Riesgo Gamma: unidades, curvatura de posición, cobertura y revaloración completa

Audite las unidades y signos de Gamma, el escalado de la posición, el P/L Delta-Gamma local, las convenciones de Cash Gamma, la cobertura discreta, la revaloración completa y el riesgo de ciclo de vida.

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

Para un valor de opción V(S,...), Gamma es la curvatura local Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2. Si Delta se mide en unidades del subyacente por unidad de opción y S en dólares, Gamma unitario es el cambio de Delta ante un movimiento de $1 en el subyacente. Una posición con cantidad de contratos con signo q, multiplicador o entregable M y cobertura en acciones h tiene Delta_pos = q x M x Delta_i + h y Gamma_pos = q x M x Gamma_i.

En opciones vanilla ordinarias, Gamma unitario suele ser positivo para una opción comprada y pasa a negativo al aplicar el signo de una posición vendida. Esta regla no debe generalizarse a toda exposición digital, barrera, ajustada, path-dependent o situada en una frontera de ejercicio. Aplique la dirección una sola vez: si el proveedor ya entrega Gamma con signo y escalado a la posición, no vuelva a multiplicar por q ni por M.

Construcción de un registro de curvatura y cobertura con signo

Fije la serie exacta, instante de valoración, dirección larga o corta, cantidad, multiplicador, entregable vigente, moneda, estilo de ejercicio, método de liquidación y cualquier cobertura en acciones o proxy.
Declare la coordenada de precio y las unidades: dólares spot, puntos de índice, puntos de futuros, movimiento porcentual, por acción, por contrato o sensibilidad de posición ya agregada.
Congele spot, tiempo, tipos, dividendos, coste de préstamo, superficie de volatilidad y regla de dinámica de superficie del modelo; Gamma no es independiente de estos datos.
Calcule por separado Delta y Gamma unitarios y de posición con signo, conserve tramos brutos y netos e identifique si la plataforma ya aplicó signos, cantidad, multiplicador o escalado monetario.
Para un movimiento pequeño con estado congelado, use Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S y Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2; indique los términos omitidos de Theta, Vega, carry, Greeks cruzados y costes.
Valide con diferencias finitas centradas, shocks simétricos al alza y a la baja, varios tamaños de bump y revaloración completa bajo escenarios de spot, tiempo, superficie, salto y liquidez; registre órdenes de cobertura y ejecuciones reales.
Concilie opción, acciones, efectivo, dividendos, financiación, préstamo, costes de transacción, margen, ejercicio, assignment, liquidación, comisiones, impuestos y residual entre atribución local y P/L realizado.

Los nombres Cash Gamma y Dollar Gamma no están normalizados. Una definición habitual es CashGamma = Gamma_pos x S^2; el cambio de Dollar Delta inducido por Gamma para un rendimiento r_move es CashGamma x r_move. Con Gamma constante, el P/L de segundo orden de ese movimiento es 0.5 x CashGamma x r_move^2. Un proveedor puede incluir 0.5, usar un shock de un punto porcentual o informar un valor de posición con signo; por ello, la etiqueta siempre debe acompañarse de fórmula y unidades.

Una posición Delta-neutral conserva riesgo Gamma: después de un movimiento, Delta reaparece localmente en aproximadamente Gamma_pos x Delta S. El rebalanceo long Gamma puede vender tras subidas y comprar tras caídas, pero el ingreso teórico por curvatura debe superar Theta, revaloración de volatilidad, spreads, impacto, financiación y errores de cobertura. Un gap con el mercado cerrado no puede cubrirse de forma continua.

