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Delta y Gamma: dirección local, curvatura y unidades de posición

Mida la dirección y curvatura locales de una opción mediante coordenadas explícitas del modelo, cantidades con signo, multiplicadores compatibles, estimaciones de segundo orden, unidades de cobertura, diferencias finitas y revaloración completa.

Actualizado

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

Para un valor de modelo V(S, t, σ, ...), Delta es la primera derivada local Delta = ∂V / ∂S, y Gamma es la curvatura local Gamma = ∂²V / ∂S² = ∂Delta / ∂S. Delta estima el cambio de valor ante un movimiento pequeño de una unidad en la coordenada elegida del subyacente; Gamma estima cómo cambia Delta cuando se mueve esa coordenada.

Ambas son salidas de modelo con una marca temporal, no previsiones, probabilidades, cotizaciones ejecutables ni ratios de cobertura permanentes. Su significado depende del derecho exacto, signo de la posición, coordenada de precio, superficie de volatilidad, tiempo, tipos, distribuciones, coste de préstamo, modelo de ejercicio, liquidación, unidad de cotización, multiplicador y escala del proveedor.

Curva del valor de una opción con una tangente para Delta y pendientes cambiantes para Gamma Curva del valor de una opción con una tangente para Delta y pendientes cambiantes para Gamma
Delta es la tangente local; Gamma es la tasa local a la que cambia esa tangente.

Registro de griegas con signo y unidades coherentes

Sea q el número de contratos de opciones con signo, positivo para posiciones largas y negativo para cortas; M el multiplicador de prima compatible; h las unidades del subyacente con signo; Delta_i la Delta del modelo por unidad de opción; y Gamma_i la Gamma del modelo por unidad de opción y por movimiento de una unidad de precio. La Delta de la posición en unidades equivalentes del subyacente es Δ_pos = q × M × Delta_i + h, y la Gamma de la posición es Γ_pos = q × M × Gamma_i. Una acción tiene Delta +1 por unidad larga y Gamma 0.

  1. Fije la serie exacta, marca temporal, signo largo o corto, cantidad, multiplicador, entregable, divisa de cotización, coordenada del subyacente, tipo de ejercicio, liquidación y versión del modelo. No compense griegas de derechos económicamente distintos solo porque sus símbolos se parezcan.
  2. Declare la coordenada y escala de derivación. Distinga la Delta spot de la Delta forward, de futuros, ajustada por prima o en efectivo; distinga la Gamma por $1, punto de índice, punto de futuro o 1% spot move; y registre si el proveedor ya multiplicó por contratos o multiplicador.
  3. Congele el estado del modelo: spot o forward, tipos, dividendos, coste de préstamo, tiempo hasta el vencimiento exacto, superficie de volatilidad, regla de shock sticky-strike o sticky-delta, tratamiento de eventos discretos y método numérico. Una griega mostrada sin este estado no puede reproducirse de forma independiente.
  4. Para un movimiento pequeño ΔS, calcule el cambio de Taylor por unidad ΔV_Taylor ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)² y la Delta local actualizada Delta_new ≈ Delta_i + Gamma_i × ΔS. Multiplique la estimación de precio por q × M con su signo; no vuelva a multiplicar un valor que el proveedor ya haya agregado.
  5. Valide las griegas analíticas o del proveedor con perturbaciones centradas cuando la función de valoración sea suave: Delta_FD ≈ [V(S + h_S) − V(S − h_S)] / (2h_S) y Gamma_FD ≈ [V(S + h_S) − 2V(S) + V(S − h_S)] / h_S². Reduzca y amplíe h_S para revelar efectos de truncamiento, cancelación, malla o recalibración de la superficie.
  6. Agregue solo después de normalizar cada pata a la misma equivalencia del subyacente, unidad de precio, divisa, marca temporal y convención de signo. Añada entonces unidades de cobertura en acciones o futuros y someta a tensión spot, tiempo, volatilidad, skew, tipos, dividendos, préstamo, saltos y límites de ejercicio.
  7. Use la revaloración completa como control de escenarios finitos y precios bid-ask ejecutables para negociar. Concilie ejecuciones, cantidad de cobertura, comisiones, préstamo, asignación, liquidación, versión del modelo y griegas posteriores al shock, en lugar de tratar una estimación local de Taylor como P&L realizado.

Para calls y puts vanilla largas ordinarias en un modelo europeo suave, Gamma es positiva; venderlas invierte la Gamma de la posición. Esto no es una afirmación universal sobre payoffs digitales, barreras, límites de ejercicio americano, derechos ajustados, carteras o convenciones de proveedores. Cerca del vencimiento, Gamma puede concentrarse en torno a un precio de ejercicio y seguir siendo pequeña muy dentro o fuera del dinero; los saltos hacen incompleta la descripción local continua.

