取樣可捕捉更多日內變動，但買賣價反彈、最小報價單位、非同步報價與錯誤資料會產生市場微結構雜訊。實現核等估計方法旨在處理部分問題。
Cboe 標普 500 變異數期貨提供一套具體契約口徑：使用標普 500 指數日對數報酬、假設日平均報酬為零、按 `252` 日年化，並使用指定收盤值與最終特殊開盤報價。不能將它無條件套用至其他產品或研究序列。
## 五個報酬的計算範例
假設連續五個日對數報酬為 `+1.00%`、`−0.50%`、`+0.75%`、`−1.25%` 與 `+0.25%`。寫成小數後的平方和為：
`0.0100² + (−0.0050)² + 0.0075² + (−0.0125)² + 0.0025² = 0.00034375`
採用零平均數口徑與 `252` 個交易日：
`RV = (252 / 5) × 0.00034375 = 0.017325`
`實現波動率 = √0.017325 = 0.1316 = 13.16%`
變異數是 `0.017325`，不是 `13.16%`。若以波動率點平方報價，同一結果約為 `173.25`，因為 `(13.16)² ≈ 173.19`；細微差異來自四捨五入。五日樣本很短且不穩定，本例只說明算術，並非可靠風險估計。
報酬被平方，因此一次大幅變動會產生不成比例的影響。若將 `−1.25%` 換成 `−5.00%`，其他四個報酬不變，年化變異數升至 `0.13545`，實現波動率約為 `36.80%`。
## 衡量與使用清單
- 計算前固定起訖日、時區、日曆與觀察時點。
- 一致使用調整或未調整價格，並明確處理分割、分派、過時值與缺漏值。
- 說明採用對數或簡單報酬，以及平均數是假設為零或由樣本估計。
- 讓除數與年化因子符合選定口徑。
- 未調和隔夜報酬與雜訊前，不要直接比較五分鐘與收盤到收盤估計量。
- 計算保留完整精度，只對報告結果四捨五入。
- 區分截至目前的實現變異數與未來預期變異數；變異數連結工具到期前可能同時包含兩者。
- 閱讀契約對觀察中斷、資料修正、最終結算、乘數與報價單位的規定。
- 將歷史實現變異數視為衡量結果，而非預測或未來區間保證。
- 對跳空與資料錯誤做壓力測試，兩者都可能主導平方報酬總和。
## 常見迷思
- 「實現變異數和實現波動率是同一數字。」波動率是變異數的平方根。
- 「變異數 400 就是波動率 400%。」在波動率點平方口徑中，`400` 對應 `20` 個波動率點。
- 「觀察值愈多，估計必然愈好。」取樣過密可能放大微結構雜訊。
- 「日報酬變異數等量包含日內與隔夜風險。」收盤到收盤報酬合併兩者，卻無法辨識各自貢獻。
- 「是否扣除樣本平均數完全不重要。」短期金融報酬中影響可能很小，但仍是明確方法選擇。
- 「實現變異數就是到期後的隱含波動率。」前者由已觀察報酬計算，後者透過模型由選擇權價格反推。
- 「年化增加了資訊。」年化只是縮放，可能讓短而嘈雜的樣本看似可比。
- 「每份變異數契約都用教科書公式。」觀察安排、價格來源、中斷規則、單位與結算條款可能不同。
## 相關主題
- [歷史波動率](/zh-tw/options/historical-volatility/)
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## 來源
- [Cboe 標普 500 變異數期貨契約規格](https://cdn.cboe.com/resources/participant_resources/SP_500_Variance_Futures.pdf)
- [Cboe 變異數計算器使用指南](https://www.cboe.com/document/tech-spec/document/technical-specifications/sp-500-variance-futures-variance-calculator-user-guide/)
- [Andersen、Bollerslev、Diebold 與 Labys：實現波動率的建模與預測](https://doi.org/10.1111/1468-0262.00418)
- [Barndorff-Nielsen 等：衡量股票價格事後變動的實現核設計](https://doi.org/10.1111/j.1368-423X.2008.00275.x)