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Treynor Ratio: Überschussrendite, geschätztes Beta und vergleichbare Risikoeinheiten

Berechnen und prüfen Sie Ex-post- und Ex-ante-Treynor-Ratios mit abgestimmten Renditen, risikofreien Sätzen, Marktregressionen, Beta-Unsicherheit, klarer Annualisierung und sachgerechtem Umgang mit nahem Null- oder negativem Beta.

Aktualisiert

Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Die Treynor Ratio teilt die mittlere oder erwartete Überschussrendite eines Portfolios durch seine geschätzte Sensitivität gegenüber einem Marktproxy:

Treynor ratio = portfolio excess return ÷ portfolio beta

Für periodische Ex-post-Daten gilt portfolio excess return = mean(R_P,t − R_f,t). Ex ante müssen Zähler und Beta Prognosen für dasselbe Portfolio und denselben Horizont sein. Beta dient als Nenner für systematisches Risiko; daher ist die Kennzahl bei hinreichender Diversifikation und relevantem Proxy am ehesten vertretbar. Sie hat Renditeeinheiten: Monats- und Jahreswerte sind verschiedene Konventionen.

Bei vergleichbaren Portfolios mit positivem Beta bedeutet ein höherer Wert mehr gemessene Überschussrendite je Marktexposure. Er beweist weder Können noch Prognosekraft und erfasst nicht das Gesamtrisiko. Bei beta = 0 ist die Ratio nicht definiert, nahe null instabil und bei negativem Beta verliert die übliche Ranglogik ihre Bedeutung.

Reproduzierbarer Ablauf in sieben Schritten

  1. Bewertungsanspruch festschreiben. Portfolio, Konto, Composite oder Anteilklasse, Mandat, Diversifikation, Entscheidung, Währung, Brutto-/Netto-/Steuerbasis, Zeitraum und Ex-post-/Ex-ante-Status bestimmen. Nur wirtschaftlich vergleichbare Portfolios gegenüberstellen.
  2. Abgestimmte Renditen erstellen. Synchronisierte Gesamtrenditen mit gleichen Daten, Frequenzen, Zeitzonen, Ausschüttungen, Kapitalmaßnahmen, Cashflows und Währungen verwenden. Jede Beobachtung braucht eine risikofreie Rendite gleicher Währung und Periode. Eine Treasury-Jahresrendite ist nicht automatisch Monatsrendite; Laufzeit, Konvention und Haltedauer zählen.
  3. Marktproxy wählen und Beta schätzen. y_t = R_P,t − R_f,t und x_t = R_M,t − R_f,t definieren und y_t = alpha + beta × x_t + epsilon_t schätzen. Mit Konstante gilt beta = Σ[(x_t − x̄)(y_t − ȳ)] ÷ Σ(x_t − x̄)². Policy-Benchmark und CAPM-Proxy können abweichen; da das theoretische Marktportfolio unbeobachtbar ist, gilt die Aussage gemeinsam mit Modell- und Proxywahl.
  4. Regression prüfen. Beobachtungen, Beta-Standardfehler und -Intervall, Alpha, Residuen, R-squared, Ausreißer sowie Stabilität über Fenster, Frequenzen und Proxies berichten. Least Squares reagiert auf Ausreißer; stale Preise, asynchroner Handel, Hebel, Derivate, nichtlineare Payoffs und wechselnde Bestände verzerren konstantes Beta.
  5. Passenden Zähler bilden. Ex post den arithmetischen Mittelwert derselben Überschussrenditen wie in der Regression verwenden, sofern keine andere vollständige Konvention gilt. Ex ante erwartete Portfoliorendite minus horizontgerechten erwarteten risikofreien Satz mit prognostiziertem Beta paaren. Historische und prognostizierte Eingaben nicht mischen; Brutto und Netto trennen.
  6. Berechnen und annualisieren. T_periodic = mean portfolio excess return ÷ beta. Beta ist dimensionslos und wird nicht annualisiert. Arithmetisch kann q × periodic mean excess return gelten; geometrisch Portfolio und risikofreies Vermögen getrennt aufzinsen und erst dann subtrahieren. Einheiten nennen. Null-Beta ist undefiniert; bei nahem Null- oder negativem Beta Sensitivität zeigen oder nicht ranken.
  7. Mit ergänzender Evidenz interpretieren. Sharpe teilt Überschussrendite durch Gesamtstandardabweichung und erfasst Residualrisiko. Jensens Alpha ist die Regressionskonstante. Bei gleicher Regression und Beta ungleich null gilt Treynor = mean market excess return + alpha ÷ beta. Unsicherheit, Sharpe, Drawdown, Konzentration, Tail-Risiko, Liquidität, Hebel, Kosten, Steuern, Kapazität und Hedgefunktion prüfen.

Ex-post-Treynor ist eine Stichprobenstatistik unter realisierten Renditen, Satz, Proxy, Frequenz und geschätztem Beta. Ex ante ist eine Modellprognose. Keine Variante ist ein universeller Score; CAPM lässt ausgelassene Kredit-, Durations-, Liquiditäts-, Volatilitäts-, Währungs- oder nichtlineare Risiken nicht verschwinden.

