Nilai Waktu Uang: Arus Kas Bertanggal, Konvensi Suku Bunga, dan Valuasi yang Konsisten

Nilai arus kas pada garis waktu yang eksplisit dengan PV dan FV yang selaras, suku bunga sederhana atau majemuk, konvensi APR dan APY, anuitas, perpetuitas, faktor diskonto bertanggal, inflasi, pajak, mata uang, dan asumsi risiko.

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Nilai waktu uang membandingkan jumlah pada tanggal yang berbeda dengan memindahkan setiap arus kas ke satu tanggal valuasi yang dinyatakan. Pemajemukan memindahkan nilai ke depan, sedangkan pendiskontoan memindahkannya ke belakang. Perhitungan yang valid harus menyebutkan tanggal arus kas, tanggal tujuan, mata uang, klaim, basis nominal atau riil, basis sebelum atau setelah pajak, konvensi suku bunga, dan perlakuan risiko.

Untuk satu jumlah sekaligus dengan bunga majemuk diskret, suku bunga per periode r, dan n periode yang sesuai:

FVₙ = PV₀ × (1 + r)ⁿ

PV₀ = FVₙ ÷ (1 + r)ⁿ

Bunga sederhana merupakan aturan kontraktual yang berbeda: FV = P × (1 + r × t). Bunga tidak menghasilkan bunga lagi dalam rumus tersebut. Pertumbuhan sederhana maupun majemuk bukanlah prakiraan kecuali arus kas dan suku bunga yang mendasarinya ditetapkan secara kontraktual; perhitungannya bersyarat pada input.

Untuk beberapa arus kas bertanggal, nilai setiap arus satu kali dengan faktor diskonto yang sesuai:

PV₀ = Σᵢ(CFᵢ × DF(0,tᵢ))

Suku bunga datar merupakan asumsi penyederhanaan. Struktur berjangka menggunakan suku bunga spot atau faktor diskonto khusus jatuh tempo, dan imbal hasil par Treasury CMT yang teramati tidak otomatis menjadi suku bunga spot obligasi tanpa kupon maupun suku bunga yang tepat untuk arus kas berisiko.

