# 三項樹選擇權定價：三狀態格點與提前履約

建立上漲、持平、下跌的重組格點，校準風險中立機率，反向貼現，並檢查美式提前履約與數值收斂。

標準網址: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/options/trinomial-tree-option-pricing/
事實查核日期: 2026-07-22

> 僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

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## 直接答案

三項樹把時間和價格離散成格點，標的每一步可**上漲、維持中間水準或下跌**。校準風險中立轉移機率後，先計算到期支付，再於各節點把機率加權價值折現，逐步反推至今天。

相較二項樹，多出的中間分支提供更多自由度來匹配動差、讓節點對齊履約價或障礙，並改善數值表現。但三分支不自動代表更精確；參數化、步數、股息、履約規則、邊界與市場輸入共同決定結果。

樹模型特別適合美式選擇權，因每個節點都可比較續抱與立即履約。三種分支是數值狀態，不是預測股票實際只會出現三個價格。

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## 格點與反向歸納

對步長 `Δt`，定義股票乘數 `u > m > d` 與機率 `pᵤ`、`pₘ`、`p_d`。重組樹使先漲後跌等路徑回到已有節點，以控制節點數量。

風險中立機率至少滿足：

`pᵤ + pₘ + p_d = 1`

且連續股息率為 `q` 時：

`pᵤu + pₘm + p_dd = e^((r−q)Δt)`。

具體三項樹方案還會加入變異數或動差匹配條件，以決定三個機率與乘數。所有機率必須介於零與一；負「機率」表示網格或參數無效，不是交易預測。

到期時 Call 設 `V = max(S−K,0)`，Put 設 `max(K−S,0)`。每個更早節點的歐式續抱價值為：

`V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)`。

美式選擇權則用：

`V = max(V_continue, 內含價值)`。

重複至根節點。離散現金股息要求股票樹或節點轉移反映除息下跌。Greeks 可由相鄰節點差分估算，但網格對齊與有限差分會帶來數值雜訊。

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## 一步數字範例

設 `S₀ = $100`、Put 履約價 `K = $105`、一步無風險成長因子 `R = 1.02`。取 `u = 1.10`、`m = 1.00`、`d = 0.90`，機率：

`pᵤ = 0.35`、`pₘ = 0.50`、`p_d = 0.15`。

其總和為一，預期股票成長為：

`0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R`。

| 到期股價 | Put 支付 `max(105−S,0)` | 機率加權支付 |
| ---: | ---: | ---: |
| `$110` | `$0` | `$0` |
| `$100` | `$5` | `$2.50` |
| `$90` | `$15` | `$2.25` |

歐式 Put 價值為：

`V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569`。

美式 Put 在根節點立即履約價值是 `$105 − $100 = $5`。因 `$5 > $4.6569`，這棵一步樹選擇履約，美式 Put 價值為 `$5`。

交叉檢查：對應歐式 Call 只在上漲狀態支付 `$5`，故 `C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157`。所以 `C − P = −$2.9412`，等於 `S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412`。

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## 模型檢查與風險

- 寫明具體參數化；「三項樹」本身不定義 `u`、`d` 或機率。
- 拒絕負機率，驗證風險中立成長與變異數條件。
- 增加步數並記錄收斂，別相信單一網格。
- 相同假設下與 Black-Scholes 比較歐式結果，檢查內含價值與無套利界限。
- 檢查美式價值不低於歐式價值，並觀察履約邊界。
- 正確建模離散股息、利率、借券、履約方式、結算與契約調整。
- 盡量讓重要履約價、障礙與股息日期對齊網格。
- 壓測波動率、步數、時間離散與邊界選擇。
- 區分模型價值與可成交 Bid/Ask、費用、滑價與市場深度。
- 以獨立實作或基準案例檢查索引和折現錯誤。

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## 常見誤解

- 「三分支是在預測漲、平、跌。」它們是為定價校準的數值狀態。
- 「機率是歷史發生率。」它們是模型決定的風險中立權重。
- 「分支愈多愈準。」校準錯誤的三項樹仍然錯誤。
- 「一步樹顯示提前履約，就代表現實應立即履約。」結果依賴粗略範例與省略輸入。
- 「模型價就是可成交公允報價。」成交取決於供需、價差、庫存與成本。
- 「收斂證明模型真實。」只證明給定假設內數值穩定，不證明假設符合市場。

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## 相關主題

- [二項樹選擇權定價](/zh-tw/options/binomial-option-pricing/)
- [Black-Scholes 模型](/zh-tw/options/black-scholes-model/)
- [提前履約](/zh-tw/options/early-exercise/)
- [風險中立定價](/zh-tw/options/risk-neutral-pricing/)

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## 權威來源

- [Crack：三項樹選擇權定價入門](https://doi.org/10.2139/ssrn.4955216)
- [Dai 與 Lyuu：三項樹方法的收斂性](https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.132)
- [Options Industry Council：Black-Scholes 公式](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/black-scholes-formula)
- [Options Industry Council：選擇權履約](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/exercising-options)
- [OCC：標準化選擇權的特徵與風險](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)