Cuatro ejemplos desarrollados

Curvatura de posición con signo: diez calls compradas tienen M = 100, Delta_i = 0.50 y Gamma_i = 0.08 shares/$. Entonces Delta_pos = 500 shares y Gamma_pos = 80 shares/$. Para Delta S = +$2, Delta estimado es 660 shares y el P/L es +$1,160; para Delta S = -$2, Delta estimado es 340 shares y el P/L es -$840. La curvatura aporta +$160 en cada escenario, por lo que su suma emparejada es +$320; los dos P/L totales difieren en $2,000.
Convenciones de Cash Gamma: cinco calls compradas tienen M = 100, Gamma_i = 0.08 shares/$ y S = $100. Por tanto, Gamma_pos = 40 shares/$ y CashGamma = $400,000. Para un movimiento de 1%, el componente de cambio de Dollar Delta inducido por Gamma es $4,000, mientras que el P/L Gamma de segundo orden es 0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20. Para un movimiento de 2%, el P/L Gamma es $80. Una etiqueta sin fórmula no permite saber qué cifra representa.
Gamma scalping discreto: se parte de Delta neutral con el supuesto didáctico constante Gamma_pos = 50 shares/$. La trayectoria sube +$2, se recubre, baja -$2 y vuelve a cubrirse. La aportación local Gamma es $100 en cada tramo, o $200; Theta es -$120 y cada una de las dos operaciones de cobertura cuesta $15. El resultado neto es $200 - $120 - $30 = $50. No es un resultado garantizado porque Gamma, ejecuciones, superficie y trayectoria se simplificaron.
Aproximación local frente a revaloración completa: una call europea tiene S = $100, K = $100, r = 4%, q_div = 1%, sigma = 25% y tau = 0.5. Black-Scholes da V0 = $7.7215522303, Delta = 0.5659323171 y Gamma = 0.0221205770. Para Delta S = +$5, la estimación de segundo orden es $3.1061687980; la revaloración completa con IV constante da $3.0956949428, error de $0.0104738552/share o $1.047386 con M = 100. Si la IV también sube a 30%, el cambio total es $4.4412937626, que no puede atribuirse solo a Delta y Gamma originales.

Fallos de control del riesgo Gamma

Los signos largo y corto se omiten o se aplican dos veces.
Cantidad y multiplicador se omiten, duplican o ya están incorporados en la salida del proveedor.
Un entregable ajustado o valor monetario por punto se trata como multiplicador estándar de acciones.
Se mezclan coordenadas spot, forward, futuros, puntos de índice, moneda o rendimiento.
Se confunde un movimiento de $1 con uno de 1%.
Cash Gamma, Dollar Gamma, P/L Gamma y cambio de Dollar Delta se usan sin fórmulas.
El factor de Taylor 0.5 se omite o se aplica dos veces.
Gamma unitario, por contrato y de posición se comparan sin normalización.
Spot, tiempo, tipos, dividendos, préstamo o datos del modelo están obsoletos.
Los supuestos sticky-strike, sticky-Delta y otras dinámicas de superficie son incoherentes.
Se ignoran nivel de IV, skew, estructura temporal, Vanna, Volga y cambios de Greeks cruzados.
Son incorrectas las unidades de Theta o el reloj intradía/nocturno exacto.
Un movimiento grande se evalúa con un único Gamma local constante.
Un salto o gap con mercado cerrado se trata como si pudiera cubrirse continuamente.
Una exposición digital, barrera, frontera American u otra no suave se trata como curvatura vanilla.
Errores de bump, rejilla, interpolación o solver en diferencias finitas contaminan Gamma.
Se omiten latencia de cobertura, bid/ask, impacto, fills parciales, rechazos y comisiones.
Restricciones de venta corta, préstamo, dividendos o riesgo de base del proxy bloquean la cobertura.
Margen, poder de compra, liquidación forzosa, ejercicio, assignment o settlement crean exposición adicional.
No se concilian financiación, impuestos, efectivo, acciones, baja de opciones y residual de atribución.

Errores comunes

“Gamma es el cambio de precio de la opción.” Delta es la sensibilidad de precio de primer orden; Gamma es la tasa local a la que cambia Delta.
“Gamma alto pronostica un gran movimiento del mercado.” Gamma es sensibilidad, no pronóstico de dirección ni volatilidad.
“Long Gamma siempre gana.” La curvatura debe superar Theta, revaloración de volatilidad, spreads, impacto, financiación y errores de cobertura.
“Delta-neutral significa libre de riesgo.” Gamma vuelve a generar Delta cuando se mueve el spot, mientras persisten otros Greeks y riesgos de ciclo de vida.
“Un único Gamma sirve para un gran salto.” Es una derivada local cuyo estado del modelo y valor pueden cambiar bruscamente durante el movimiento.