# Speed 希臘值：標的變動時 Gamma 如何變化

把 Speed 定義為 Gamma 對現貨價格的導數，用有限差分和 Black–Scholes 計算，並理解它在非線性避險中的單位、用途與限制。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/speed-greek/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

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## 直接答案

**Speed** 衡量在模型其他輸入不變時，選擇權 Gamma 隨標的價格變化的速度：

`Speed = ∂Γ/∂S = ∂³V/∂S³`

Delta 是選擇權價值對現貨價格的一階導數，Gamma 是二階，Speed 是三階。若 Gamma 的單位是標的每變動 `$1²` 對選擇權價值的影響，Speed 的單位就是每 `$1³` 的選擇權價值。標準股票選擇權需把每股敏感度乘以合約乘數，才是單張合約的近似影響。

當預想的現貨變動足以顯著改變投資組合 Delta 和 Gamma 時，Speed 可描述非線性。它不預測行情，也不是可直接觀察的市場價格，而是取決於現價、履約價、期限、波動率、利率、股息、行使特徵及波動率曲面動態的局部模型敏感度。

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## 從 Gamma 斜率到避險曲率

對較小的現貨變動 `ΔS`，Delta 的局部展開為：

`Δ_新 ≈ Δ_舊 + ΓΔS + ½ Speed(ΔS)²`

Gamma 項假設 Delta 局部線性變化；Speed 是 Gamma 沿價格路徑變化的第一項修正。等價地：

`Γ_新 ≈ Γ_舊 + Speed × ΔS`

大幅跳空、障礙結構、離散股息、行使邊界或隱含波動率曲面變化時，不應延伸使用這些近似；顯著變動應直接重新定價。

在含連續股息率的 Black–Scholes 模型下，歐式 Call 和 Put 有：

`Γ = e^(−qT) φ(d₁) / (Sσ√T)`

`Speed = −(Γ/S) × [1 + d₁/(σ√T)]`

其中 `d₁ = [ln(S/K) + (r − q + ½σ²)T] / (σ√T)`。在這些假設下，相同履約價和到期日的 Call 與 Put 具有相同 Gamma 和 Speed，因為買賣權平價只增加現貨的一次項和現金項。

**Speed 不是 Color。** Speed 是 `∂Γ/∂S`；Color 衡量 Gamma 對時間的敏感度。它也不是衡量 Gamma 對波動率敏感度的 Zomma。

### 從定價系統估算

沒有可信閉式公式時，可用中心有限差分：

`Speed_h ≈ [Γ(S+h) − Γ(S−h)] / (2h)`

兩個 Gamma 必須使用相同的波動率、時鐘、曲線、股息和數值設定，再用更小和更大的 `h` 重算。若結果劇烈變動，數值雜訊、損益不連續、曲面插值或不光滑的行使邏輯可能主導估值。高階希臘值通常比價格、Delta 或 Gamma 更不穩定。

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## 例子：閉式結果與有限差分

假設一張歐式選擇權滿足：

- `S = 100`，`K = 100`
- `T = 0.25` 年，`σ = 20%`
- `r = 0`，`q = 0`

Black–Scholes 結果約為：

| 現貨價格 | Gamma |
| ---: | ---: |
| `$99` | `0.040246` |
| `$100` | `0.039844` |
| `$101` | `0.039060` |

令 `h = $1`：

`Speed_h ≈ (0.039060 − 0.040246) / ($2) = −0.000593 每 $³`

在 `S = 100` 時，`d₁ = 0.05`；閉式值為：

`Speed = −(0.039844/100) × [1 + 0.05/0.10] = −0.000598 每 $³`

差異來自有限差分和捨入。若其他輸入凍結且現貨上漲 `+$5`，Delta 的二階變化為：

`ΓΔS + ½ Speed(ΔS)² ≈ 0.039844×5 + 0.5×(−0.000598)×25 = 0.19175`

只用 Gamma 得到 `0.19922`；加入 Speed 後，局部估計減少約 `0.00747` Delta。合約乘數為 `100` 時相當於 `0.747` 股。實際避險應以直接重估為準，尤其真實隱含波動率可能隨現貨變動。

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## 避免虛假精度的使用方法

- 寫明敏感度按每股、每點、每 `1%` 或每張合約計量；單位錯誤可能相差數個數量級。
- 記錄偏導數計算中凍結的輸入，再單獨執行曲面變動情境。
- 按標的、到期日和情境彙總帶正負號的 Speed；淨額可能掩蓋相反方向的集中風險。
- 盡可能比較不同有限差分步長、閉式解和自動微分結果。
- 顯著變動後直接重估，不依賴三階泰勒近似。
- 經常檢查臨近到期和近平值部位；敏感度形狀可能變得狹窄而巨大。
- 納入買賣價差、跳空、暫停交易、離散避險、交易成本、指派和券商限制。
- 不要為單獨避險 Speed 而製造更大的 Delta、Gamma、Vega 或流動性風險。
- 美式行使、調整後交割物、障礙和不連續損益應使用特定模型。
- 記錄波動率座標與 sticky 規則；固定履約價 IV 和移動整個曲面會產生不同的類 Speed 損益。
- 用可成交壓力損失和現金需求決定部位，不依賴很小的局部希臘值。

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## 常見誤區

- **「Speed 絕對值大代表選擇權很貴。」** Speed 描述局部曲率，不代表價格或價值。
- **「Gamma 為正，Speed 就為正。」** Gamma 可為正而其現貨斜率為負；符號會隨位置改變。
- **「Speed 衡量時間流逝速度。」** 這是把它與 Theta 或 Color 混淆。
- **「Speed 中性後，Gamma 一直中性。」** 中性只在局部成立；其他輸入、曲面動態和大幅變動都會改變 Gamma。
- **「平台顯示的希臘值就是市場資料。」** 它是模型和慣例的輸出。
- **「加入 Speed 後泰勒估算就是精確值。」** 四階以上項目及波動率、時間變化仍存在。

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## 相關主題

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## 權威來源

- [Haug：Know Your Weapon, Part 1](https://www.espenhaug.com/KnowYourWeapon.pdf)
- [Pagès、Pironneau 與 Sall：高階金融選擇權敏感度的 Vibrato 與自動微分方法](https://arxiv.org/abs/1606.06143)
- [Black 與 Scholes：The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [OCC：標準化選擇權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)