Временная стоимость денег: датированные денежные потоки, соглашения о ставках и согласованная оценка

Оценивайте денежные потоки на явной временной шкале, согласуя PV и FV, простые и сложные ставки, соглашения APR и APY, аннуитеты, перпетуитеты, датированные коэффициенты дисконтирования, инфляцию, налоги, валюту и риск.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Временная стоимость денег позволяет сравнивать суммы, относящиеся к разным датам, посредством переноса каждого денежного потока на одну явно указанную дату оценки. Наращение переносит стоимость вперед во времени, а дисконтирование — назад. Для корректного расчета необходимо указать даты денежных потоков, целевую дату, валюту, вид требования, номинальный или реальный базис, базис до или после налогов, соглашение о ставке и способ учета риска.

Для одной единовременной суммы при дискретном начислении сложных процентов, ставке за период r и числе соответствующих периодов n:

FVₙ = PV₀ × (1 + r)ⁿ

PV₀ = FVₙ ÷ (1 + r)ⁿ

Простые проценты представляют собой иное договорное правило: FV = P × (1 + r × t). В этой формуле проценты сами не приносят процентов. Ни простой, ни сложный рост не является прогнозом, если только денежный поток и ставка не закреплены договором; результат расчета обусловлен его исходными данными.

Для нескольких датированных денежных потоков каждый поток следует оценить один раз с использованием соответствующего ему коэффициента дисконтирования:

PV₀ = Σᵢ(CFᵢ × DF(0,tᵢ))

Постоянная ставка — упрощающее допущение. При использовании временной структуры ставок применяются спот-ставки или коэффициенты дисконтирования для конкретных сроков. Наблюдаемая парная доходность казначейских бумаг с постоянным сроком погашения CMT не становится автоматически ни спот-ставкой бескупонного инструмента, ни подходящей ставкой для рискованного денежного потока.

Воспроизводимый процесс из семи шагов

Зафиксируйте объект оценки и временную шкалу. Запишите дату оценки, целевую дату, валюту, юридическое или экономическое требование, номинальный базис или базис реальной покупательной способности, базис до или после налогов, единицы измерения и соглашение о знаках. Разместите каждый приток и отток в момент t = 0, в начале или конце периода либо в точную календарную дату; сегодня и конец первого периода — разные даты.
Задайте денежные потоки и способ учета неопределенности. Раздельно храните договорные, ожидаемые, сценарные и фактически реализованные потоки. В традиционном подходе договорные или наиболее вероятные потоки могут дисконтироваться по ставке с поправкой на риск. В подходе ожидаемых денежных потоков суммы и сроки, взвешенные по вероятности, дисконтируются по ставке, согласованной с рисками, еще не учтенными в потоках. Не уменьшайте поток из-за определенного риска, одновременно добавляя к ставке необоснованную премию за тот же риск.
Приведите соглашение о ставке к единому виду. Установите, применяются ли простые или сложные проценты, номинальная годовая ставка, заявленная APR, эффективная годовая ставка или APY, периодическая ставка, частоты платежей и начисления процентов, дискретное или непрерывное начисление, базис подсчета дней, правило рабочего дня и комиссии, включаемые применимым юридическим определением. Если номинальная годовая ставка j начисляется m раз в год, то EAR = (1 + j ÷ m)ᵐ − 1; уже эффективную годовую ставку нельзя просто делить на m.
Рассчитайте единовременные суммы и выполните обратную проверку. Согласуйте период ставки и число периодов, убедитесь в экономической допустимости валового коэффициента наращения, сохраняйте полную точность и проверьте, что дисконтирование рассчитанной FV возвращает исходную PV. Для простых процентов используйте договорную долю года, а для сложных — заявленное число периодов или показатель степени, определенный точными датами.
Правильно разместите конечные аннуитеты. Для n равных платежей C в конце периодов при r ≠ 0 справедливы PV_ordinary = C × [1 − (1 + r)⁻ⁿ] ÷ r и FV_ordinary,n = C × [(1 + r)ⁿ − 1] ÷ r. В аннуитете пренумерандо платеж совершается на один период раньше: каждый платеж наращивается на один дополнительный период до той же будущей даты и дисконтируется на один период меньше до той же текущей даты. Поэтому PV_due = PV_ordinary × (1 + r) и FV_due = FV_ordinary × (1 + r). При r = 0 каждая стоимость сводится к n × C на любой общей дате.
Явно учитывайте перпетуитеты и нерегулярные даты. Приведенная стоимость постоянного перпетуитета, первый платеж C₁ по которому поступает через один период после даты оценки, равна PV₀ = C₁ ÷ r при r > 0. Для растущего перпетуитета PV₀ = C₁ ÷ (r − g); при этом требуется r > g, а рост должен быть экономически устойчивым. Немедленный первый платеж прибавьте отдельно. Для нерегулярных дат используйте PV₀ = Σᵢ[CFᵢ ÷ (1 + EAR)^yearfrac(0,tᵢ)] или иную раскрытую методику; Actual/365, Actual/360, Actual/Actual, периодический и непрерывный методы не взаимозаменяемы.
Согласуйте экономические базисы и проверьте результат. Сопоставляйте номинальные потоки с номинальными ставками, а реальные — с реальными, используя (1 + nominal rate) = (1 + real rate) × (1 + inflation rate). Моделируйте налоги и комиссии по их фактической базе и на фактическую дату; при разных валютах согласованно конвертируйте валюту или моделируйте валютный курс, а не заимствуйте несвязанную ставку другой валюты. Проведите стресс-тест дат, ставок, инфляции, налогов, комиссий, кредита и потоков; сохраните котировки источников, календарь, формулы, программные соглашения, версии, правила округления и независимый повторный расчет.

