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title: "終值：複利如何讓資金隨時間成長"
description: "學習一次性資金、定期投入、可變報酬、費用和通膨的終值公式，並維持利率、期間和現金流量時點一致。"
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# 終值：複利如何讓資金隨時間成長

> 僅供教育用途，不構成投資建議。投資可能導致損失。

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## 直接回答

**終值（FV）**是一個或多個現金流量依照明確的成長或報酬路徑，在指定未來日期所達到的金額。對於每期報酬固定的一次性資金：

`FV = PV × (1 + r)^n`

`PV` 是起始日的價值，`r` 是一個複利期間的有效報酬，`n` 是相配合的期間數。反推公式為 `PV = FV / (1 + r)^n`。輸入一經選定，此公式的結果便是確定的；但它不會讓不確定的股票報酬、再投資利率、通膨率或稅務結果變得確定。

終值計算必須說明評價日、幣別、名目或實質基礎、現金流量時點、報酬慣例、複利頻率，以及分配、費用和稅負的處理。沒有這些定義，兩個看似正確的FV數值可能回答不同問題。

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## 運作方式

依以下順序建立計算：

1. **固定時間軸和單位。** 記錄開始日、目標日、幣別、天數或期間慣例，以及每項金額在稅費前還是稅費後衡量。股價、總報酬指數、帳戶餘額和可支用現金是不同數量。
2. **放置每項現金流量。** 區分初始本金、投入、提領、以現金領取的股利、再投資股利、稅款和費用。期初投入比其他條件相同的期末投入多複利一個期間。
3. **配合利率與期間。** 如果 `APR` 是每年複利 `m` 次、持續 `t` 年的名目年利率，則使用 `FV = PV × (1 + APR / m)^(m × t)`。有效年利率為 `EAR = (1 + APR / m)^m - 1`。不要把已經是有效年報酬的利率再除以 `m`。
4. **對一次性資金複利。** 每期有效報酬固定時，每個期間乘一次 `1 + r`。單利 `PV × (1 + r × n)` 不會把先前利息再投資，屬於不同模型。
5. **加入等額投入。** 對於投入額 `C`、每期報酬 `r` 和期末支付 `n` 次的情況，`FV_end = C × ((1 + r)^n - 1) / r`。期初支付時，`FV_begin = FV_end × (1 + r)`。當 `r = 0` 時，投入終值為 `C × n`。單獨複利的初始本金只加一次。
6. **報酬可變時使用已實現路徑。** 對沒有外部現金流量的一次性資金，`FV = PV × Π(1 + r_t)`；同一組各期報酬的順序不會改變乘積。一旦各期報酬間有投入或提領，順序便會影響結果，因為經歷每項報酬的金額不同。算術平均報酬不能取代幾何複利。
7. **一致轉換基礎。** 通膨率固定時的近似式為 `real FV = nominal FV / (1 + inflation)^n`。在總報酬後收取簡單年度百分比費用的模型使用 `net growth factor = (1 + gross return) × (1 - fee rate)`。實際商品、稅負和費用可能採用不同的時點、基礎、級距和現金流量規則，應依合約處理建立模型，不要機械相減百分比。

對於不規則日期或非等額現金流量，應使用帶日期的現金流量表：`FV_T = Σ(CF_i × growth factor from t_i to T)`。說明日曆、日計數慣例和報酬區間。不要把月度、季度或年度公式強行用於不配合的日期。

