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title: "費雪方程式：精確實質報酬、預期與損益兩平通膨"
description: "將名目報酬換算為實質購買力報酬，區分預期與已實現通膨，並正確解讀近似法、稅負、美國公債損益兩平通膨、期間和通膨指數。"
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# 費雪方程式：精確實質報酬、預期與損益兩平通膨

> 僅供教育用途，不構成投資建議。投資可能導致損失。

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## 直接回答

**費雪方程式**透過總報酬因子連結名目利率、實質利率與通膨：

`1 + nominal rate = (1 + real rate) * (1 + inflation rate)`

求解實質利率可得：

`real rate = (1 + nominal rate) / (1 + inflation rate) - 1`

在事前分析中，通膨是預期通膨，實質利率是預期或要求的實質利率。在事後購買力計算中，應使用同一期間的已實現名目總報酬和已實現通膨。常用的近似式為：

`real rate approximately equals nominal rate - inflation rate`

此近似式省略交叉項；利率或通膨越高，精確度越低。

<a id="mechanism"></a>

## 運作方式

名目報酬衡量貨幣單位的變化。實質報酬衡量相對於指定價格指數的購買力變化。展開精確方程式可得：

`nominal rate = real rate + inflation rate + (real rate * inflation rate)`

最後的乘積項說明為何簡單相減只是近似計算。

投資期間開始前，已實現通膨尚不可知。固定名目殖利率在概念上可分解為要求的實質報酬和預期通膨，但觀察到的殖利率還可能包含期間、信用、流動性、稅務、選擇權和通膨風險溢酬。費雪方程式不能證明公司債名目殖利率減去通膨就是無風險實質利率。

投資期間結束後，實際購買力報酬等於財富成長因子與價格水準成長因子之比。名目報酬應包括收入和價格變化；通膨指標必須涵蓋相同日期、幣別和複利區間。月度通膨年化率、CPI年增率和持有期累計通膨不能互相替代。

不同通膨指數回答不同問題。CPI、PCE價格指數、核心指數、生產者物價指數和家庭特定消費籃子的範圍、權重、計算公式、修訂及季節性可能不同。與CPI連結的合約應遵循其法定指數化條款，包括參考落後期和下限，而不是採用泛化的當前通膨率。

對到期期間相配合的名目美國公債和TIPS殖利率進行簡化比較時，分析師通常計算：

`simple breakeven inflation = nominal Treasury yield - TIPS real yield`

損益兩平通膨是與相關證券相對價格一致的市場價格，不是純粹的通膨預測。它可能反映通膨風險溢酬、流動性、指數化落後期、供需、稅務及現金流量結構差異。殖利率相減也是一種近似，而不是已實現的持有期報酬。

