Zeitwert des Geldes: datierte Cashflows, Zinskonventionen und konsistente Bewertung

Bewerten Sie Cashflows auf einer expliziten Zeitachse mit konsistentem PV, FV, einfacher/zusammengesetzter Verzinsung, APR/APY, Renten, Ewigkeiten, datierten Faktoren, Inflation, Steuern, Währung und Risiko.

Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Der Zeitwert des Geldes vergleicht Beträge zu unterschiedlichen Terminen, indem jeder Cashflow auf einen genannten Stichtag verschoben wird. Aufzinsen bewegt vorwärts, Abzinsen rückwärts. Nötig sind Termine, Zieltag, Währung, Anspruch, nominal/real, vor/nach Steuer, Zinskonvention und Risiko.

Für einen Betrag bei diskretem Zinseszins, Periodenzins r und n passenden Perioden:

FVₙ = PV₀ × (1 + r)ⁿ

PV₀ = FVₙ ÷ (1 + r)ⁿ

Einfache Verzinsung ist eine andere Regel: FV = P × (1 + r × t). Zinsen tragen keine Zinsen. Keine Formel ist Prognose, sofern Cashflow und Rate nicht vertraglich fixiert sind.

Für mehrere datierte Cashflows:

PV₀ = Σᵢ(CFᵢ × DF(0,tᵢ))

Ein flacher Zins ist Vereinfachung. Eine Zinsstruktur nutzt laufzeitspezifische Spots/Faktoren; Treasury-CMT-Parrendite ist nicht automatisch Nullkupon-Spot oder Rate für riskanten Cashflow.

Ablauf in sieben Schritten

Objekt und Zeitachse fixieren. Erfassen Sie Stichtag/Zieltag, Währung, Anspruch, Nominal-/Real- und Steuerbasis, Einheiten und Vorzeichen. Platzieren Sie jeden Cashflow bei t = 0, Periodenbeginn/-ende oder genauem Datum.
Cashflows und Unsicherheit spezifizieren. Trennen Sie vertragliche, erwartete, Szenario- und realisierte Flows. Traditionell werden Vertrags-/wahrscheinliche Flows risikoadjustiert diskontiert; Expected-Cash-Flow gewichtet Betrag/Timing und nutzt eine Rate für verbleibende Risiken. Risiko nicht doppeln.
Zinskonvention normieren. Bestimmen Sie einfach/zusammengesetzt, nominal jährlich, APR, effektiv oder APY, periodisch, Zahlungs-/Aufzinsungsfrequenz, diskret/stetig, Zinstage, Geschäftstag und Gebühren. Bei nominalem j, m-mal: EAR = (1 + j ÷ m)ᵐ − 1; EAR nicht durch m teilen.
Einzelbetrag rechnen und zurückprüfen. Stimmen Sie Rate/Periode ab, behalten Sie Präzision und prüfen Sie, ob FV-Abzinsung PV ergibt. Bei einfacher Verzinsung Vertragszeitbruch, bei Zinseszins Perioden/Datum.
Endliche Renten richtig legen. Für n Zahlungen C am Ende und r ≠ 0: PV_ordinary = C × [1 − (1 + r)⁻ⁿ] ÷ r, FV_ordinary,n = C × [(1 + r)ⁿ − 1] ÷ r. Vorschüssig: PV_due = PV_ordinary × (1 + r), FV_due = FV_ordinary × (1 + r). Bei r = 0: n × C am gemeinsamen Termin.
Ewige Renten und irreguläre Daten behandeln. Erstes C₁ eine Periode später: PV₀ = C₁ ÷ r für r > 0; wachsend: PV₀ = C₁ ÷ (r − g), r > g. Sofortzahlung addieren. Bei Daten: PV₀ = Σᵢ[CFᵢ ÷ (1 + EAR)^yearfrac(0,tᵢ)]; Actual/365, Actual/360, Actual/Actual, periodisch und stetig unterscheiden sich.
Grundlagen abstimmen und prüfen. Nominal-real über (1 + nominal rate) = (1 + real rate) × (1 + inflation rate). Steuern/Gebühren nach Basis und Datum, Währung/FX konsistent. Szenarien und Quellen, Kalender, Formeln, Software, Versionen, Rundung und Nachrechnung archivieren.

Regulation-Z-APR und Regulation-DD-APY dienen definierten US-Zwecken. APR, APY, EAR, Bond-Equivalent-, Discount-, stetige und effektive Rendite sind nicht austauschbar. FASB/IFRS schaffen Konsistenz, bestimmen aber keine Anleger-Renditeforderung.