Расчеты APR по Положению Z и APY по Положению DD служат определенным целям раскрытия информации о потребительском кредите и вкладах в США. Заявленные APR, APY, доходность в пересчете на облигационный эквивалент, банковская учетная ставка, непрерывно начисляемая доходность и эффективная годовая доходность не могут подменять друг друга без применения соответствующих определений. Руководство FASB и IFRS по приведенной стоимости дисциплинирует согласование потоков и риска, однако цели бухгалтерской оценки не являются автоматически требуемой инвестором доходностью.

Расчетные примеры

Простые проценты, годовое начисление и ежемесячное начисление по APR. Основная сумма равна $10,000, заявленная годовая ставка — 6.0000%, а горизонт — 5 years. При простых процентах FV = $10,000 × (1 + 6% × 5) = $13,000.0000. При годовом начислении FV = $10,000 × 1.06⁵ = $13,382.2558. Номинальная APR в размере 6.0000% с ежемесячным начислением дает EAR = (1 + 0.06 ÷ 12)¹² − 1 = 6.1678% и FV = $10,000 × (1 + 0.06 ÷ 12)⁶⁰ = $13,488.5015. Это три разных договора, а не варианты округления.
Обычный аннуитет и аннуитет пренумерандо. Для четырех платежей по $1,000 при эффективной ставке 5.0000% получаем PV_ordinary = $1,000 × [1 − 1.05⁻⁴] ÷ 5% = $3,545.9505 и FV_ordinary,4 = $1,000 × [1.05⁴ − 1] ÷ 5% = $4,310.1250. Платежи в начале каждого периода дают PV_due = $3,545.9505 × 1.05 = $3,723.2480 и FV_due,4 = $4,310.1250 × 1.05 = $4,525.6313. При r = 0 сумма обоих четырехплатежных потоков на общей дате равна $4,000, поскольку корректировка на временную стоимость отсутствует, хотя договорные даты платежей по-прежнему различаются.
Постоянный и растущий перпетуитеты. Первый платеж в размере $100 поступает в момент t = 1, а ставка дисконтирования равна 8.0000%. Постоянный перпетуитет имеет PV₀ = $100 ÷ 8% = $1,250.0000. Если платежи растут начиная с первого платежа с темпом g = 3.0000%, то PV₀ = $100 ÷ (8% − 3%) = $2,000.0000. Дополнительные $100, выплаченные в момент t = 0, прибавляются отдельно; перенос первого платежа без изменения формулы создает ошибку в один период.
Нерегулярная дата, согласованность номинального и реального базисов и порядок налогообложения. Для гарантированных $1,000, подлежащих получению через 182 days и дисконтируемых по EAR 5.0000% с базисом Actual/365, получаем t = 182 ÷ 365 и PV = $1,000 ÷ 1.05^(182 ÷ 365) = $975.9653; приравнивание срока к полному году дает $952.3810. Отдельно реальный денежный поток третьего года в размере $500,000, дисконтируемый по реальной ставке 4.0000%, имеет PV = $500,000 ÷ 1.04³ = $444,498.1793. При инфляции 3.0000% номинальный поток равен $500,000 × 1.03³ = $546,363.5000, а точная номинальная ставка — (1.04 × 1.03) − 1 = 7.1200%, что дает те же $444,498.1793. В упрощенном однолетнем случае номинальный процентный доход 8.0000%, облагаемый при получении по ставке 25.0000%, оставляет номинальные 6.0000%; при инфляции 3.0000% точная реальная доходность после налога составляет 1.06 ÷ 1.03 − 1 = 2.9126%, а не механически облагаемую налогом разность номинальной доходности и инфляции.

