Гамма-риск: единицы, кривизна позиции, хеджирование и полная переоценка

Профессиональное руководство по единицам и знакам Gamma, масштабированию позиции, локальному приближению Delta-Gamma, обозначениям денежной Gamma, дискретному хеджированию, полной переоценке и риску жизненного цикла.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Для стоимости опциона V(S,...) Gamma представляет собой локальную кривизну Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2. Если Delta измеряется в единицах базового актива на единицу опциона, а S - в долларах, единичная Gamma показывает изменение Delta при движении базового актива на $1. Для позиции со знаком, количеством контрактов q, множителем или поставочным активом M и хеджем акциями h справедливы Delta_pos = q x M x Delta_i + h и Gamma_pos = q x M x Gamma_i.

У обычных стандартных опционов единичная Gamma, как правило, положительна для длинного опциона и становится отрицательной после применения знака короткой позиции. Это правило нельзя переносить на любые цифровые, барьерные, скорректированные, зависящие от траектории или находящиеся у границы исполнения экспозиции. Применяйте направление только один раз: если поставщик уже передает Gamma со знаком и в масштабе позиции, не умножайте ее повторно на q или M.

Составление реестра кривизны и хеджа со знаком

Зафиксируйте точную серию, время оценки, длинное или короткое направление, количество, множитель, действующий поставочный актив, валюту, стиль исполнения, способ расчетов и любой хедж акциями или замещающим инструментом.
Укажите ценовую координату и единицы: доллары спот-цены, пункты индекса, пункты фьючерса, процентное движение, на акцию, на контракт или уже агрегированная чувствительность позиции.
Зафиксируйте спот, время, ставки, дивиденды, стоимость займа, поверхность волатильности и правило ее динамики в модели; Gamma зависит от этих входных данных.
Рассчитайте единичные и позиционные Delta и Gamma со знаком раздельно, сохраните валовые и чистые ноги и определите, применил ли поставщик знак, количество, множитель или денежное масштабирование заранее.
Для небольшого движения при неизменном состоянии используйте Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S и Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2; явно обозначьте исключенные составляющие Theta, Vega, переноса, перекрестных греков и издержек.
Проверьте результат центральными конечными разностями, симметричными шоками вверх и вниз, несколькими размерами шага и полной переоценкой в сценариях спота, времени, поверхности, скачка и ликвидности; зафиксируйте заявки на хедж и фактическое исполнение.
Сверьте опционы, акции, денежные средства, дивиденды, финансирование, заем, транзакционные издержки, маржу, исполнение, назначение, расчеты, комиссии, налоги и остаток между локальной атрибуцией и реализованным финансовым результатом.

Названия денежной Gamma и долларовой Gamma не стандартизированы. Одно из распространенных определений - CashGamma = Gamma_pos x S^2; при доходности r_move обусловленное Gamma изменение долларовой Delta равно CashGamma x r_move. При постоянной Gamma вклад второго порядка в финансовый результат равен 0.5 x CashGamma x r_move^2. Поставщик может включать коэффициент 0.5, применять шок в один процентный пункт или показывать позиционную величину со знаком, поэтому вместе с названием всегда нужны формула и единицы.

Даже Delta-нейтральная позиция несет гамма-риск: после движения локальная Delta возникает снова примерно на Gamma_pos x Delta S. Ребалансировка длинной Gamma позволяет продавать после роста и покупать после падения, но теоретический доход от кривизны должен превысить Theta, переоценку волатильности, спреды, влияние на рынок, финансирование и ошибки хеджирования. Разрыв цены при закрытом рынке невозможно хеджировать непрерывно.