依適用法律，稅負通常針對名目收入課徵。因此，投資人的稅後實質報酬需要先計算稅後名目現金流量，不能簡單地用稅前實質利率乘以一減稅率。

<a id="example"></a>

## 範例

假設一年期名目報酬為 `5.5000%`，預期通膨為 `3.0000%`。精確的預期實質報酬為：

`expected real return = 1.0550 / 1.0300 - 1 = 2.4272%`

減法近似得到：

`5.5000% - 3.0000% = 2.5000%`

兩者相差 `0.0728 percentage points`。如果已實現通膨改為 `6.0000%`，事後實質報酬為：

`realized real return = 1.0550 / 1.0600 - 1 = -0.4717%`

名目餘額上升，但其購買力下降。

在兩年期範例中，名目報酬分別為 `8.0000%` 和 `4.0000%`，通膨分別為 `3.0000%` 和 `5.0000%`。名目財富成長因子為：

`1.0800 * 1.0400 = 1.1232`

價格水準成長因子為：

`1.0300 * 1.0500 = 1.0815`

累計實質報酬為：

`two-year real return = 1.1232 / 1.0815 - 1 = 3.8558%`

其實質年化報酬為：

`annualized real return = (1.038558)^(1 / 2) - 1 = 1.9097%`

不要先對兩年的通膨率取平均，再從累計名目報酬中減去該平均值。

現假設一年期 `5.5000%` 名目利息按 `30.0000%` 稅率課稅。稅後名目報酬為：

`after-tax nominal return = 5.5000% * (1 - 30.0000%) = 3.8500%`

通膨為 `3.0000%` 時：

`after-tax real return = 1.0385 / 1.0300 - 1 = 0.8252%`

在簡化的美國公債比較中，假設到期期間相配合的名目殖利率為 `4.4000%`，TIPS實質殖利率為 `1.8000%`：

`simple breakeven inflation = 4.4000% - 1.8000% = 2.6000%`

總利率因子比率為：

`1.0440 / 1.0180 - 1 = 2.5540%`

這兩個數字都不是對未來CPI的純預測，也都不能保證一筆交易的已實現報酬。

最後，`-1.0000%` 的通縮與 `2.0000%` 的名目報酬相結合，可得：

`real return = 1.0200 / 0.9900 - 1 = 3.0303%`

分母必須保持為正；`-100.0000%` 的通膨率會使公式無定義，也不具有通常的價格指數意義。

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## 風險與核驗清單

- **標明事前或事後：** 區分預期實質利率與已實現購買力報酬。
- **配合確切日期：** 使用涵蓋相同起訖日期的名目報酬和通膨。
- **配合期間：** 不要把一年期殖利率與一個月通膨或十年期預期比較。
- **配合幣別：** 使用與名目現金流量幣別相關的通膨架構。
- **選擇價格指數：** 明確採用CPI、PCE、核心、整體、合約指定或個人消費籃子通膨。
- **使用指數水準：** 盡可能用日期配合的價格指數水準計算累計已實現通膨。
- **納入總報酬：** 按已說明的慣例計入息票、股利、價格變化和再投資。
- **使用幾何複利：** 跨期相乘總報酬因子，不要盲目相加或取平均。
- **區分利率類型：** 分開即期、平價、遠期、票息、到期殖利率和持有期報酬。
- **分離各項溢酬：** 識別信用、期間、流動性、選擇權、稅務和通膨風險補償。
- **正確解讀TIPS：** 審查參考CPI、指數化落後期、本金下限、應計通膨和稅負。
- **把損益兩平通膨視為價格：** 不要把名目殖利率減實質殖利率描述為純共識預測。
- **對名目現金流量課稅：** 先套用相關稅務處理，再折算購買力。
- **檢查費用和成本：** 視情況扣除管理費、交易成本、價差和融資成本。
- **說明近似計算：** 當利率或通膨較大時，使用精確總利率計算。
- **保留正負號：** 通縮、負名目利率和負實質報酬需要謹慎處理分母。
- **分開預期與已實現資料：** 不要在較早作出的決策中使用後來公布的CPI。
- **考量修訂：** 部分通膨指標和季節調整在發布後可能修訂。
- **壓力測試通膨意外：** 模擬高於和低於原預期的結果。
- **避免股價斷言：** 將此方程式作為利率和購買力架構，而不是獨立的股票預測工具。

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## 常見誤解

- **「實質報酬總是等於名目報酬減通膨。」** 相減只是近似；精確計算應對總報酬因子相除。
- **「預期通膨與已實現通膨可以互換。」** 前者支援事前要求報酬分析；後者決定事後購買力。
- **「公司債殖利率減CPI就是無風險實質利率。」** 公司債殖利率包含信用、流動性、選擇權和其他溢酬。
- **「美國公債損益兩平通膨是市場對通膨的純預測。」** 它可能包含風險溢酬、流動性、指數化、稅務和供需影響。
- **「名目報酬為正就能保持購買力。」** 當相關價格水準漲得比名目財富更快時，實質報酬為負。

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## 相關主題

- [折現率](/zh-tw/stocks/discount-rate/)
- [CPI通膨](/zh-tw/stocks/cpi-inflation/)
- [聯準會會議](/zh-tw/stocks/fed-meeting/)

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## 來源

- Irving Fisher，*The Theory of Interest*，由FRASER託管。
- Federal Reserve，*Selected Interest Rates (H.15)*。
- U.S. Bureau of Labor Statistics，*Consumer Price Index*。
- U.S. Bureau of Economic Analysis，*Personal Consumption Expenditures Price Index*。
- U.S. Department of the Treasury，*Treasury Inflation-Protected Securities*。
- U.S. Department of the Treasury，*Interest Rate Statistics*。

Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/stocks/fisher-equation/index.mdx