Alur kerja tujuh langkah yang dapat direproduksi

Bekukan objek valuasi dan garis waktunya. Catat tanggal valuasi, tanggal tujuan, mata uang, klaim hukum atau ekonomi, basis daya beli nominal atau riil, basis sebelum atau setelah pajak, unit, dan konvensi tanda. Tempatkan setiap arus masuk dan arus keluar pada t = 0, awal atau akhir periode, atau tanggal kalender yang tepat; hari ini dan akhir periode pertama adalah dua tanggal berbeda.
Tentukan arus kas dan perlakuan ketidakpastian. Pisahkan arus kas kontraktual, ekspektasian, skenario, dan terealisasi. Dalam pendekatan tradisional, arus kas kontraktual atau yang paling mungkin dapat didiskontokan dengan suku bunga yang disesuaikan terhadap risiko. Dalam pendekatan arus kas ekspektasian, jumlah dan waktu yang ditimbang berdasarkan probabilitas didiskontokan menggunakan suku bunga yang konsisten dengan risiko yang belum tercermin. Jangan mengurangi arus kas karena suatu risiko sekaligus menambahkan premi tanpa dasar untuk risiko yang sama.
Normalkan konvensi suku bunga. Identifikasi bunga sederhana atau majemuk, suku bunga tahunan nominal, APR yang dinyatakan, suku bunga tahunan efektif atau APY, suku bunga periodik, frekuensi pembayaran dan pemajemukan, pemajemukan diskret atau kontinu, basis hitung hari, aturan hari kerja, serta biaya yang disertakan menurut definisi hukum yang berlaku. Jika suku bunga tahunan nominal j dimajemukkan m kali per tahun, maka EAR = (1 + j ÷ m)ᵐ − 1; jangan membagi suku bunga tahunan yang sudah efektif dengan m.
Hitung jumlah sekaligus dan lakukan pemeriksaan balik. Selaraskan periode suku bunga dengan hitungan waktu, pastikan faktor akumulasi bruto valid secara ekonomi, pertahankan presisi penuh, dan verifikasi bahwa pendiskontoan FV yang dihitung mengembalikan PV semula. Untuk bunga sederhana, gunakan fraksi waktu kontrak; untuk bunga majemuk, gunakan jumlah periode yang dinyatakan atau pangkat berdasarkan tanggal yang tepat.
Tempatkan anuitas berjangka terbatas dengan benar. Untuk n pembayaran yang sama sebesar C pada akhir periode dan r ≠ 0, berlaku PV_ordinary = C × [1 − (1 + r)⁻ⁿ] ÷ r dan FV_ordinary,n = C × [(1 + r)ⁿ − 1] ÷ r. Anuitas jatuh tempo dibayar satu periode lebih awal: setiap pembayaran memperoleh satu periode pemajemukan tambahan hingga tanggal masa depan yang sama dan satu periode pendiskontoan lebih sedikit hingga tanggal sekarang yang sama. Karena itu, PV_due = PV_ordinary × (1 + r) dan FV_due = FV_ordinary × (1 + r). Pada r = 0, setiap nilai menjadi n × C pada salah satu tanggal bersama.
Tangani perpetuitas dan tanggal tidak teratur secara eksplisit. Perpetuitas tetap dengan pembayaran pertama C₁ satu periode setelah tanggal valuasi memiliki PV₀ = C₁ ÷ r untuk r > 0. Perpetuitas bertumbuh memiliki PV₀ = C₁ ÷ (r − g) dan mensyaratkan r > g serta pertumbuhan yang berkelanjutan secara ekonomi. Jika pembayaran pertama tiba segera, tambahkan secara terpisah. Untuk tanggal tidak teratur, gunakan PV₀ = Σᵢ[CFᵢ ÷ (1 + EAR)^yearfrac(0,tᵢ)] atau konvensi lain yang diungkapkan; Actual/365, Actual/360, Actual/Actual, metode periodik, dan metode kontinu tidak dapat dipertukarkan.
Rekonsiliasi basis ekonomi dan audit hasilnya. Selaraskan arus kas nominal dengan suku bunga nominal dan arus kas riil dengan suku bunga riil melalui (1 + nominal rate) = (1 + real rate) × (1 + inflation rate). Modelkan pajak dan biaya pada dasar serta waktunya yang sebenarnya, dan konversikan mata uang atau modelkan valuta asing secara konsisten alih-alih meminjam suku bunga mata uang asing yang tidak terkait. Uji tekanan terhadap tanggal, suku bunga, inflasi, pajak, biaya, kredit, dan arus kas; arsipkan kuotasi sumber, kalender, rumus, konvensi perangkat lunak, versi, pembulatan, dan perhitungan ulang independen.

Perhitungan APR menurut Regulation Z dan APY menurut Regulation DD digunakan untuk tujuan pengungkapan tertentu bagi kredit konsumen dan simpanan di Amerika Serikat. APR, APY, imbal hasil ekuivalen obligasi, suku bunga diskonto bank, imbal hasil majemuk kontinu, atau imbal hasil tahunan efektif yang dinyatakan tidak dapat menggantikan satu sama lain tanpa menerapkan definisinya. Pedoman nilai sekarang FASB dan IFRS memberi disiplin yang berguna untuk konsistensi arus kas dan risiko, tetapi tujuan pengukuran akuntansi tidak otomatis menjadi imbal hasil yang disyaratkan investor.