Контрольный список расчетов и подтверждений

Зафиксируйте дату оценки, целевую дату, время, часовой пояс, календарь, единицы и соглашение о знаках.
Разместите каждый денежный поток в начале периода, в конце периода, на дату расчетов или на точную договорную дату.
Различайте договорные, ожидаемые, взвешенные по вероятности, сценарные и фактически реализованные денежные потоки.
Согласуйте риск в ставке дисконтирования с риском, который еще не отражен в денежном потоке.
Укажите простые проценты, дискретное или непрерывное начисление либо другое договорное правило наращения.
Различайте номинальную APR, периодическую ставку, EAR, APY, облигационно-эквивалентную доходность, дисконтную доходность и непрерывно начисляемую доходность.
Записывайте частоту платежей отдельно от частоты начисления процентов.
Укажите Actual/365, Actual/360, Actual/Actual, 30/360 либо другое соглашение о подсчете дней и корректировку рабочего дня.
Если важна временная структура, используйте спот-ставки или коэффициенты дисконтирования по срокам; не принимайте парную ставку за спот-ставку.
Согласовывайте номинальные денежные потоки с номинальными ставками либо реальные потоки с реальными ставками, используя единые показатель инфляции и горизонт.
Применяйте налоги к надлежащему номинальному доходу, вычету, приросту, базису, счету, юрисдикции и дате платежа до дефлирования.
Учитывайте комиссии, первоначально выданные суммы, пункты, транзакционные издержки, обслуживание, досрочное погашение, удержания и чистую выручку на фактические даты.
Согласуйте валюту денежного потока с валютой ставки дисконтирования и последовательно моделируйте валютный курс при разных валютах.
Применяйте формулы обычного аннуитета и аннуитета пренумерандо к одному числу платежей и общей дате оценки.
Явно учитывайте r = 0, отрицательные и переменные ставки, пропущенные платежи, крупные конечные платежи и неполные периоды.
Проверяйте дату первого платежа перпетуитета и требуйте r > g для растущего перпетуитета.
Не подменяйте нерегулярные даты равными месячными, квартальными или годовыми интервалами.
Сохраняйте точность на протяжении расчета и округляйте только отображаемые результаты; сверяйте знаки притоков и оттоков.
Выполняйте обратную проверку PV и FV, итогов аннуитетов, остатков по кредитам и независимо рассчитанных коэффициентов дисконтирования.
Проводите стресс-тест ставок, дат, инфляции, налогов, комиссий, дефолта, реинвестирования и валюты и сохраняйте аудиторский след.

Распространенные заблуждения

«Заявленная годовая ставка всегда является эффективной годовой доходностью». APR, APY, EAR, облигационная, дисконтная и непрерывная конвенции могут описывать разную экономику.
«Аннуитет пренумерандо наращивается на один период меньше обычного аннуитета». К одной будущей дате каждый такой платеж наращивается на один дополнительный период; к одной текущей дате он дисконтируется на один период меньше.
«В формулу перпетуитета можно подставить любой первый платеж». Стандартная формула оценивает поток за один период до первого платежа; немедленный платеж следует прибавить отдельно.
«Вычитание инфляции из номинальной доходности с последующим налогообложением всегда дает реальную доходность после налога». Налог обычно применяется к номинальным суммам по привязанным ко времени правилам, а точная поправка на инфляцию выполняется после этого.
«Точный результат расчета временной стоимости — обещанная величина». Денежные потоки, ставки, реинвестирование, инфляция, налоги, комиссии, кредитный риск, валюта и сроки могут отличаться от допущений.

Связанные темы

Авторитетные источники

Концептуальное положение FASB № 7 - традиционный метод и метод ожидаемых денежных потоков для расчета приведенной стоимости, неопределенность сроков и согласование риска в бухгалтерских оценках.
МСФО (IFRS) 13 «Оценка справедливой стоимости» - методы приведенной стоимости, допущения участников рынка, риск и неопределенность оценки в рамках цели бухгалтерской оценки справедливой стоимости.
Статистика процентных ставок Казначейства США - официальные ряды номинальных и реальных ставок Казначейства и обозначения сроков.
Часто задаваемые вопросы о ставках Казначейства США - исходные данные парной кривой доходности, интерполяция, значение CMT и методологические ограничения.
Статистический выпуск H.15 об отдельных процентных ставках - публикуемые ставки и примечания к инструментам, периодичности и соглашениям о ставках.
Приложение J к Положению Z - правила расчета APR для закрытого потребительского кредита в США и заданные допущения о сделке.
Приложение A к Положению DD - правила расчета APY для вкладов в США, начисление процентов, срок и соглашения о раскрытии информации.
Калькулятор сложных процентов Investor.gov - учебная иллюстрация основной суммы, взносов, частоты начисления, времени и предполагаемого роста.