Risque Gamma : unités, courbure de position, couverture et revalorisation complète

Contrôlez unités et signes de Gamma, mise à l'échelle de la position, P/L Delta-Gamma local, conventions Cash Gamma, couverture discrète, revalorisation complète et risque de cycle de vie.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Pour une valeur d’option V(S,...), Gamma est la courbure locale Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2. Si Delta est mesuré en unités de sous-jacent par unité d’option et S en dollars, le Gamma unitaire est la variation de Delta pour un mouvement de $1 du sous-jacent. Une position ayant une quantité signée de contrats q, un multiplicateur ou livrable M et une couverture en actions h a pour sensibilités Delta_pos = q x M x Delta_i + h et Gamma_pos = q x M x Gamma_i.

Pour les options vanilla ordinaires, le Gamma unitaire est généralement positif pour une option achetée et devient négatif après application du signe d’une position vendeuse. Cette règle ne doit pas être généralisée à toute exposition digitale, barrière, ajustée, path-dependent ou située sur une frontière d’exercice. N’appliquez le sens qu’une fois : si un flux fournit déjà un Gamma signé et mis à l’échelle de la position, ne remultipliez pas par q ou M.

Construire un registre signé de courbure et de couverture

Figez la série exacte, l’instant de valorisation, le sens acheteur ou vendeur, la quantité, le multiplicateur, le livrable en vigueur, la devise, le style d’exercice, le mode de règlement et toute couverture en actions ou proxy.
Déclarez la coordonnée de prix et les unités : dollars spot, points d’indice, points de futures, mouvement en pourcentage, par action, par contrat ou sensibilité de position déjà agrégée.
Figez spot, temps, taux, dividendes, coût d’emprunt, surface de volatilité et règle de dynamique de surface utilisée par le modèle ; Gamma dépend de ces données.
Calculez séparément Delta et Gamma unitaires et de position signée, conservez les jambes brutes et nettes et déterminez si la plateforme a déjà appliqué signes, quantité, multiplicateur ou mise à l’échelle monétaire.
Pour un petit mouvement à état figé, utilisez Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S et Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 ; signalez les termes omis de Theta, Vega, carry, Greeks croisés et coûts.
Validez par différences finies centrées, chocs symétriques à la hausse et à la baisse, plusieurs tailles de bump et revalorisation complète selon des scénarios de spot, temps, surface, saut et liquidité ; consignez les ordres de couverture et exécutions réelles.
Rapprochez option, actions, trésorerie, dividendes, financement, emprunt, coûts de transaction, marge, exercise, assignment, règlement, frais, fiscalité et résiduel entre attribution locale et P/L réalisé.

Les appellations Cash Gamma et Dollar Gamma ne sont pas normalisées. Une définition courante est CashGamma = Gamma_pos x S^2 ; la variation de Dollar Delta induite par Gamma pour un rendement r_move vaut CashGamma x r_move. À Gamma constant, le P/L de second ordre pour ce mouvement vaut 0.5 x CashGamma x r_move^2. Un fournisseur peut inclure 0.5, utiliser un choc d’un point de pourcentage ou publier une valeur de position signée ; formule et unités doivent donc accompagner l’appellation.

Une position Delta-neutral conserve un risque Gamma : après un mouvement, Delta réapparaît localement à hauteur d’environ Gamma_pos x Delta S. Un rééquilibrage long Gamma peut vendre après les hausses et acheter après les baisses, mais le revenu théorique de courbure doit dépasser Theta, revalorisation de volatilité, spreads, impact, financement et erreurs de couverture. Un gap lorsque le marché est fermé ne peut pas être couvert en continu.