Durchgerechnete Beispiele

Einfach, jährlich zusammengesetzt und monatlicher APR. Kapital $10,000, Rate 6.0000%, Laufzeit 5 years. Einfach: FV = $10,000 × (1 + 6% × 5) = $13,000.0000. Jährlich: FV = $10,000 × 1.06⁵ = $13,382.2558. Nominaler 6.0000% APR monatlich hat EAR = (1 + 0.06 ÷ 12)¹² − 1 = 6.1678% und FV = $10,000 × (1 + 0.06 ÷ 12)⁶⁰ = $13,488.5015. Drei Verträge.
Nach- und vorschüssige Rente. Vier $1,000 bei 5.0000%: PV_ordinary = $1,000 × [1 − 1.05⁻⁴] ÷ 5% = $3,545.9505, FV_ordinary,4 = $1,000 × [1.05⁴ − 1] ÷ 5% = $4,310.1250. Vorschüssig: PV_due = $3,545.9505 × 1.05 = $3,723.2480, FV_due,4 = $4,310.1250 × 1.05 = $4,525.6313. Bei r = 0 beide $4,000.
Ewige Renten. Erstes $100 bei t = 1, Rate 8.0000%: PV₀ = $100 ÷ 8% = $1,250.0000; wachsend mit g = 3.0000%: PV₀ = $100 ÷ (8% − 3%) = $2,000.0000. Weitere $100 bei t = 0 separat addieren.
Datum, nominal-real, Steuer. $1,000 in 182 days bei 5.0000% EAR und Actual/365: t = 182 ÷ 365, PV = $1,000 ÷ 1.05^(182 ÷ 365) = $975.9653; als Jahr $952.3810. Realer Jahr-3-Cashflow $500,000 bei 4.0000%: PV = $500,000 ÷ 1.04³ = $444,498.1793. Inflation 3.0000%: nominal $500,000 × 1.03³ = $546,363.5000, Rate (1.04 × 1.03) − 1 = 7.1200%, gleicher $444,498.1793. Nominal 8.0000%, Steuer 25.0000% lässt 6.0000%; Inflation 3.0000% ergibt 1.06 ÷ 1.03 − 1 = 2.9126% real.

Rechenkontrollen

Fixieren Sie Daten, Uhr, Zone, Kalender, Einheiten und Vorzeichen.
Markieren Sie Flows bei Beginn, Ende, Settlement oder Vertragsdatum.
Trennen Sie vertraglich, erwartet, gewichtet, Szenario und realisiert.
Stimmen Sie Ratenrisiko mit nicht im Flow erfasstem Risiko ab.
Identifizieren Sie einfach, diskret, stetig oder andere Regel.
Trennen Sie APR, Periodenzins, EAR, APY, Bond-, Discount- und stetige Rate.
Erfassen Sie Zahlungs- getrennt von Aufzinsungsfrequenz.
Nennen Sie Actual/365, Actual/360, Actual/Actual, 30/360 und Geschäftstage.
Nutzen Sie Spots/Faktoren je Laufzeit; Par ist kein Spot.
Halten Sie Flows/Raten nominal oder real mit gleicher Inflation.
Wenden Sie Steuern auf richtigen Ertrag, Abzug, Gewinn, Basis, Konto, Recht und Termin an.
Erfassen Sie Gebühren, Originierung, Punkte, Transaktion, Service, Vorzahlung, Quellensteuer und Nettozufluss termingerecht.
Stimmen Sie Cashflow- und Zinswährung ab und modellieren Sie FX.
Verwenden Sie Renten mit gleicher Zahlungszahl und gemeinsamem Stichtag.
Behandeln Sie r = 0, negative/variable Raten, Fehlzahlungen, Ballons und Teilperioden.
Prüfen Sie ersten Perpetuity-Cashflow und r > g.
Zwingen Sie unregelmäßige Daten nicht in gleiche Perioden.
Halten Sie Präzision, runden Sie Ausgabe und stimmen Sie Vorzeichen ab.
Prüfen Sie PV/FV rückwärts sowie Renten, Salden und Faktoren unabhängig.
Stresstesten Sie Rate, Datum, Inflation, Steuer, Gebühren, Ausfall, Reinvestition und Währung; Prüfpfad sichern.

Häufige Missverständnisse

„Jahreszins ist immer effektiv.“ APR, APY, EAR, Bond-, Discount- und stetige Konventionen unterscheiden sich.
„Vorschüssig verzinst eine Periode weniger.“ Zum selben Zukunftstag eine mehr; zum Barwert eine weniger abzinsen.
„Jede erste Zahlung passt in die Perpetuity-Formel.“ Standardformel liegt eine Periode vorher; sofortige Zahlung addieren.
„Nominal minus Inflation, dann Steuer, ergibt immer real nach Steuer.“ Steuer greift meist auf datierte Nominalwerte, danach deflationieren.
„Ein präzises Ergebnis ist versprochen.“ Flows, Raten, Inflation, Steuer, Kosten, Kredit, Währung und Timing können abweichen.

Maßgebliche Quellen

FASB Concepts Statement 7 - traditionelle/erwartete Verfahren und Risiko.
IFRS 13 - Barwert, Marktteilnehmer und Unsicherheit.
Treasury-Zinsstatistik - nominale/reale Reihen.
Treasury-Zins-FAQ - Parrendite, Inputs und CMT.
Federal Reserve H.15 - Raten und Konventionen.
Regulation Z, Appendix J - APR geschlossener Kredite.
Regulation DD, Appendix A - APY für Einlagen.
Zinseszinsrechner - Kapital, Beiträge, Frequenz und Zeit.