Ejemplos resueltos

  • Estimación local del precio y la cobertura de una call larga. Una call larga tiene valor V_0 = $3.10, Delta_i = 0.42, Gamma_i = 0.06, q = +1 y M = 100. Para ΔS = +$1.50, el término Delta es 0.42 × $1.50 = $0.6300 por acción y el término de curvatura es ½ × 0.06 × ($1.50)² = $0.0675, por lo que ΔV_Taylor = $0.6975 por acción o +$69.75 por contrato. El valor estimado es $3.7975, y Delta_new ≈ 0.42 + 0.06 × 1.50 = 0.51. La Delta de posición pasa de +42 shares a unas +51 shares; una cobertura estática de 42 acciones cortas deja de ser neutral.
  • La Gamma corta invierte los signos de la posición. Seis calls cortas tienen q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 y Gamma_i = 0.04. La Delta inicial de posición es −330 shares y la Gamma de posición −24 shares per $1. Para ΔS = +$2, la Delta estimada de posición cambia en −48 shares hasta −378 shares; el P&L de la opción es aproximadamente −6 × 100 × [0.55 × 2 + ½ × 0.04 × 2²] = −$708. Para ΔS = −$2, la misma fórmula local da +$612. Un operador Delta-neutral compraría unas 48 acciones adicionales durante la subida o vendería unas 48 durante la bajada, antes de costes y cambios del modelo.
  • La agregación de cartera incluye acciones y patas de opciones con signo. Mantiene cuatro calls con Delta_i = 0.35, Gamma_i = 0.025, tres puts cortas con Delta_i = −0.40, Gamma_i = 0.030, utiliza M = 100 y mantiene cortas 200 shares. La Delta de las opciones es +140 + 120 = +260 shares; tras las acciones, la Delta neta es +60 shares. La Gamma de las opciones es +10 − 9 = +1 share per $1. Para ΔS = +$5, la Delta neta local pasa a unas +65 shares. Las dos patas de opciones aportan +$825.00 y +$487.50, mientras que las acciones aportan −$1,000, lo que da una estimación de segundo orden de la cartera de +$312.50 antes de comisiones, préstamo, volatilidad implícita y paso del tiempo.
  • Atribución local de Taylor frente a revaloración completa. Para una call europea con S = 100, K = 100, r = 4%, rendimiento continuo y = 1%, σ = 25% y τ = 0.5, una referencia Black-Scholes da V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 y Gamma_i = 0.0221205770. Para ΔS = +5, la estimación de segundo orden es 0.5659323171 × 5 + ½ × 0.0221205770 × 5² = 3.1061687980 por acción. La revaloración completa con la misma volatilidad implícita da V_1 = 10.8172471731, un cambio de 3.0956949428, por lo que la estimación local difiere en 0.0104738552 o unos $1.047386 por multiplicador 100. Si la volatilidad implícita también sube a 30%, el valor completo es 12.1628459929; el cambio total 4.4412937626 no puede atribuirse solo a las Delta y Gamma iniciales.

Riesgos y controles

  • Una serie, símbolo raíz, vencimiento, precio de ejercicio, tipo de opción o entregable incorrectos invalidan el mapa de griegas.
  • Omitir el signo largo o corto invierte Delta y Gamma de posición, dirección de cobertura y atribución de P&L.
  • La cantidad de contratos y el multiplicador de prima pueden contarse dos veces u omitirse.
  • Los contratos ajustados y las opciones sobre futuros pueden usar unidades que no sean acciones ordinarias.
  • Las Delta spot, forward, de futuros, ajustada por prima y en efectivo no son intercambiables.
  • La Gamma por unidad de precio difiere de la Gamma escalada a un 1% spot move o de la Gamma en efectivo.
  • La divisa y la conversión FX pueden volver incoherentes griegas aparentemente comparables.
  • Marcas temporales distintas o cotizaciones obsoletas del subyacente y la opción crean compensaciones falsas.
  • Las griegas de midpoint o modelo no garantizan precios ejecutables de la opción o la cobertura.
  • La superficie de volatilidad, regla sticky, skew y estructura temporal modifican ambas griegas.
  • Los supuestos de tipos, dividendos, préstamo y financiación afectan valores y coberturas del modelo.
  • El ejercicio americano y los dividendos discretos crean límites ausentes de una fórmula europea suave.
  • La liquidación en efectivo, entrega física e inventario posterior al ejercicio generan riesgos operativos distintos.
  • La falta de suavidad cerca del vencimiento puede hacer que Gamma sea grande, inestable o dependiente de la malla en torno a un precio de ejercicio.
  • Los movimientos grandes invalidan una extrapolación con Delta y Gamma fijas.
  • Los saltos, suspensiones y gaps eluden los supuestos de rebalanceo continuo.
  • Perturbaciones de diferencias finitas demasiado grandes añaden error de truncamiento; las diminutas añaden ruido de cancelación.
  • Compensar vencimientos, superficies, modelos, divisas o tipos de liquidación diferentes puede ocultar riesgo de base.
  • El tamaño discreto de la cobertura, spread bid-ask, comisiones, impacto de mercado, préstamo de acciones y liquidez alteran los resultados realizados.
  • Las diferencias de modelo, proveedor, redondeo, asignación, liquidación y registros del bróker exigen conciliación final.

Errores frecuentes

  • «Delta es una probabilidad universal». Es una derivada local; las interpretaciones probabilísticas requieren modelos, numerarios y convenciones específicos.
  • «Delta permanece fija». Gamma y cada entrada cambiante del modelo la modifican.
  • «Una cartera Delta-neutral no tiene riesgo». Persisten Gamma, Vega, Theta, saltos, base, liquidez, ejecución y riesgo de modelo.
  • «Gamma predice directamente el cambio de precio». Entra en la expansión local del precio mediante ½ × Gamma_i × (ΔS)² y cambia durante el movimiento.
  • «Unas griegas precisas eliminan la necesidad de revaloración completa». Las derivadas locales ayudan a atribuir; los escenarios finitos, ejecución y eventos del ciclo de vida siguen exigiendo valoración y conciliación completas.

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