Четыре расчетных примера

Кривизна позиции со знаком: десять длинных колл-опционов имеют M = 100, Delta_i = 0.50 и Gamma_i = 0.08 shares/$. Тогда Delta_pos = 500 shares, а Gamma_pos = 80 shares/$. При Delta S = +$2 оценочная Delta равна 660 shares, а финансовый результат - +$1,160; при Delta S = -$2 оценочная Delta равна 340 shares, а результат - -$840. Кривизна добавляет +$160 в каждом сценарии, поэтому сумма двух вкладов кривизны составляет +$320, а разница между двумя полными результатами - $2,000.
Соглашения о денежной Gamma: пять длинных колл-опционов имеют M = 100, Gamma_i = 0.08 shares/$ и S = $100. Следовательно, Gamma_pos = 40 shares/$, а CashGamma = $400,000. При движении 1% обусловленная Gamma составляющая изменения долларовой Delta равна $4,000, тогда как гамма-компонент финансового результата второго порядка составляет 0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20. При движении 2% гамма-компонент равен $80. Одно название без формулы не показывает, какое именно число имеется в виду.
Дискретный гамма-скальпинг: начнем с Delta-нейтральной позиции и постоянного учебного допущения Gamma_pos = 50 shares/$. Цена движется на +$2, позиция хеджируется заново, затем цена движется на -$2 и хедж снова корректируется. Локальный вклад Gamma составляет $100 на каждом участке, всего $200; Theta равна -$120, а две хеджирующие сделки стоят по $15. Чистый результат равен $200 - $120 - $30 = $50. Это не гарантированный торговый результат, поскольку Gamma, исполнение, поверхность и траектория упрощены.
Локальная и полная переоценка: европейский колл имеет S = $100, K = $100, r = 4%, q_div = 1%, sigma = 25% и tau = 0.5. По модели Блэка-Шоулза V0 = $7.7215522303, Delta = 0.5659323171, а Gamma = 0.0221205770. При Delta S = +$5 оценка второго порядка равна $3.1061687980; полная переоценка при неизменной подразумеваемой волатильности дает $3.0956949428, то есть ошибку $0.0104738552/share, или $1.047386 при M = 100. Если подразумеваемая волатильность также растет до 30%, полное изменение равно $4.4412937626; его нельзя объяснить только исходными Delta и Gamma.

Ошибки контроля гамма-риска

Знаки длинных и коротких позиций пропущены или применены дважды.
Количество и множитель пропущены, задвоены или уже включены в данные поставщика.
Скорректированный поставочный актив или денежная стоимость пункта приняты за стандартный множитель акций.
Смешаны координаты спота, форварда, фьючерса, пунктов индекса, валюты или доходности.
Движение на $1 спутано с движением на 1%.
Денежная Gamma, долларовая Gamma, гамма-компонент финансового результата и изменение долларовой Delta используются без формул.
Коэффициент Тейлора 0.5 пропущен или применен дважды.
Единичная, контрактная и позиционная Gamma сравниваются без нормализации.
Спот, время, ставки, дивиденды, заем или входные данные модели устарели.
Допущения фиксированного страйка, фиксированной Delta и другой динамики поверхности не согласованы.
Изменения уровня подразумеваемой волатильности, наклона, срочной структуры, Vanna, Volga и перекрестных греков игнорируются.
Единицы Theta или точный внутридневной либо ночной временной интервал заданы неверно.
Большое движение оценивается при одной неизменной локальной Gamma.
Скачок или разрыв при закрытом рынке считается непрерывно хеджируемым.
Цифровая, барьерная, пограничная для американского исполнения или иная негладкая экспозиция считается кривизной стандартного опциона.
Ошибки шага конечных разностей, сетки, интерполяции или численного решателя искажают Gamma.
Задержка хеджа, спред, влияние на рынок, частичное исполнение, отклонение заявок и комиссии исключены.
Ограничения коротких продаж, доступность займа, дивиденды или базисный риск замещающего инструмента препятствуют хеджированию.
Маржа, покупательная способность, принудительная ликвидация, исполнение, назначение или расчеты создают дополнительную экспозицию.
Финансирование, налоги, денежные средства, акции, списание опциона и остаток атрибуции не сверены.

Распространенные заблуждения

«Gamma - это изменение цены опциона». Delta является чувствительностью цены первого порядка, а Gamma - локальной скоростью изменения Delta.
«Высокая Gamma предсказывает сильное движение рынка». Gamma представляет собой чувствительность, а не прогноз направления или волатильности.
«Длинная Gamma всегда приносит прибыль». Кривизна должна покрыть Theta, переоценку волатильности, спреды, влияние на рынок, финансирование и ошибки хеджирования.
«Delta-нейтральность означает отсутствие риска». При движении спота Gamma вновь создает Delta, а прочие греки и риски жизненного цикла сохраняются.
«Одного значения Gamma достаточно для большого скачка». Это локальная производная, состояние модели и величина которой могут резко меняться по мере движения.