Contoh perhitungan

Bunga sederhana, pemajemukan tahunan, dan pemajemukan APR bulanan. Pokoknya adalah $10,000, suku bunga tahunan yang dinyatakan 6.0000%, dan cakrawaktunya 5 years. Dengan bunga sederhana, FV = $10,000 × (1 + 6% × 5) = $13,000.0000. Dengan pemajemukan tahunan, FV = $10,000 × 1.06⁵ = $13,382.2558. APR nominal 6.0000% yang dimajemukkan bulanan memiliki EAR = (1 + 0.06 ÷ 12)¹² − 1 = 6.1678% dan FV = $10,000 × (1 + 0.06 ÷ 12)⁶⁰ = $13,488.5015. Ini adalah tiga kontrak berbeda, bukan variasi pembulatan.
Anuitas biasa dibandingkan anuitas jatuh tempo. Empat pembayaran sebesar $1,000 pada suku bunga efektif 5.0000% memiliki PV_ordinary = $1,000 × [1 − 1.05⁻⁴] ÷ 5% = $3,545.9505 dan FV_ordinary,4 = $1,000 × [1.05⁴ − 1] ÷ 5% = $4,310.1250. Pembayaran pada awal setiap periode menghasilkan PV_due = $3,545.9505 × 1.05 = $3,723.2480 dan FV_due,4 = $4,310.1250 × 1.05 = $4,525.6313. Pada r = 0, kedua pola yang terdiri dari empat pembayaran berjumlah $4,000 pada satu tanggal bersama karena tidak ada penyesuaian nilai waktu, meskipun tanggal pembayaran kontraktualnya tetap berbeda.
Perpetuitas tetap dan bertumbuh. Pembayaran pertama adalah $100 pada t = 1 dan suku bunga diskontonya 8.0000%. Perpetuitas tetap memiliki PV₀ = $100 ÷ 8% = $1,250.0000. Jika pembayaran tumbuh sejak pembayaran pertama dengan g = 3.0000%, maka PV₀ = $100 ÷ (8% − 3%) = $2,000.0000. Jika tambahan $100 dibayarkan pada t = 0, tambahkan secara terpisah; menggeser pembayaran pertama tanpa mengubah rumus menciptakan kesalahan satu periode.
Tanggal tidak teratur, konsistensi nominal-riil, dan urutan pajak. Arus kas pasti sebesar $1,000 yang jatuh tempo dalam 182 days, didiskontokan pada EAR 5.0000% dengan Actual/365, memiliki t = 182 ÷ 365 dan PV = $1,000 ÷ 1.05^(182 ÷ 365) = $975.9653; memperlakukannya sebagai satu tahun penuh menghasilkan $952.3810. Secara terpisah, arus kas riil tahun ketiga sebesar $500,000 yang didiskontokan pada suku bunga riil 4.0000% memiliki PV = $500,000 ÷ 1.04³ = $444,498.1793. Dengan inflasi 3.0000%, arus kas nominalnya menjadi $500,000 × 1.03³ = $546,363.5000 dan suku bunga nominal tepatnya (1.04 × 1.03) − 1 = 7.1200%, sehingga menghasilkan nilai yang sama, yaitu $444,498.1793. Dalam kasus satu tahun yang disederhanakan, imbal hasil bunga nominal 8.0000% yang dikenai pajak 25.0000% saat diperoleh menyisakan nominal 6.0000%; dengan inflasi 3.0000%, imbal hasil riil setelah pajak yang tepat adalah 1.06 ÷ 1.03 − 1 = 2.9126%, bukan selisih nominal dikurangi inflasi yang dikenai pajak secara mekanis.

Daftar periksa perhitungan dan bukti

Bekukan tanggal valuasi, tanggal tujuan, waktu, zona waktu, kalender, unit, dan konvensi tanda.
Tandai setiap arus kas pada awal periode, akhir periode, tanggal penyelesaian, atau tanggal kontraktual yang tepat.
Bedakan arus kas kontraktual, ekspektasian, tertimbang probabilitas, skenario, dan terealisasi.
Selaraskan risiko dalam suku bunga diskonto dengan risiko yang belum tercermin dalam arus kas.
Identifikasi bunga sederhana, pemajemukan diskret, pemajemukan kontinu, atau aturan akumulasi kontraktual lainnya.
Bedakan APR nominal, suku bunga periodik, EAR, APY, imbal hasil ekuivalen obligasi, imbal hasil diskonto, dan imbal hasil majemuk kontinu.
Catat frekuensi pembayaran secara terpisah dari frekuensi pemajemukan bunga.
Nyatakan Actual/365, Actual/360, Actual/Actual, 30/360, atau konvensi hitung hari lainnya serta penyesuaian hari kerja.
Gunakan suku bunga spot atau faktor diskonto khusus jatuh tempo ketika struktur berjangka penting; jangan perlakukan suku bunga par sebagai suku bunga spot.
Pertahankan arus kas dan suku bunga nominal bersama-sama, atau keduanya dalam bentuk riil, dengan satu ukuran inflasi dan satu cakrawaktu.
Terapkan pajak pada pendapatan nominal, pengurang, keuntungan, basis, akun, yurisdiksi, dan tanggal pembayaran yang benar sebelum melakukan deflasi.
Sertakan biaya, jumlah originasi, poin, biaya transaksi, jasa layanan, pembayaran di muka, pemotongan, dan penerimaan bersih pada tanggal sebenarnya.
Selaraskan mata uang arus kas dengan mata uang suku bunga diskonto dan modelkan valuta asing secara konsisten ketika mata uang berbeda.
Terapkan rumus anuitas biasa dan anuitas jatuh tempo pada jumlah pembayaran serta tanggal valuasi bersama yang sama.
Tangani r = 0, suku bunga negatif, suku bunga variabel, pembayaran yang hilang, pembayaran balon, dan periode parsial secara eksplisit.
Verifikasi tanggal pembayaran pertama perpetuitas dan syaratkan r > g untuk perpetuitas bertumbuh.
Jangan memaksakan tanggal tidak teratur ke dalam interval bulanan, kuartalan, atau tahunan yang sama.
Pertahankan presisi sepanjang perhitungan dan bulatkan hanya hasil yang ditampilkan; rekonsiliasi tanda arus masuk dan arus keluar.
Periksa balik PV terhadap FV, total anuitas, saldo pinjaman, dan faktor diskonto yang dihitung secara independen.
Uji tekanan terhadap suku bunga, tanggal, inflasi, pajak, biaya, gagal bayar, reinvestasi, dan mata uang serta pertahankan jejak audit.