Quatre exemples détaillés

Courbure signée de la position : dix calls achetés ont M = 100, Delta_i = 0.50 et Gamma_i = 0.08 shares/$. Ainsi, Delta_pos = 500 shares et Gamma_pos = 80 shares/$. Pour Delta S = +$2, le Delta estimé est 660 shares et le P/L +$1,160 ; pour Delta S = -$2, le Delta estimé est 340 shares et le P/L -$840. La courbure contribue +$160 dans chaque scénario, donc sa somme appariée vaut +$320 ; les deux P/L totaux diffèrent de $2,000.
Conventions Cash Gamma : cinq calls achetés ont M = 100, Gamma_i = 0.08 shares/$ et S = $100. Ainsi, Gamma_pos = 40 shares/$ et CashGamma = $400,000. Pour un mouvement de 1%, la composante de variation du Dollar Delta induite par Gamma est $4,000, tandis que le P/L Gamma de second ordre vaut 0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20. Pour un mouvement de 2%, le P/L Gamma est $80. Une appellation sans formule ne permet pas de savoir quel nombre est visé.
Gamma scalping discret : on part Delta-neutral sous l’hypothèse pédagogique constante Gamma_pos = 50 shares/$. Le chemin monte de +$2, est recouvert, baisse de -$2 puis est recouvert à nouveau. La contribution Gamma locale est de $100 par segment, soit $200 ; Theta vaut -$120 et chacune des deux opérations de couverture coûte $15. Le résultat net est $200 - $120 - $30 = $50. Il n’est pas garanti, car Gamma, exécutions, surface et chemin ont été simplifiés.
Estimation locale et revalorisation complète : un call européen a S = $100, K = $100, r = 4%, q_div = 1%, sigma = 25% et tau = 0.5. Black-Scholes donne V0 = $7.7215522303, Delta = 0.5659323171 et Gamma = 0.0221205770. Pour Delta S = +$5, l’estimation de second ordre est $3.1061687980 ; la revalorisation complète à IV inchangée donne $3.0956949428, soit une erreur de $0.0104738552/share ou $1.047386 avec M = 100. Si l’IV monte aussi à 30%, la variation totale est $4.4412937626, non attribuable aux seuls Delta et Gamma initiaux.

Défaillances du contrôle du risque Gamma

Les signes acheteur et vendeur sont omis ou appliqués deux fois.
Quantité et multiplicateur sont omis, doublés ou déjà intégrés à la donnée du fournisseur.
Un livrable ajusté ou une valeur monétaire par point est traité comme un multiplicateur d’actions standard.
Les coordonnées spot, forward, futures, points d’indice, devise ou rendement sont mélangées.
Un mouvement de $1 est confondu avec un mouvement de 1%.
Cash Gamma, Dollar Gamma, P/L Gamma et variation du Dollar Delta sont utilisés sans formule.
Le facteur de Taylor 0.5 est omis ou appliqué deux fois.
Gamma unitaire, par contrat et de position sont comparés sans normalisation.
Spot, temps, taux, dividendes, emprunt ou données de modèle sont périmés.
Les hypothèses sticky-strike, sticky-Delta et autres dynamiques de surface sont incohérentes.
Niveau d’IV, skew, structure par terme, Vanna, Volga et variations de Greeks croisés sont ignorés.
Les unités de Theta ou l’horloge intrajournalière et overnight exacte sont erronées.
Un mouvement ample est évalué avec un seul Gamma local inchangé.
Un saut ou gap à marché fermé est traité comme continuellement couvrable.
Une exposition digitale, barrière, sur frontière American ou non lisse est traitée comme une courbure vanilla.
Une erreur de bump, grille, interpolation ou solveur de différences finies contamine Gamma.
Latence de couverture, bid/ask, impact, exécutions partielles, rejets et frais sont omis.
Contraintes de vente à découvert, emprunt, dividendes ou risque de base du proxy empêchent la couverture.
Marge, pouvoir d’achat, liquidation forcée, exercise, assignment ou settlement créent une exposition supplémentaire.
Financement, fiscalité, trésorerie, actions, retrait de l’option et résiduel d’attribution ne sont pas rapprochés.

Idées reçues

« Gamma est la variation du prix de l’option. » Delta est la sensibilité de prix de premier ordre ; Gamma est le taux local de variation de Delta.
« Un Gamma élevé prévoit un grand mouvement de marché. » Gamma est une sensibilité, non une prévision directionnelle ou de volatilité.
« Long Gamma gagne toujours. » La courbure doit dépasser Theta, revalorisation de volatilité, spreads, impact, financement et erreurs de couverture.
« Delta-neutral signifie sans risque. » Gamma recrée Delta lorsque le spot bouge, tandis que les autres Greeks et risques de cycle de vie demeurent.
« Un seul nombre Gamma convient à un grand saut. » C’est une dérivée locale dont l’état du modèle et la valeur peuvent fortement changer pendant le mouvement.