# SVI 波動率模型：在無靜態套利約束下擬合總變異數

理解 Raw SVI 五個參數，在對數遠期價性中計算微笑，校準可成交報價，並檢查正值、蝶式、日曆和翼部約束。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/svi-volatility-model/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議

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## 直接答案

**SVI** 全稱 Stochastic Volatility Inspired，是描述某一期限不同履約價的隱含**總變異數**的參數形式。Raw SVI 寫作：

`w(k) = a + b{ρ(k−m) + √[(k−m)² + σ²]}`

其中 `w(k) = σ_imp²(k,T)T`，`k = ln(K/F_T)` 是對數遠期價性。Raw SVI 用五個參數把離散選擇權報價轉為平滑微笑，用於插值、盯市、希臘值和相對價值診斷。

雖然名稱含「隨機波動率」，擬合後的一條 SVI 曲線本身不是隨機過程，也不預測未來波動率。它描述靜態風險中性價格曲面；不同期限如何連接、曲面如何隨時間移動仍須另行規定。

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## 五個參數控制什麼

- `a`：總變異數垂直水平，但不一定等於平值變異數。
- `b ≥ 0`：左右翼斜率的總體尺度。
- `−1 < ρ < 1`：不對稱性；負 `ρ` 使左側漸近斜率高於右側。
- `m`：微笑中心在對數價性的水平位置。
- `σ > 0`：中心平滑程度和寬度；此參數不是隱含波動率。

左右漸近總變異數斜率分別為 `b(1−ρ)` 與 `b(1+ρ)`。最低總變異數為：

`w_min = a + bσ√(1−ρ²)`

所以非負需要 `a + bσ√(1−ρ²) ≥ 0`。這些基本限制**不能**保證沒有蝶式套利。

對二次可微的總變異數微笑，常用密度條件是：

`g(k) = [1 − kw'(k)/(2w(k))]² − [w'(k)²/4][1/w(k)+1/4] + w''(k)/2 ≥ 0`

並須有合適的翼部行為。連續履約價構造中，負 `g(k)` 對應負風險中性密度。可靠實作應施加解析無套利區間，或在夠寬、夠密網格和翼部檢查；視覺平滑與低均方誤差並不足夠。

### 一條曲線不是完整曲面

分別校準各到期日，合併後仍可能跨期限相交。在一致遠期和折現慣例下，標準無日曆套利構造要求固定對數遠期價性處的總變異數不應隨期限下降。SSVI 等形式用顯式限制連接期限。事件到期日可能形成真實總變異數台階；無套利控制應保留有效事件資訊，而非為視覺平滑刪除。

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## 例子：讀取一條 Raw SVI 曲線

設 `T = 0.25` 年且：

`a = 0.01, b = 0.10, ρ = −0.5, m = 0, σ = 0.20`

正值最低點為：

`w_min = 0.01 + 0.10×0.20×√(1−0.5²) = 0.02732 > 0`

計算三個對數價性節點：

| `k` | 總變異數 `w(k)` | `IV = √[w(k)/T]` |
| ---: | ---: | ---: |
| `−0.20` | `0.04828` | `43.95%` |
| `0` | `0.03000` | `34.64%` |
| `+0.20` | `0.02828` | `33.64%` |

在 `k = 0`：

`w(0) = 0.01 + 0.10×0.20 = 0.03000`

在 `k = −0.20`：

`w(−0.20) = 0.01 + 0.10[0.10 + √(0.20²+0.20²)] = 0.04828`

負 `ρ` 產生更陡左翼。左右漸近斜率分別是 `0.10(1−(−0.5)) = 0.15` 與 `0.10(1+(−0.5)) = 0.05`。

此計算不能證明市場擬合良好或無靜態套利。整條曲線仍需 `g(k)`/密度和翼部檢查，相鄰期限需要日曆檢查。這些是由總變異數導出的年化 IV；跨期限比較應使用 `w`，不能機械比較原始 IV。

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## 校準與生產清單

- 固定一個到期日，從可靠輸入或買賣權平價取得同步遠期和折現因子。
- 用統一時鐘把履約價轉成 `k = ln(K/F_T)`，把有效 IV 轉成 `w = IV²T`。
- 優先使用可成交價外報價；記錄零 Bid、交叉市場、陳舊價、公司行動和深翼處理。
- 依 Vega、Bid-Ask 和流動性加權價格、IV 或總變異數誤差，並揭露目標函數。
- 使用參數邊界和多個初值；Raw SVI 參數會互相補償。
- 將模型價格與 Bid/Ask 比較，不只看平均統計誤差。
- 施加非負總變異數、蝶式/密度約束和有效漸近翼部。
- 在一致座標檢查所有期限的日曆單調性，保留可解釋事件台階。
- 檢查期限插值和報價翼部外推；主要風險可能在擬合區外。
- 在密集履約價/期限網格重算價格和希臘值，比較不同網格的數值導數。
- 把缺失節點估計標為模型值，不能當成市場觀察。
- 持續監測參數跳躍和殘差；穩定價格曲面可能有不穩定 Raw 參數。
- 核對可成交組合價格、費用、股息和限制前，不能把偏離 SVI 當套利。
- 版本化資料、遠期曲線、求解器、約束、權重和降級規則，使盯市可重現。

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## 常見誤區

- **「SVI 是隨機波動率預測模型。」** 校準曲線是靜態隱含總變異數參數化。
- **「`σ` 是選擇權隱含波動率。」** 它是 Raw SVI 中心寬度參數；IV 為 `√(w/T)`。
- **「`a` 是平值變異數。」** 其他參數和 `m` 共同決定平值附近數值與最低點。
- **「五個參數符合邊界就無套利。」** 還需蝶式、翼部和跨期限日曆條件。
- **「均方誤差越低，曲面越好。」** 可能擬合雜訊或違反重要經濟限制。
- **「每個期限可完全獨立擬合。」** 良好單條曲線合併後仍可能相交並產生日曆套利。
- **「SVI 殘差就是交易訊號。」** 壞資料、流動性、特殊股息和執行成本都可造成偏離。

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## 相關主題

- [隱含波動率](/zh-tw/options/implied-volatility/)
- [局部波動率模型](/zh-tw/options/local-volatility-model/)
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## 學術來源

- [Gatheral 與 Jacquier：Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986)
- [Martini 與 Mingone：No Arbitrage SVI](https://arxiv.org/abs/2005.03340)
- [Guo 等：Generalized Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1137/120900320)
- [Gatheral 與 Jacquier：Convergence of Heston to SVI](https://arxiv.org/abs/1002.3633)