Kesalahpahaman umum

“Suku bunga tahunan yang dinyatakan selalu merupakan imbal hasil tahunan efektif.” Konvensi APR, APY, EAR, obligasi, diskonto, dan kontinu dapat menggambarkan hasil ekonomi yang berbeda.
“Anuitas jatuh tempo dimajemukkan satu periode lebih sedikit daripada anuitas biasa.” Hingga tanggal masa depan yang sama, setiap pembayaran jatuh tempo dimajemukkan satu periode tambahan; hingga tanggal sekarang yang sama, pembayaran itu didiskontokan satu periode lebih sedikit.
“Pembayaran pertama apa pun dapat dimasukkan ke dalam rumus perpetuitas.” Rumus standar menilai arus satu periode sebelum pembayaran pertama; pembayaran segera harus ditambahkan secara terpisah.
“Mengurangi inflasi dari imbal hasil nominal, kemudian mengenakan pajak, selalu menghasilkan imbal hasil riil setelah pajak.” Pajak biasanya dikenakan pada jumlah nominal berdasarkan aturan bertanggal; konversi inflasi yang tepat dilakukan setelahnya.
“Hasil TVM yang presisi adalah nilai yang dijanjikan.” Arus kas, suku bunga, reinvestasi, inflasi, pajak, biaya, kredit, mata uang, dan waktu dapat berbeda dari asumsi.

Topik terkait

Sumber otoritatif

Pernyataan Konsep FASB No. 7 - teknik nilai sekarang dengan pendekatan tradisional dan arus kas ekspektasian, ketidakpastian waktu, dan konsistensi risiko untuk pengukuran akuntansi.
IFRS 13 Pengukuran Nilai Wajar - teknik nilai sekarang, asumsi pelaku pasar, risiko, dan ketidakpastian pengukuran dalam tujuan nilai wajar akuntansi.
Statistik Suku Bunga Treasury AS - seri resmi suku bunga Treasury nominal dan riil serta label jatuh temponya.
Tanya Jawab Suku Bunga Treasury AS - input kurva imbal hasil par, interpolasi, arti CMT, dan batasan metodologis.
H.15 Selected Interest Rates dari Federal Reserve - suku bunga yang dipublikasikan beserta catatan instrumen, frekuensi, dan konvensi suku bunga.
Regulation Z, Lampiran J - aturan perhitungan APR untuk kredit konsumen tertutup di AS dan asumsi transaksi yang ditentukan.
Regulation DD, Lampiran A - aturan perhitungan APY untuk simpanan di AS, pemajemukan, jangka waktu, dan konvensi pengungkapan.
Kalkulator Bunga Majemuk Investor.gov - ilustrasi edukatif tentang pokok, kontribusi, frekuensi pemajemukan, waktu, dan perkiraan pertumbuhan.