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## 範例

應使用四種獨立情境，而不是混合不相容的假設：

- **一次性資金：** `$20,000` 按 `7.0000%` 年度複利 `10` 年，得到 `FV = $20,000 × (1.07)^10 = $39,343.03`。按 `4.0000%` 計算，結果為 `$29,604.89`；按 `10.0000%` 計算，結果為 `$51,874.85`。這些是敏感度情境，不是機率。
- **月度複利和投入：** `7.0000%` 的名目APR按月複利，月利率為 `0.0700 / 12`，共 `120` 期，EAR為 `7.2290%`。初始 `$20,000` 增至 `$40,193.23`。每月期末投入 `$500` 增至 `$86,542.40`，終值合計 `$126,735.63`。每月期初投入增至 `$87,047.23`，合計 `$127,240.46`，多出 `$504.83`。
- **可變報酬與順序：** `20.0000%`、`-10.0000%` 和 `5.0000%` 的報酬使 `$20,000` 增至 `$22,680.00`；累計報酬為 `13.4000%`，幾何年報酬為 `4.2808%`，而不是 `5.0000%` 的算術平均值。沒有外部現金流量時，重新排序這些報酬不會改變 `$22,680.00`。如果第一年後投入 `$5,000`，路徑 `($20,000 × 1.20 + $5,000) × 0.90 × 1.05` 的期末值為 `$27,405.00`，而路徑 `($20,000 × 0.90 + $5,000) × 1.20 × 1.05` 的期末值為 `$28,980.00`，相差 `$1,575.00`。
- **通膨和費用：** 將一次性資金的名目終值 `$39,343.03` 按年度通膨 `2.5000%` 折算，得到以起始日購買力計的 `$30,734.71`。如果簡化年費為 `1.0000%`，並在每次 `7.0000%` 總報酬後收取，年度淨成長因子為 `1.07 × 0.99 = 1.0593`；終值為 `$35,581.13`，稅前比無費用情境低 `$3,761.90`。

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## 風險

- 說明開始日、目標日、幣別和評價標的的確切意義。
- 標明每項金額是名目還是實質、稅前還是稅後。
- 將報酬區間與複利期間的數量和時點配合。
- 區分名目APR與有效年報酬，不要用複利頻率除以EAR。
- 確認利率以小數、百分比、百分點還是基點表示。
- 區分單利與複合成長，並識別適用的合約或情境。
- 記錄每項投入或提領發生在期初、期末還是確切日期。
- 僅對等額期末現金流量和固定配合利率使用普通年金公式。
- 只有每項投入都整整提前一個期間時才採用期初年金調整。
- 直接處理零利率情況，不要讓年金公式除以零。
- 對可變報酬相乘各期成長因子，並報告累計與幾何報酬。
- 不要只憑重新排序同一組報酬就推論一次性資金存在順序風險；應檢查中間現金流量。
- 只有所選報酬序列和再投資假設支持時才納入股利，並避免重複計算。
- 按實際基礎和日期模擬持續百分比費用、固定費用、交易成本、銷售費用和顧問費。
- 對適當的所得、利得、分配、帳戶類型、司法管轄區和支付日期套用稅負。
- 在稱某項價值為實質價值前，配合通膨指數、幣別、地域、日期和家庭目標。
- 對不規則投入、提領、利率或日曆區間使用帶日期的時間表。
- 對利率、投入金額、時點、通膨、費用、稅負和期間進行壓力測試，而不是只給出一個精確結果。
- 將情境終值與股票目標價、預期報酬、要求報酬和保證帳戶價值分開。
- 獨立勾稽計算器結果，並保留完整精確度至最終顯示取整。

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## 常見誤解

- **「終值能預測投資將值多少錢。」** 它計算給定輸入的結果；不確定的輸入仍然不確定。
- **「按月複利的7% APR等於7%的有效年報酬。」** 兩種慣例不同，除非報價定義使其相等。
- **「算術平均報酬可以直接用於複利。」** 多期財富取決於成長因子的乘積，因此應使用幾何報酬。
- **「報酬順序總會改變終值。」** 沒有中間現金流量時，順序不改變一次性資金的乘積；存在投入或提領時才會影響結果。
- **「費用、稅負和通膨都可在期末各減一次。」** 它們的時點和基礎會在整個期間內影響複利和購買力。

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## 來源

- Investor.gov：複利計算器。
- Investor.gov：費用和支出如何影響投資組合。
- Investor.gov：風險詞彙表。
- Investor.gov：股票常見問題。
- 美國勞工統計局：購買力與不變價美元。
- 美國勞工統計局：CPI方法概述。

Source: https://wiki.fcontext.com/zh-tw/stocks/future-value/index.mdx