Durchgerechnete Beispiele

  • Periodenabgleich und Annualisierung. Portfolioquartal 3.0000%, risikofreies Quartal 1.0000%, Beta 0.8000: (3.0000% − 1.0000%) ÷ 0.8000 = 2.5000%. Arithmetisch jährlich: (2.0000% × 4) ÷ 0.8000 = 10.0000%. Bei konstanten, getrennt aufgezins­ten Quartalsrenditen ergeben sich 1.03⁴ − 1 = 12.5509%, 1.01⁴ − 1 = 4.0604% und (12.5509% − 4.0604%) ÷ 0.8000 = 10.6131%. Einen Jahressatz direkt vom Quartal abzuziehen wäre falsch.
  • Fünfperiodenregression. Marktüberschüsse −2.0000%, −1.0000%, 0.0000%, +1.0000%, +2.0000%, Portfolioüberschüsse −2.1000%, −1.2000%, +0.4000%, +1.2000%, +2.7000%. Mittelwerte x̄ = 0.0000% und ȳ = 0.2000%; Σ[(x_t − x̄)(y_t − ȳ)] = 12.0000 percentage-points squared und Σ(x_t − x̄)² = 10.0000 percentage-points squared, also beta = 12.0000 ÷ 10.0000 = 1.2000. alpha = 0.2000%, Residuen +0.1000%, −0.2000%, +0.2000%, −0.2000%, +0.1000%, R-squared = 1 − 0.1400 ÷ 14.5400 = 0.9904; Treynor 0.2000% ÷ 1.2000 = 0.1667%. Fünf Werte bleiben schwache Evidenz.
  • Nahes Null- und negatives Beta. Überschuss 2.0000% geteilt durch 0.0500 ergibt 2.0000% ÷ 0.0500 = 40.0000%, durch 0.0200 ergibt 2.0000% ÷ 0.0200 = 100.0000%; bei 0.0000 undefiniert. Überschuss −2.0000% durch Beta −0.2000 ergibt +10.0000%. Das positive Vorzeichen macht einen Verlust nicht zur Überperformance; negatives Beta kann Versicherungsnutzen haben.
  • Gebühren und Aggregation. Portfolioanteile 60.0000% A und 40.0000% B. A: Bruttorendite 10.0000%, Beta 1.2000; B: 6.0000%, Beta 0.3000; risikofrei 3.0000%. Bruttorendite 60.0000% × 10.0000% + 40.0000% × 6.0000% = 8.4000%, Beta 60.0000% × 1.2000 + 40.0000% × 0.3000 = 0.8400, Ratio (8.4000% − 3.0000%) ÷ 0.8400 = 6.4286%. Gebührenbelastung 0.8000 percentage-point ergibt Netto 7.6000% und (7.6000% − 3.0000%) ÷ 0.8400 = 5.4762%. Teilportfolio-Ratios dürfen nicht gemittelt werden.

Berechnungs- und Nachweischeckliste

  • Portfolio, Konto, Composite, Klasse, Mandat und gemessene Erfahrung bestimmen.
  • Eignung einer Beta-Betrachtung für Diversifikation und Ziel bestätigen.
  • Portfolio-, Markt- und risikofreie Gesamtrenditen nach Datum, Frequenz, Währung und Zeitzone abstimmen.
  • Brutto-, Produktnetto-, Beratungsnetto- und Nachsteuerbasis trennen.
  • Währung, Periode, Laufzeit, Konvention und Haltedauer des risikofreien Proxy abstimmen.
  • Policy-Benchmark und CAPM-Marktproxy unterscheiden.
  • Preis, Total Return, Ausschüttungen, Kapitalmaßnahmen und Cashflows konsistent halten.
  • Beta aus synchronisierten Überschussrenditen mit Konstante schätzen.
  • Beobachtungen, Fenster, Frequenz, Alpha, Beta, Fehler, Intervall und R-squared berichten.
  • Residuen, Ausreißer, Heteroskedastizität, Autokorrelation und asynchrone Preise prüfen.
  • Rollierende Fenster, Teilperioden und plausible Proxies testen.
  • Hebel, Derivate, Optionen, stale Preise und nichtlineare Exposures prüfen.
  • Historische Ex-post- und prognostizierte Ex-ante-Eingaben trennen.
  • Zähler- und Annualisierungskonvention in klaren Einheiten nennen.
  • Beta nicht annualisieren und Jahressatz nicht mit Kurzperiodenrendite mischen.
  • Null-Beta als undefiniert und nahezu null als instabil behandeln.
  • Negative Betas nicht nach der üblichen Höher-ist-besser-Regel ranken.
  • Portfoliorendite und Beta zuerst aggregieren; Ratios nicht mitteln.
  • Mit Sharpe, Alpha, Drawdown, Tail-Risiko, Liquidität, Kosten, Steuern und Kapazität vergleichen.
  • Versionen, Kennungen, Formeln, Code, Rundung und unabhängige Nachrechnung archivieren.

Häufige Irrtümer

  • „Treynor ist eine Jahresrenditeprognose.“ Es ist eine bedingte Statistik mit Renditeeinheiten, kein Versprechen.
  • „Beta ist ein fixes, vollständiges Risikomaß.“ Es ist eine geschätzte lineare Proxy-Sensitivität und lässt Residual- und nichtlineare Risiken aus.
  • „Eine riesige Ratio bei kleinem Beta beweist Können.“ Ein kleiner oder instabiler Nenner kann dominieren.
  • „Treynor, Sharpe und Jensens Alpha sind austauschbar.“ Ihre Größen sind Beta, Gesamtvolatilität und Regressionskonstante.
  • „Portfolio-Treynor ist der gewichtete Mittelwert der Teil-Ratios.“ Erst Rendite und Beta aggregieren, dann dividieren.

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Maßgebliche Quellen

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